2阶线性微分方程解析
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
二阶线性微分方程组
二阶线性微分方程组在数学领域中，二阶线性微分方程组是一种非常重要的方程形式，它在物理学、工程学和统计学等领域中都得到了广泛的应用。
本文将对二阶线性微分方程组进行详细地介绍及分析。
一、基本概念二阶线性微分方程组是指由二元函数所形成的方程组，其中每个函数都是自变量的函数，并且该方程组可以表示成如下的形式：$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}y_{1}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y_{1}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{1}(x)y_{1}(x)&=f_{1}(x)\\\frac{\mathrm{d}^{2}y_{2}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{2}(x)\frac{\mathrm{d} y_{2}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{2}(x)y_{2}(x)&=f_{2}(x)\end{aligned}$$其中，$y_{1}(x),y_{2}(x)$ 是二元函数，$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x),q_{2}(x),f_{1}(x),f_{2}(x)$ 都是已知函数。
这种方程组的特点是每个方程中只含有一个未知函数及其导数。
二、特解与通解解二阶线性微分方程组需要先找到该方程组的特解和通解。
方程组的特解指的是满足该方程组的某个特定解法；通解指的是该方程组的所有解法的集合。
特解与通解的构成取决于方程组的三个系数：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$。
共分为三种情况：情况一：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$ 都是常数。
此时，我们需要先求出方程组的特征方程：$\lambda^{2}+p_{1}\lambda+q_{1}=0$。
该特征方程的解将决定特解和通解的形态。
如果特征方程有两个两个不同的实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$，则方程组的通解为：$$y_{1}(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x},y_{2 }(x)=C_{3}e^{\lambda_{1}x}+C_{4}e^{\lambda_{2}x}$$其中，$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$ 是任意常数。
§4.4.2二阶常系数线性微分方程_东南大学高等数学解析
a ib 是特征方程的单根 ②
。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2 x 3 的特解。
解： f (x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f (x) Pm (x)e ax 型（m 1, a 0 ） ，
特征方程为r 2 5r 6 0 ， r1 2 ，r2 3 ，
④
a 不是方程①的特征根时， （1）当 aa 2 ba c 0 ，即
∵ p m ( x ) 是一个m 次多项式，要使方程④的两端恒等，
m 次多项式 Q m (x) ， 则 Q( x ) 必定是另一个
∴设 Qm (x) A x m A1x m1 A m1x A m 。
ax 故方程 ay by cy e [Pm (x)cosbx Pn (x)sin bx]
具有如下形式的特解：
y
k (aib) x k (aib) x y1 y2 x QLe x QLe .
y x QLe
k ax
k
(aib) x
x QLe
]
Pm Pn (aib) x Pm Pn (aib) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f ( x ) P ( x )e
(aib) x
P ( x )e
(aib) x
,
Pm Pn Pm Pn Pm Pn Pm Pn i ， P(x) i， 其中 P( x ) 2 2i 2 2 2 2i 2 2 m, n} 。 是互成共轭的 L 次 多项式,而 L max{
并用同样的方法来确定Q m ( x ) 中的系数A i (i 0, 1, , m) 。
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程求解
二阶线性常微分方程是一种重要的微分方程，它是一个双重阶的微分方程，包含一个高阶导数和一个一阶导数，可以用来描述物理过程中特定变量之间的变化。
它可以用来描述复杂系统的行为，从而为我们提供一种有效的解决方法。
二阶线性常微分方程的一般形式为：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)，其中y是一个未知函数，P(x)和Q(x)是确定的函数，f(x)是给
定的函数。
二阶线性常微分方程的解法有多种，但是最常用的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种迭代法，它可以解决二阶线性常微分方程。
牛顿迭代法的基本思想是：将二阶线性常微分方程分解为两个一阶线性常微分方程，然后采用牛顿迭代法迭代求解。
牛顿迭代法的步骤如下：（1）确定初值，即设定y(x0)和
y'(x0)的初始值；（2）求解y'(x0)的值，即求解一阶线性常微
分方程；（3）求解y(x0)的值，即求解二阶线性常微分方程；（4）将求得的y(x0)和y'(x0)作为下一次迭代的初始值，重复
步骤（2）和（3），直到满足给定精度要求为止。
二阶线性常微分方程在工程学和物理学中都有着广泛的应用，例如，可以用它来模拟物理系统的运动，从而获得精确的解决方案；也可以用它来解决水利工程中的洪水问题，从而获得最优的解决方案。
总之，二阶线性常微分方程可以用来模拟各种复杂物理过程，牛顿迭代法是一种有效的解决方法，它可以帮助我们获得更准确的解决方案。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法二阶微分方程是一种重要的数学工具，使用普通方程难以描述的许多自然现象，可以通过二阶微分方程来描述。
二阶微分方程的解法一般通过分离变量、变量代换、常数变易法、常微分方程定理等多种方法来实现。
1.分离变量法对于形如 y''=f(x)y 的二阶微分方程，可以通过分离变量来解决。
首先将方程转化为 y''/y=f(x)，然后对两端同时积分，得到ln|y|=∫f(x)dx+C(常数)，则 y=Ae^（∫f(x)dx）或 y=Be^（-∫f(x)dx）。
2.变量代换法当二阶微分方程存在某种特殊的变量代换时，我们可以通过代换来解方程。
例如，对于 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的方程，如果我们用y=e^(∫p(x)dx)v(x) 进行代换，则方程转化后的 v(x) 满足 v''+(q(x)-p'(x))v(x)=0,可以进一步使用其他的解法来求解。
3.常数变易法常数变易法主要适用于二阶齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的特殊情况。
在解此类方程时，我们常常按照 y=e^(mx) 代入方程，然后解出对应的特征方程。
如果特征方程的根是实数或共轭复数对，那么方程的通解可以表示为y=C1e^(αx)+C2e^(βx)，其中 C1，C2 是任意常数，α，β 是特征根；如果特征方程的根是重根，那么方程的通解可以表示为 y=(C1+C2x)e^(mx)。
4.常微分方程定理对于非齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 的解法，可以利用常微分方程定理（又称为Lagrange公式）来完成。
该定理指出，非齐次线性微分方程的特解可以表示为y*=u(x)y1+v(x)y2，其中 y1，y2分别为解齐次方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0，u(x) 和 v(x) 是待定系数函数。
二阶齐次线性微分方程的求解
二阶齐次线性微分方程的求解二阶齐次线性微分方程的求解________________________________________________________________在数学中，二阶齐次线性微分方程是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多有关物理学、工程学、生物学和经济学等问题。
它可以用来描述物理系统中的运动及其影响，也可以用来描述生物系统中的发展及其影响，还可以用来描述经济系统中的变化及其影响。
本文将介绍二阶齐次线性微分方程的求解，以及它在不同领域中的应用。
一、二阶齐次线性微分方程的求解1.1 定义二阶齐次线性微分方程是一个常微分方程，它的形式为：$$ay''+by'+cy=0$$其中，a、b、c为常数，y为未知函数，y'为y的一阶导数，y''为y的二阶导数。
1.2 解法由于二阶齐次线性微分方程具有特殊的形式，所以它的解法也很特殊。
一般来说，它的解法可以分为两步：（1）将原方程转化为一般形式：$$r^2+pr+q=0$$其中，r、p、q是常数，r为公因子，p、q为不定因子。
（2）解一般形式：$$r=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$根据上式可以得到原方程的两个根。
然后根据两个根求出原方程的解。
二、二阶齐次线性微分方程在不同领域中的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述物体在受外力作用时的运动。
例如，它可以用来描述一个物体在受重力影响时的运动；也可以用来描述一个物体在受弹力影响时的运动。
2.2 生物学中的应用在生物学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述生物体在受外界因素影响时的发展。
例如，它可以用来描述一个生物体在受光强度影响时的生长情况；也可以用来描述一个生物体在受水分影响时的生长情况。
2.3 经济学中的应用在经济学中，二阶齐次线性微分方程也有重要应用。
例如，它可以用来描述一个国家在受外部影响时的贸易情况；也可以用来描述一个国家在受外部影响时的通货膨胀情况。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
二阶线性齐次微分方程通解
二阶线性齐次微分方程通解二阶线性齐次微分方程是一类常用的数学方程，它是一类重要的常微分方程，它提供了一种解决复杂科学问题的有用工具。
本文针对二阶线性齐次微分方程将做简单的解释。
二阶线性齐次微分方程的一般形式为：$$y^{''}+a_1y^{'}+a_2y=0$$ 其中$a_1$和$a_2$都是实常数，$y$代表连续函数$y=f(x)$的变量。
它可以使用特殊函数$y=e^{rx}（r）$来解决，其中$r$也是一个实常数，称为方程的根（解）。
实际上，二阶线性齐次微分方程有两种不同的解决方案：一种是采用根法，求解得到特定的实数解；另一种是采用线性变换法，将微分方程变换成一种简单的形式，以较省时间地求解出通解。
根法的步骤是：1. 对方程的一阶导数求导，获得对应的一阶低阶微分方程；2. 解决一阶低阶微分方程，获得一阶导数的表达式；3. 将得到的一阶导数表达式带入原方程，就可以求出方程的实数根；4. 根据根的数量，有两种情况：一个根时，通解形式为$y=e^{rx}；$两个根时，通解形式为$y=e^{rx}（c_1+c_2x）$;5. 利用初值条件，确定系数$c_1$和$c_2$。
而线性变换法则由Euler，Legendre等数学家发展而来，它的思想是根据系数的特征，将原方程变换成一种简单的形式，从而求解出通解。
在变换后的方程中，可以利用解析函数得出通解。
变换步骤如下：1. 首先要分析方程中系数的特征：对于$a_2\neq 0$，可以分解成一阶微分形式$y^{'}+b_1y=0$;2. 求一阶微分形式$y^{'}+b_1y=0$的解，得到$u=e^{b_1x}$;3. 利用$u=e^{b_1x}$中的$u$，重新定义变量$y=uw$;4. 将$y=uw$带入原函数中，解得方程$w^{'}+A_1w=0$的解，从而得到通解$y=C_1e^{A_2x}$。
通过以上不同的方法，我们可以解决二阶线性齐次微分方程的通解，从而推动现代数学的发展，为科学研究提供有效的计算工具。
二阶微分方程解法
第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程: 方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r, 使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e rx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)e rx=0.由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=e rx就是微分方程的解.特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式24 22,1qppr-±+-=求出.特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数xr ey 11=、xr ey 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=aib 时, 函数y =e (a +ib )x 、y =e (a ib )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1e (a +ib )x 和y 2e (a ib )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (a +ib )x e x (cos x i sin x ) y 2e (a ib )xex (cosxi sinx )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22iex sinx)(21sin 21y y ix e x -=βα故e ax cos bx 、y 2=e ax sin bx 也是方程解.可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e ax sin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y-2y-3y =0的通解.解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r1)(r3)其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x +C 2e 3x . 例2 求方程y+2y+y =0满足初始条件y |x =0=4、y| x =0=-2的特解.解 所给方程的特征方程为 r 2+2r +1=0, 即(r1)2其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导, 得y=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).n阶常系数齐次线性微分方程: 方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y yD n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项: Ce rx;一对单复根r1, 2=a ib对应于两项: e ax(C1cos bx+C2sin bx);k重实根r对应于k项: e rx(C1+C2x+ +C k x k-1);一对k重复根r1, 2=a ib 对应于2k项:e ax[(C1+C2x+ +C k x k-1)cos bx+( D1+D2x+ +D k x k-1)sin bx].例4 求方程y(4)-2y+5y=0 的通解.解这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3, 4=12i.因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β.因此所给微分方程的通解为)2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-.二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程y +py +qy =f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:y =Y (x )+ y *(x ).当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx 型当f (x )=P m (x )e lx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q(x )+(2l +p )Q(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m次多项式:Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=Q m(x)e lx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:Q(x)=xQ m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=xQ m(x)e lx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).成立, Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Q m(x),Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解y*=x2Q m(x)e lx.综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如y*=x k Q m(x)e lx的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 例1 求微分方程y-2y-3y =3x +1的一个特解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=3x +1, l =0). 与所给方程对应的齐次方程为y -2y -3y =0,它的特征方程为r 2-2r -3=0.由于这里l =0不是特征方程的根, 所以应设特解为y *=b 0x +b 1.把它代入所给方程, 得-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1, 比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.由此求得b 0=-1, 311=b . 于是求得所给方程的一个特解为 31*+-=x y . 例2 求微分方程y-5y+6y =xe 2x 的通解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为y -5y +6y =0,它的特征方程为r 2-5r +6=0.特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y =C 1e 2x +C 2e 3x .由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x .把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.由此求得210-=b , b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为x e x x y 2)121(*--=. 从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=. 提示y *=x (b 0x +b 1)e 2x(b 0x 2+b 1x )e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0xb 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x 5[(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x6(b 0x 2+b 1x )e 2x [2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x [2b 0x +2b 0b 1]e 2x方程y+py+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式应用欧拉公式可得e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]]2)(2)([ ie e x P e ex P e x i x i n x i xi lx ωωωωλ---++= x i nlx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,其中)(21)(i P P x P n l -=, )(21)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y+py+qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x ,则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按liw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程y+py+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ]. 综上所述, 我们有如下结论:如果f (x )=e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py +qy =f (x )的特解可设为y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.例3 求微分方程y +y =x cos2x 的一个特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为y +y =0,它的特征方程为r 2+1=0.由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为 y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x . 把它代入所给方程, 得(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 94=d .于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=.提示y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .y *=a cos2x 2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x (2cx +a 2d )cos2x +(2ax 2b c )sin2xy *=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax 2b c )cos2x(4ax 4b 4c )cos2x (4cx 4a 4d )sin2x y * y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 94=d .。
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( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * ) ( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x)
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故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关.
的通解为
Y ( x) y ( x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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例4. 已知微分方程 y P( x) y Q( x) y f ( x) 有三
个解 y1 x , y2 e x , y3 e 2 x , 求此方程满足初始条件
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
高阶线性微分方程
线性齐次方程解的结构
线性非齐次方程解的结构
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y P( x) y Q( x) y f ( x)
( n)
(二阶线性微分方程)
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
a1 ( x) y
( n 1)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
P( x) y2 Q( x) y2 ] 0 证毕 C2 [ y 2
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说明:
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解 但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
证毕
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 4.
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, m )
f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
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一、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1 ( x), y2 ( x) 是二阶线性齐次方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
y C1 y1 Cn yn (Ck 为任意常数 )
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二、线性非齐次方程解的结构
定理 3. 设 y * ( x) 是二阶非齐次方程 ① 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则 y Y ( x) y * ( x) ②
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y Y ( x) y * ( x) 代入方程①左端, 得
思考:
中有一个恒为 0, 则
必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
数) 是该方程的通解.
y2 tan x y1
推论.
例如, 方程
有特解
且
常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为
② 则微分
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
y C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
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则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 使 存在不全为 0 的 线性相关
线性无关 线性无关
y1 ( x) k2 ( 无妨设 y2 ( x) k1 k1 0 ) y1 ( x) 常数 y2 ( x)
(证明略)
的特解, 是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x)
k 1
m
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.
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定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程
是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1 Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且 x y2 y1 e x 2x 常数 y3 y1 e x 因而线性无关, 故原方程通解为
y C1 (e x x) C2 (e 2 x x)
代入初始条件 y (0) 1, y(0) 3, 得 C1 1, C2 2 , 故所求特解为 y 2 e 2 x e x .
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第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
rx y e ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0