第四章 高阶微分方程
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
第四章 高阶微分方程
2t
c3e
3t
lim[1 (t ) 2 (t )] 存在。
t
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例6、求解方程
dy 1 y y2 0 dt t
0 ，又令 z y 1
dz 1 1 z dt t
因此，求解并还原变量得到原方程的解: ex 如果 y
c2 (t c1 )
2
0 ，得到原方程的一个解为： x c
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
x 5x 6 x f (t ) ，其中 f (t )在 t 上连续，设 1 (t ), 2 (t ) 是上述方程的两个解，证明极限 lim[1 (t ) 2 (t )]
Laplace变换法
四、例题选讲
d 2x dx 例1、求方程 2 4 4 x 4 cos 2t 的通解。 dt dt
分析：
1、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求 解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：特征根方法。 2、再利用比较系数方法求原方程的一个特解。（分析函数f(t) 的特点！）
于是，令 x '
2、原方程变为：
3、求解新方程
4、变量还原，有通解为：
内江师范学院数学与信息科学学院 吴源自腾 制作dp dx dp x" p dx dt dx 2 dp 2p 1 dx 2 3 p x c2 3 2 3 9( x c2 ) 4(t c1 )
例3、一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速 度的平方成正比例，求该物体的运动规律。（应用题！）
三、主要方法
特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方 法用于求解不同形式的方程。
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
第四章高阶微分方程
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
根据叠加原理，x(t)是方程(4.2)的解，注意到(4.9)，知道这个解 x(t)
满足初始条件
x1(t0 ) x1(t0 )
x ( n 1) n
(t0
)
0
(4.10)
但是 x 0显然也是方程(4.2)的满足初始条件(4.10)的解，由解
5、通解结构定理
定理6（通解结构定理） 如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是方程
（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：
x c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) （4.11）
其中c1，c2，，cn 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程
否则就称这些函数在所给区间上线性无关的。
线性无关的
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sin t,cost
；线性相关的
1, t, , t n1
sin2 t, cos2 t 1 .
4、函数定义在区间t [a,b] 上的k个可微k-1次的函数x1(t), x2 (t),, xk (t)
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二、引言
在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了 已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型 的非一阶的微分方程，即高阶微分方程，也就是二 阶及二阶以上的微分方程。对于高阶微分方程度基 本理论（包括存在唯一性定理）和求解方法，分两 步来处理：对于线性微分方程（组）在本章和下一 章讨论；而非线性微分方程（组）在第六章讨论。
c1x1(n-1)(t) cn xn(n1) (t) 0
(除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法。)
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齐次线性方程
基本解组
非齐次线性方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特解
非齐次线性方程的通解 常数变易法 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组,因而
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
为(2)的通解.
设 x c1 ( t ) x 1 (t ) c2 ( t ) x2 (t ) cn ( t ) xn ( t ) 为(1)的解.
x ( t ) x( t ) 也是方程(1)的解.
性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 定理7 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组, x ( t ) 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解为
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) x (t ), (4) 其中 c1 , c2 , , cn 是任意常数,且通解(4)包括了方程(1)的
(10)
x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) 0 1 2 2 n n 1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t ) 0 ( n 2) ( n 2) ( n 2) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c (t ) 0 1 1 2 2 n n x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) f ( t ) 1 2 2 n n 1
所有解. 推论4 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n. n阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间. 方程(2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组.
显然,基本解组不是唯一的. 特别地,当W ( t0 ) 1时称其 为标准基本解组.
。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ), (1) n dt dt dt 性质1 如果 x ( t ) 是方程(1)的解,而 x ( t ) 是方程(2)的解,则
定理5 n 阶齐线性方程(2)一定存在 n 个线性无关的解. 定理6(通解结构)如果 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 是方程(2)的n
个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ), (3) 其中 c1 , c2 , , cn 是任意常数,且通解(3)包括了方程(2)的
n 1 d ( t 0 ) d ( t0 ) (1) ( n 1) ( t0 ) x0 , x0 , , x . 0 n 1 dt dt
二、齐次线性微分方程解的性质与结构
齐次线性微分方程
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt d2y 例如 2 w 2 y 0 ,( w 0 为常数) dx y sin wx 有解 y cos wx ,
上的n个解,如果存在 t0 [a , b] ,使得W ( t0 ) 0,则该解组在
[a , b]上线性相关.
推论3 方程(2)的n个解 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 在区间[a , b]上
线性无关的充分必要条件是 W ( t ) 0,(a t b).
函数线性相关和线性无关 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 是定义在区间 a t b 上的
函数,如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck ,使得恒等式
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对于所有 t [a , b]都成立,称这些函数是线性相关的,否 则称这些函数在所给区间上线性无关, 即当且仅当 c1
W [ x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t )] 0,方程组有唯一的解,设为 ( t ) i ( t ) ( i 1,2,, n), ci ci (t ) i (t )dt i (i 1,2,, n),
则得方程(1)的通解为
x c1 (t ) x 1 (t ) c2 (t ) x2 (t ) cn (t ) xn (t )
一、引言
n阶微分方程一般形式 n阶线性微分方程一般形式
n n 1
F ( t , x , x, , x ( n ) ) 0
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ), (1) n dt dt dt 其中ai ( t )( i 1,2,, n)及 f ( t )是区间 a t b上的连续函 数. dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0, (2) n dt dt dt 称它为n阶齐次线性微分方程,而方程(1)为n阶非齐次线
(2)
y C1 cos wx ,
y C1 sin wx ,
y C1 cos wx C2 sin wx.
定理2(叠加原理)如果 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 是方程(2)的
k个解,则它们的线性组合c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
(5)
(t ) c2 (t ) x2 ( t ) cn ( t ) x x c1 (t ) x1 n (t ) ( t ) x2 ( t )c2 (t ) xn (t )cn (t ) x1 ( t )c1
令 x1 ( t )c1 ( t ) x2 (t )c2 (t ) xn (t )cn (t ) 0, 则
(8)2
( n) ( n) ( n) x ( n ) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) cn ( t ) x n (t ) ( n) ( n) ( n) ( t ) x2 ( t ) xn ( t ), (9) x1 ( t )c1 ( t )c2 ( t )cn
(t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) xn ( t ) x c1 (t ) x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t )
令 x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x n ( t )c n ( t ) 0, 则
c2 ck 0 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所
给区间上线性无关.
朗斯基行列式 设函数 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 在区间 a t b 上均 有k 1 阶导数,行列式
W x1 ( t ), x2 ( t ),, xk ( t )
(6)1
( t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) x x c1 ( t ) x1 n ( t ); (6)2 (t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) xn ( t ) x c1 (t ) x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t )
性微分方程.
定理1(解的存在唯一性定理)如果 ai ( t )( i 1,2,, n) 及
f ( t ) 都是区间 a t b上的连续函数,则对于任一 t0
(1) ( n 1) [a , b]及任意的 x0 , x0 , x0 ,方程(1)存在唯一解 x
( t ), 定义于区间上,且满足初值条件
则
x
( n1)
( n1) ( n1) ( n1) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) c n ( t ) x n ( t );
(8)2
( n1) ( n1) ( n1) x ( n1) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) cn ( t ) x n ( t );
将 (5),(6)1 ,(6)2 ,(7)1 ,(7)2 ,(8)1 ,(8)2 ,(9) 代入(1)并注意到
x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的解,得到
( n1) (t ) x1 ( t )c1 ( n1) (t ) x2 ( t )c2 ( n1) ( t ) f ( t ). xn ( t )cn
也是(2)的解,这里 c1 , c2 , , ck 是任意常数. 问题
当 k n 时,若 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t )是齐次线性方程(2)的解,
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
能否成为方程(2)的通解？
不一定.
(7)1
(t ) c2 (t ) x2 (t ) cn (t ) x x c1 (t ) x1 n ( t ); (7)2
, 令 ( n 2) ( n 2) ( n 2) ( t ) xn ( t ) 0, (8)1 x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t )cn