§10.4高阶线性微分方程
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第-节 高阶线性微分方程【高等数学PPT课件】
其中 k按 i 不是特征根,是单根依次取0,1.
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
m maxl, n
Rm ( x),Qm ( x) 都是x的m次多项式, 其系数待定.
例4 设 y 5 y 6 y f ( x)
(1) f ( x) sin x 写出 y 的形式.
(2) f ( x) x cos x
Pm ( x) 为x的m次多项式. 其中 为常数,
分析： 设 y Q( x)ex 是原方程的解，则代入
原方程，整理得
Q (2 p)Q (2 p q)Q Pm ( x) ()
综上，对 f ( x) Pm ( x)ex 型
令 y x kQm ( x)ex
y p1( x) y p2 ( x) y f1( x) f2 ( x) 的特解.
定理5 若 y1( x), y2( x) 是方程(10)的两个解, 则 y1( x) y2( x) 是方程(9)的解.
例3 设 y1 x, y2 x 2 , y3 x3 是方程 y p1( x) y p2( x) y f ( x)
定理2 若 y1( x), y2( x)是方程(9)的两个线性无关
( y1 y2
常数) 的解,
则 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (9)的通解.
上述定理可推广到n阶线性齐次方程。
若已知方程 y p1( x) y p2( x) y 0 有一特解 y1( x), 要求其通解, 则只要再求出该方程的另一个与 y1( x) 线性无关的特解 y2 ( x) 即可. 用降阶法求 y2( x) :
第四节 高阶线性微分方程 二、线性齐次微分方程解的结构
二阶线性齐次微分方程：
y p1( x) y p2( x) y 0 ——（9） 定理1 若 y1( x), y2( x) 是方程(9)的两个解, 则
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
高阶线性微分方程
3x
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
例题. 例题 设 为实数, 求方程 y'' + y = 0的通解. 解: 特征方程为 λ2 + = 0
(i) < 0时, λ = ± , 原方程通解为
y = C1e
x
+ C2 e
x
(ii) > 0时, λ1 = λ2 = 0, 通解为
y = C1 + C2 x
(ii) = 0时, λ = ± i , 通解为
令 z (x) = C' (x), 则
dz y1 + (2 y1′ + p1 ( x) y1 ) z = 0 dx
即
dz 2 y1′ + + p1 ( x) z = 0 dx y1
z = Ce
∫
′ 2 y1 y + p1 ( x ) dx 1
= Ce
2 dy dx + p1 ( x ) dx y1
y1 ≠ 常数. y2
由此判定, a ≠ b时, e , e 线性无关.
ax bx
定理1(叠加原理 定理 叠加原理) 叠加原理 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) (ii) 证: y = y1+ y2 也是(2)的解. y = ky1也是(2)的解.
(i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii).
故原方程的通解为
y = C1e
3x
1 19 3 x + C 2 ( x + x + )e . 3 18
2
步骤三: 求方程(4)的特解 步骤三 求方程 的特解 y* 定理 设方程(3)的两个线性无关的特解y1, y2 已知时, y* 由下式给出
高阶线性微分方程
令 y = ue x 是非齐次方程的解， y ′′ = u ′′e x + 2 u ′e x + ue
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
x
为 y1 = e x，
y ′ = ue
x
+ u ′e x ，
= ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e x ，
x x x
1 x 代入原方程得 ( u ′′ + 2 u ′ + u ) e 2 ( u + u ′) e + ue = e x 1 整理得 u ′′ = u ′ = ln x + c1， u = x ln x + c1 x + c 2 x
y2
≠ 常数，
则 Y = c1 y1 + c2 y 2是 (3)的通解
证明
2
二 解的结构
2
设y = c1 y1 + c2 y2， (3)得 代入
(3) d2 y dy + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx
d y dy d y1 dy1 + p( x) + q( x) y = c1[ 2 + p(x) + q(x) y1] + 2 dx dx dx dx
d2y dy 再由定理 3得非齐次方程 + p( x) + q( x) y = f ( x) 2 dx dx 通解 : y = Y + y1 = C1 x 2 + C 2 e x + 3
三常数变易法
1.基本步骤 1)求出方程
( 3) d2y dy + p( x) + q ( x) y = 0 2 dx dx
知函数及其各阶导函数 都是线性的。
高阶线性微分方程
u 21 a1 u 12 a11 a2 u 0,
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
《高阶微分方程》PPT课件
y yc y .
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
10-4 高阶线性微分方程
r1， 2 1 2i ,
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ).
故所求通解为
例 4 求微分方程
y 2 y 8 y 0
的通解
解 特征方程为
r 2r 8 ( r 4)(r 2) 0
2
解得
r1 4, r2 2
在任何区间 I 上都 线性无关.
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为 0 的
使
y1 ( x) k2 y2 ( x) k1
线性无关
( 无妨设
k1 0 )
y1 ( x) y2 ( x)
常数
定理 2 ： 如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的 通解. （ C1 , C 2 是任意常数）
解的叠加原理
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
的特解, 那么 y y 就是原方程的特解.
* 1 * 2
例1 已 知 y1 3，y 2 3 x 2，y 3 3 x 2＋e x 都 是 微 分 方 程
x
2
2 x y x 2 2 y 2 x 2 y 6 x 1
2) 有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
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(10.4.7), 得
( 2 p q)e x 0
由于 e x 0 , 所以
2 p q 0
(10.4.8)
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由此可见, 只要 λ是代数方程(10.4.8)的根, 函数 e x 就是微
分方程(10.4.7)的解 . 我们把代数方程(10.4.8)叫做微分方程 (10.4.7)的特征方程, 其根称为微分方程(10.4.7)的特征根.
=Y p( x )Y q( x )Y ( y* ) p( x )( y* ) q( x ) y*
=0 ( y* ) p( x)( y* ) q( x) f ( x)
所以 y Y y*为方程(10.4.1)的解. 另一方面, 我们注意
到 Y 的结构中包含了两个独立的任意常数, 所以式(10.4.5)为 二阶非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
* y* yk k 1 n
就是方程(10.4.6)的一个特解.
证
由假设知
* ) p( x)( y* ) q( x) y* f ( x)(k 1,2,, n) ( yk k k k
将
y*
n
k 1
* yk 代入方程(10.4.6)的左端, 有
n
n * * y p ( x ) y k q( x ) y k k 1 k 1
定理4 (叠加原理) 设有二阶非齐次线性微分方程
y p( x) y q( x) y f k ( x)
k 1
* 如果 yk 为非齐次线性微分方程.
n
（10.4.6）
y p( x) y q( x) y f k ( x)(k 1,2,, n)
的一个特解, 那么
y C1e1 x C2e2 x
( C1 , C2 为任意常数)
(10.4.9)
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(2) 特征根为重根 当判别式 p2 4q 0 时, 特征方程(10.4.8)有两个相同 p 的实根 = , 这时方程 (10.4.7) 只有一个特解 2 y2 x y1 e , 我们需要再找一个解, 并使得 不是常数. y1 y 设 2 u( x ), 即 y2 ( x ) u( x ) y1 u( x )e 1 ( x ) , y1
§10.4 高阶线性微分方程
一. 线性微分方程通解的结构
二. 常系数齐次线性微分方程的解法
三. 常系数非齐次线性微分方程的解法 四. 欧拉方程
教学目标
1. 掌握二阶常系数齐次微分方程的求解方法. 2. 了解 n 阶常系数齐次微分方程的求解方法. 3. 掌握二阶常系数非齐次微分方程的求解方法. 4. 了解欧拉方程的求解方法.
1 cos2 x sin2 x 0
又如, 函数 1, x , x 2 在任何区间(a, b)内是线性相关
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因为当 x (a, b) 时, 要使
k1 k2 x k3 x 2 0
则必须 k1 , k2 , k3 全为零.
特别地, 对于两个函数 y1( x), y2 ( x) , 如果 y1 ( x ) 常数, 则是 2
y Y y*
为非齐次线性微分方程(10.4.1)的通解.
机动
(10.4.5)
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证 把(10.4.5)式代入方程(10.4.1)的左端, 根据Y(x)是对应 齐次方程(10.3.2)的通解, 有
Yy
*
p( x) Y y
*
q( x) Y y*
机动
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结束
在微分方程中, 人们通常把二阶及二阶以上的微分方程,
统称为高阶微分方程. n阶微分方程的一般形式为：
y( n) a 1 ( x) y( n1) an1 y an ( x) y f ( x)
其中 a i ( x) (i 1, 2,..., n) 为给定的函数, f ( x ) 为 x 的已 知函数. 特别的, 当 f ( x ) 0 时, 称方程
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
(10.4.4)
为方程(10.4.2)的通解, 其中, C1 ，C2 为任意常数. 值得说明的是一般微分方程的通解不一定包含它的全部解,
而线性微分方程无论是齐次的, 还是非齐次的, 它的通解却包
含了它的全部解.
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定理2 指出了二阶线性微分方程通解的结构. 为了求它的通
y py qy f ( x )
方程(10.4.1)对应的齐次线性微分方程是
y py qy 0
(10.4.7)
1、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 由齐次线性微分方程通解结构定理10.4.2可知, 只要求出 方程(10.4.7)的两个线性无关的解, 就可以得到其通解.
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x )
也是方程(2)的解, 其中 , C1 , C2 为任意常数. 注 虽然解中含有两个任意 C1 , C2 , 但它不一定是方程
(10.4.2) 的通解. 例如, 设 y1 ( x) 是方程(10.4.2) 的一个解 那么 y2 ( x ) 2 y1 ( x) 也是方程(10.4.2)的解, 但
1 2
下面来求 u( x ), 对 y2 求导得,
y2 e 1 x ( u 1 u ) y2 e 1 x ( u 21 u 12 u )
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, y2 代入方程(10.4.7), 得 将 y2 , y2
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在§10.2中, 我们看到: 一阶非齐次线性微分方程的通解 由两部分构成：一部分是它相应的齐次方程的通解; 另一部 分是它的一个特解. 实际上, 不仅一阶线性微分方程的通解
这样的结构, 二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解
也有同样的结构. 定理3 (非齐次线性方程通解结构) 设 y* ( x )是二阶非齐 次线性微分方程(10.3.1)的一个特解, Y是对应齐次方程(10.4.1) 的通解, 则
的 n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) Cn yn ( x )
其中 C1 , C2 ,, Cn为任意常数. 下面讨论二阶非齐次线性方程(10.4.1)的通解结构. 我们 把方程(10.4.2)称为与非齐次线性方程(10.4.1)对应的齐次方 程.
y p( x) y q( x) y f ( x )
其中 p( x) , q( x ) , f ( x) 是 x 的已知连续函数.
(10.4.1)
若 f ( x) 0 ，则称方程(10.4.1)为二阶非齐次线性微分方程. 若 f ( x) 0 , 则称方程
y p( x ) y q( x ) y 0
n k 1
* k
=
故
y*
n
k=1
* * * ( yk ) p( x)( yk ) q( x) yk
f ( x)
n k 1 k
k 1
* yk 为方程(10.4.6)的一个特解.
n
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二. 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
特征方程(10.4.8)是一个一元二次代数方程, 根据初等代数
学的知识，该方程有两个根 1, 2 可由求根公式
p p 2 4q 1,2 2
求得. 它们有三种不同的情形, 分别对应着微分方程(10.4.7 ) 的通解的三种不同情形, 分别讨论如下:
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由于方程(10.4. 7)的左端是关于 y, y, y 的线性关系式,
且系数为常数. 当 λ为常数时, 指数函数 e x 和它的各阶导 数最多只差一个常数因子, 因此我们用 y e x 尝试, 看能否 取到适当的常数 λ, 使 y e x 是方程(10.4.7)的解. 对 y e x 求导, 得 y e x , y 2e x . 将 y, y, y 代入方程
的通解, 只需要求出它的两个线性无关的特解, 就可以由式
(10.4.4)构造出通解, 进而得到它的全部解.
例1 求微分方程 y y 0 的通解. 解 这是一个二阶齐次线性方程, y1 sin x 与 y2 cos x 是所给方程的两个线性无关的解. 因为
y1 sin x tan x 常数 y2 cos x
k1 y1( x) k2 y2( x) kn yn( x) 0
(10.4.3)
在区间 I上恒成立, 则称 y1( x), y2( x),..., yn( x) 在区间 I上 线性相关; 否则, 称线性无关. 例如，函数 1,cos2 x,sin2 x 在整个数轴上是线性相关的, 因为
y C1 y1 ( x ) C2 y2 ( x ) (C1 2C2 ) y1 ( x) Cy1 ( x) (C C1 2C2 )
却不是方程(10.4.2)的通解, 因为 C C1 2C2 只能看成 一个任意常数.
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根据定理10.3.1, 我们可得齐次线性方程(10.3.2)的通解结 构定理. 定理2 设函数 y1( x)、y2 ( x) 是齐次线性方程(10.4.2)的 两个线性无关的解, 则