常系数非齐次高阶线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法
用w
n- k 1
R 2 ( t) ・( t - w 1 ) = tn + ( - Q1 - w 1 ) tn- 1+ …+ ( - Q k + w 1Q k- 1 ) tn- k + … + ( - Qn- 1 + w 1Q n- 2) t + w 1 Qn- 1 ,
86 所以由定理 1 知, R 2( t ) ・ ( t- w 1) = R 1 ( t) . 定理 3 的证明 使用数学归纳法 . 1. 当 n= 1 时, 定理显然成立; 2. 假设 n = k 时 , 该定理成立; 3. 当 n= k + 1 时 , 由定理 1 知
∑∑C
t ≠t
0
ktj
e
ut x 0
j= 0
∫
x e
j ( u t - ut ) x
0
k t0
- 1
dx + e
ut x 0
・ ∑ C kt 0 j x dx + C k+ 1 e
j j= 0
∫
ut x 0
,
利用 x j e x d x = e x ・
高阶常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。
它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。
一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。
它也被称为高阶非齐次微分方程。
其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。
假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。
为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。
二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。
齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。
特征根决定了系统的动态性质。
找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。
三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法
高阶常系数非齐次线性微分方程的算子法是一种特殊的数值解法，用于求解高阶常系数非齐次线性微分方程。
它利用算子方法（operator method）来求解这类方程，即将微分方程转化为
一个算子方程，然后再使用数值方法求解算子方程。
首先，将高阶常系数非齐次线性微分方程转化为算子方程，即：
$\mathcal{L}y=f$
其中，$\mathcal{L}$是一个算子，$y$是待求解的函数，$f$是
方程的右端项。
接下来，使用数值方法求解算子方程。
常用的方法有有限差分法（finite difference method）和有限元法（finite element method）等。
有限差分法是将算子方程转化为一组线性方程组，然后使用数值解法（如Gauss-Seidel法）求解。
有限元法是将空间上的算子方程转化为一组有限元方程，然后使用数值解法（如Galerkin法）求解。
最后，根据求解的结果，得到算子方程的解，即高阶常系数非齐次线性微分方程的解。
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。
那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。
这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。
对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。
但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。
例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。
在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。
因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
高数常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型 为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 、
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
例2 求微分方程y5y6yxe2x得通解 解 齐次方程y5y6y0得特征方程为r25r 60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2就是特征方程得单根
所以非齐次方程得特解应设为 y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x
因此所给方程得通解为
提示 2b01 齐2b次0方b1程源自y5y6y0得通解为YC1e2xC2e3x
高数常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
根据解得结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解得方法 — 待定系数法 根据 f (x) 得特殊形式 , 给出特解 y *得待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 、
例4、求方程 y y x cos 2x 得一个特解 、
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
i 2i 不就是特征方程得根故, 设特解为
y* ( a x b) cos 2x (c x d )sin 2x
代入方程得
(3a x 3b 4 c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
特解:
1),
y1 xkQm (x) e(i ) x (Qm (x)为m次多项式)
常系数非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
例2求微分方程y〃一 2y' - 3y = e、*(l +疔)的.
【例2解］齐次方程的通解为=邕厂‘ + 设特解形式为 y* = e3"(a° + ai* + a2x2} 代入原方程得 2QI + 4Q°+ (6^2 + 8QI)X + 12力2疔=1 + *2
dy dy d 1 dy dx dt
dx x dt
d2y
1 dy 1 d2y x2 dt
dx
2
* x2 d t2
常系数非齐次线性微分方程
无阻尼强迫振动：若+砂工=hsinpt
dtz
方程的右端为f(x) = hsinpt,与
eQX[Z^(x)cos/?% + P[(x)sin6x]
比较，有a = 0,8 = p, Pm(x) = 0, PQ) = h.所以
当p丰k，其特解可设为：
m
烏=°)
x* = acospt + bsinpt.
p)Q'(x) = Pm(x) ◄------
(2A + p)Q'(x)决定左端多项式最高次数，于是 Q3)=xQm(x) (Qm(x)为m次多项式) 所以特解形式 为
y* = xe"*Qm(x) (Qm(x)为m次多项式)
第52讲常系数非齐次线性微分方程一一常系数非齐次线性微分方程
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
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整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
x
(
1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
(
1 2
x2
x ) e2 x
.7ຫໍສະໝຸດ 例3. 求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x
xke x Qm (cos x i sin x) Qm (cos x i sin x)
xke x Rm cos x R~m sin x
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
12
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
x ( d cos x k sin x )
18
例8 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e(i) x
Pl
(x) 2
P~n (x) 2i
e( i
)
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
2k
方程④的解为
21
x Asin ( k t ) h t cos k t
2k
自由振动
强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
o
可无限增大, 这时产生共振现象 .
x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; x
若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p= k.
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 ,
y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数 多p项)式Q (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
10
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)
e
x
Pl
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解: 取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).
o
(1)
自由振动方程：
d d
2
t
x
2
2n
dx dt
k
2
x
0
x
(2)
强迫振动方程： d 2 dt
x
2
2n
dx dt
k
2
x
h
sin
pt
x
19
例9 上例 中若设物体只受弹性恢复力 f
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
4
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
f (x) e xPm (x)
综上讨论
设 y* xkexQm ( x) ,
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
2
1、f (x) e xPm (x) 型
y py qy f (x)
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
3c 0 3d 4a 0
a
1 3
,
d
4 9
bc0
于是求得一个特解
16
例6.
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
24
2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
为实数 ) .
解: 特征方程 r 2 4r 4 0, 特征根: r1 r2 2
对应齐次方程通解:
2时,
令
y
Ae x ,
代入原方程得
A
1
( 2)2
,
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为 y C1 C2ex C3e2 x
由初始条件得
C2
2C3
1 2
所求解为 y 3 ex 1 e2 x 1 x
4
4
2
C1
3
4
C2 1
C3
1 4
8
例4. 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子上，运 动开始时，链条的一边下 垂8 米，另一边下垂10 米 ， 试问整个链条滑过钉子需多少时间．
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
17
例7. 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
5
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
23
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x