第四章习题课微分方程
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常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
微分方程习题课
【3】求微分方程
【4】求方程 【5】求方程 【6】求方程
y |x 1的特解。
xy y x 2 的通解。
(1 x ) y y ln( x 1) 的通解。
1 的特解。 2
y y ( y)2 0满足初始条件 y x0 1,
y x 0
所以原方程通解为
将 y |x 1代入得
特解为
cos x C y x C 1
1 y ( cos x 1) x
12
1 sin x q( x ) 解法2：因为 p( x ) ， ，利用求解公式得 x x
1 1 dx dx sin x x x ye [ e dx C x
3
可降阶的高阶微分方程
解题方法流程图
No
Yes
y ( n) f ( x)
逐次积分 通解y ( x, c1 , c2 ,, cn )
y f ( x, y)
特点:不显含 y 令 y P ( x ) 转化为一阶方程 p f ( x, p) 解一阶微分方程
y f ( y, y)
e
ln x
sin x ln x [ e dx C ] x
1 cos x C [ sin xdx C ] x x
将 y |x 1代入得 特解为
C 1
1 y ( cos x 1) x
13
2 【例4】求方程 xy y x 的通解。
此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
第四章 第一节微分方程的概念
2
2
dy dx
4x
0;
(4) cos(y) ln y x 1.
解 (1) 该方程是一阶线性微分方程, 因方程中含有的 dy 和 y 都是一次. dx
(2) 该方程是一阶非线性微分方程, 因方程中含有的 dy 的平方项. dx
(3) 该方程是二阶非线性微分方程, 因方程中含有的 dy 的三次方. dx
根据题意, x x(t) 还需满足条件 x(0) 0, dx 0. dt t0
O m x=x(t)
x 图4-2
21
第四章 微分方程
例 6 试指出下列方程是什么方程, 并指出微分方程的阶数.
(1) dy x2 y; dx
(3)x
d2 y dx2
2
dy dx
3
5xy
0;
(2)x
dy dx
d2s dt 20Fra bibliotek4(称为二阶微分方程)
(4)
此外, 未知函数 s s(t) 还应满足下列条件:
t 0 时, s 0 , v ds 20 dt
简记为 s |t0 0 , s ' |t0 20 . (两个初始条件)
(5)
7
第四章 微分方程
例 2 列车在平直线路上以 20m/ s (相当于 72km/h )的速度行驶, 当制动时列
F (x,(x),(x),(x) , (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.
16
第四章 微分方程
3､微分方程的解: 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解). 一 般地, 微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 方程的通解是一类 解, 而不是指方程的“全部解”. 实际上, 我们在求解方程时得到一些解, 很难说 明这些解是否构成了方程的“全部解”, 这种工作有时会比求解方程本身还困难, 而实际工作中又告诉我们无须去做这样的工作, 因此我们将关注点放在求方程 的通解和特解上. 注 这里所说的相互独立的任意常数, 是指它们不能通过合并而使得通解 中的任意常数的个数减少.
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
习题课_微分方程(解答)
有两个不相等实根 r1 , r2
有两个相等实根 r r1 r2
有一对共轭复根 r1 ,2 i
y C1e
rx
r1 x
C2 e
r2 x
y e (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
4
10. 二阶常系数线性非齐次方程 ay '' by ' cy f ( x)
0
x
解： f ( x)sinx x f (t )dt tf (t )dt ， f (0) 0 ，
0 0
x 0
x
x
f ( x)cosx f (t )dt ， f (0)1 ，f ( x ) sin x f ( x ) ，
y y sin x 得初值问题： 。 y(0) 0, y(0)1 1 求得通解为 y C1cos x C 2 sinx xcos x ， 2 1 代入初始条件 y(0)0, y(0)1 ，得 C1 0 ， C 2 ， 2 1 ∴ y f ( x ) (sin x x cos x ) 。 2
(1) α iβ
ex [ Pm ( x ) cos x Pn ( x ) sinx ]
(1) y ex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
(1) y xex [ RL ( x ) cos x ( 2) RL ( x ) sinx ]
2
9
三、计算题
1．求方程 yy ' (sin x y 2 )cot x 的解。
( y x 2 y 2 )dx xdy 0 ( x 0) 2．求初值问题 的解。 y x1 0
微积分四章节微分方程章节外习题答案
e
1 dx x(x1)
[
e
1 dx
x(x1) dx
c]
x ( x ln x c ). x1
又
y(1) 0, c 1,
特解
y x ( x ln x 1).
1 xa
10
p 8 5 .三 .1 . 通 解 y e sin x ( x c ).
2.
dx 1 x ( y 1 ),
5c2 cos 5 x 5c1 sin 5 x )e 2x .
y x 0 0 , y x 0 1 5 , c1 0 , c 2 3 ,
特解
y 3e 2x sin 5 x.
a
24
p 9 0 .二 .4 .解 : r 3 2 r 2 r 0 , r ( r 1)2 0 ,
dt t
dy y ln y y
dx 1
arctan y
(3) dy 1 y2 x 1 y2 .
a
8
p 8 5 .二 .1 .
x yy
y
x2
x1
2
y
2
,
d d
y x
x y yx
y 2 x1
(1) ,
令 u y , 得 dy u x du ,代 入 (1)得
x
dx
dx
du dx
r1 0 , r2 ,3 1 ,
通 解 y c1 (c2 c3 x )e x .
y (c3 c2 c3 x )e x ,c2 c3 c3 x c3
y ( c 2 2 c 3 c 3 x )e x
y 2, x0
y
x0
0,
y
x
0
1,
c1 1,c2 c3 1,
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
D第四章微分方程
与齐次微分方程
一、可分离变量微分方程
一般形式 dy f (x)g(y)
dx
解法: （1）分离变量
dy f (x)dx g(y)
（2）两边积分
dy g(y)
f
(x)dx
得 Gx()Fx()C.
（其中 G(y),F(x)分别是
1, g(y)
f (x)
的一个原函数）
以上这种求解过程叫做分离变量法。
y Cex3 ( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例3. 解初值问题
xydx(x21)dy0
y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
lny ln 1 lnC x21
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
k 2 (C 1 sk it n C 2ck o t)sk2x
这说明 x C 1 ck o t C s 2 sk itn 是方程的解 .
C1,C2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C1A,C2 0,故所求特解为
xAcokts
4.2 可分离变量的微分方程
C'(y)yyey
于是C'(y)ey, 则 C (y)eyd y eyC
所以原方程的通解为
x(eyC)y（C 为任意常数 ）
例3. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 两岸 为平行直线, 水流速度大小为 a , 一鸭子从点 A 游向点
O , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b (ba), 且鸭子
特解: yx2 1
大学电路分析第四章课后习题答案
4-2．5μF 电容的端电压如图示。
（1）绘出电流波形图。
（2）确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。
解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式：10 0μs 1μs10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎪≤⎩式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。
电容伏安关系的微分形式：50 0μs 1μs 0 1μs 3μs()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t<<⎧⎪<<⎪==⎨-<<⎪⎪<⎩上式中时间的单位为微秒；电压的单位为毫伏；电容的单位为微法拉；电流的单位为毫安。
电容电流的波形如右图所示。
（2）电容的储能21()()2w t Cu t =，即电容储能与电容端电压的平方成正比。
当2μs t =时，电容端电压为10毫伏，故：()()22631010μs 11()5101010 2.510J 22t w t Cu ---===⨯⨯⨯⨯=⨯当10μs t =时，电容的端电压为0，故当10μs t =时电容的储能为0。
4-3．定值电流4A 从t=0开始对2F 电容充电，问：（1）10秒后电容的储能是多少100秒后电容的储能是多少设电容初始电压为0。
解：电容端电压：()()()00110422t tC C u t u i d d t C τττ+++=+==⎰⎰；()1021020V C u =⨯=； ()1002100200V C u =⨯=()()211010400J 2C w Cu ==； ()()2110010040000J 2C w Cu ==4-6．通过3mH 电感的电流波形如图示。
（1）试求电感端电压()L u t ，并绘出波形图；（2）试求电感功率()L p t ，并绘出波形图；（3）试求电感储能()L w t ，并绘出波形图。
常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
, 令q 2
0 q3
2
3
y
2．用参数法求解下列微分方程：
y
y
y)
y
dq dy
3 2
x
ln x 2x
p
1)
0.
2xp
)]2
y
dy dx
2 cos y( sin y) 2q2
cos y sin y q2
cos2 q3
sin
cos2 q3
y
dq
( dy
y)
q tan
2
3
cos3 y sin y
y
x C
22t2 t 2t 1
C
dt
25
5
2
cos t,
2 cos[ 2 (x C)] 5
2t1
C
2
2
dv v
p
2 sin tdt
2 5 sin t
5
2t 1 22t2 t
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
0 q3
2
3
y
2．用参数法求解下列微分方程：
y
y
y)
y
dq dy
3 2
x
ln x 2x
p
1)
0.
2xp
)]2
y
dy dx
2 cos y( sin y) 2q2
cos y sin y q2
cos2 q3
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cos2 q3
y
dq
( dy
y)
q tan
2
3
cos3 y sin y
y
x C
22t2 t 2t 1
C
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25
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2 cos[ 2 (x C)] 5
2t1
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2
dv v
p
2 sin tdt
2 5 sin t
5
2t 1 22t2 t
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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例6
1 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应 x
的齐次方程有一特解为x 2，试求： (1) p( x ), f ( x ) 的表达式；
( 2) 此方程的通解 .
( 2)
特点 解法
y f ( x , y ) 型
不显含未知函数y.
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
( 3)
特点
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
解法
令 y P ( x ),
dp y P , dy
1 y 2 2 求通解 y . 2y x f t 3 设连续函数f x 满足f x 1 x 2 dt , 1 t 求f x .
4 试确定以
y sin 2 x
为特解的二阶常系数齐次线性方程。
5
1 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x). 2
内容提要
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 特征方程及其根 定 对应的通解形式 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
变量代换
特解形式
1 基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
问题3. 以 y1 e , y2 xe
x
x
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
四
1
典型题目
y x
求解下列一阶微分方程：
dy (1) tan x y 5 (2)(1 e ) xdy ( x y)dx 0 dx (4 x y 1)2 (3) y (4)cos ydx ( x 2cos y)sin ydy 0 ( y 2 x3 ) / 2 xy (5) y
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
５ 二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y z e
1 n
,
( 1 n ) P ( x ) dx
( 1n ) P ( x ) dx dx c ). ( Q( x )(1 n)e
3 可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４ 线性微分方程解的结构
(1) 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解（C1 , C 2 是常 数）.
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
Hale Waihona Puke ( 2)f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
k
设 y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ],
x
(1) m ( 2) m
( ( 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m次多项式，
m maxl , n
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
求解一阶微分方程要特别注意：
1
2
正确识别方程所属类型，以采用相应的方法．
如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代
换，或考虑认定x为y的函数，再判定方程的类型．
三 问题与思考
问题1. 判断正误：
5 理解二阶线性微分方程解的结构； 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 7 掌握自由项为
f ( x) Pm ( x)ex、f ( x) ex [ Pn ( x) cosx Pl ( x) sinx]
的两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式．
二
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程
问题2.设线性无关函数y1 , y2 , y3都是二阶非齐次线性微分方程 y p x y q x y f x 的解。C1 , C2为任意常数，则该方程的通解是
A. B. C. D.
C1 y1 C2 y2 C3 y3 ;
C1 y1 C2 y2 C1 C2 y3 ; C1 y1 C2 y2 1 C1 C2 y3 ; C1 y1 C2 y2 1 C1 C2 y3
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2 一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
方程称为齐次的． 方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx dx C ] [ Q( x)e
（常数变易法）
(5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy 形如 P ( x ) y Q( x ) y n dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法
1 n
若是k重共轭 复根 j
６ 二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
r1 x r2 x
2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二 阶 非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
* *
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
1 y 2 3 4
2
x y 是二阶微分方程。
x y x y y sin sin 是可分离变量方程。 2 2 x 1 ln y ln x dx ydy 0是齐次方程。 2 C 2 y y tan x sin 2 x的通解为y cos x 3 cos x
第四章习题课
微分方程
一
基本要求：
1 了解微分方程的基本概念: 微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、 特解、初始条件、初值问题； 2 会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性 方程、 伯努利方程； 3 掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法， 会解齐次方程和伯努利方程；