高数常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程
高阶常系数非齐次线性微分方程在工程、物理、金融等领域都有广泛应用。
它是一个非齐次方程，其中存在一个常系数，其次数为高阶的微分方程，求解这个微分方程是理解和应用这些领域的重要基础。
一、概述在微积分的学习过程中，学生们常常会遇到求解常系数非齐次线性微分方程的问题。
它也被称为高阶非齐次微分方程。
其中的“常系数”指的是微分方程中所有的系数都是常数，而“非齐次”则表示方程中存在非零项。
假设我们有一个高阶常系数非齐次微分方程：$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=f(x)$$其中 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$ 是常数，$f(x)$ 是一个已知函数。
为了解决该微分方程，我们需要找到一个解 $y(x)$。
二、齐次微分方程的求解首先，我们需要解决由齐次微分方程所得到的通解。
齐次微分方程是指 $f(x)$ 的项为 $0$，即$$\frac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$这个微分方程可以通过假设 $y(x)=e^{\lambda x}$ 为通解进行求解，得到特征值方程：$$\lambda ^n+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_1\lambda+a_0=0$$特征值方程的解称为特征根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，它们也称为系统的固有值。
特征根决定了系统的动态性质。
找到特征根后，我们可以得到齐次微分方程的通解：$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2x}+...+c_ne^{\lambda_n x}$$其中 $c_1, c_2,...,c_n$ 是常数。
三、非齐次微分方程的求解在解决了齐次微分方程的通解后，我们可以将非齐次微分方程转化为齐次微分方程。
常系数非齐次线性微分方程
在经济学中，常系数非齐次线性微分方程可以用于 描述经济系统的变化趋势和规律。
02 常系数非齐次线性微分方 程的解法
特解的求解方法
待定系数法
通过设定特解的形式，代入原方程求解待定系数。
微分算子法
利用微分算子的性质，构造特解的形式。
复数法
通过复数域的方法，求解特解。
变参数法
通过改变参数的值，寻找满足原方程的特解。
通解的求解方法
分离变量法
通过将方程转化为分离变量的形式，求解得到通解。
变量代换法
通过引入新的变量代换简化原方程，求解得到通解。
积分法
通过对方程两边积分，求解得到通解。
通解的求解实例
实例1
求解方程$y'' + 2y' + y = e^{-x}$，通过分 离变量法得到通解$y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方 程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
判断方法
通过解方程来判断，如果方程有唯一解，则说 明解是唯一的。
应用
在数学、物理等领域中，解的唯一性是基础且重要的概念。
解的存在性
定义
解的存在性是指对于给定的初始条件，方程是否 有解。
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。
那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。
这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。
对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。
但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。
例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。
在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。
因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。
高数第十二章常系数非齐次线性微分方程
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .
因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x
高等数学：第八讲 二阶常系数线性非齐次微分方程(1)
齐次方程的通解为 Y C1ex C2e3x ．
由于这里 0 不是特征根，所以设方程的特解为 y* b1x b0
把它代入方程得
3b1x (2b1 3b0 ) 3x 1
比较系数得
32bb11
3 3b0
1
b1
1, b0
1 3
所以原方程的一个特解为
y* x 1 3
因此所求通解为
y
C1e x
f (x) Pm (x)ex
此时微分方程(1)成为
Pm (x) a0 xm a1xm1
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
am1x am
分三种情形讨论此式：
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
(1)设不是特征方程的 根，即2 p q 0.
C2e3x
(x
1) 3
谢谢
y (C1 C2 x)er x y e x (C 1 cos x C2 sin x)
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
定理
设 y * (x) 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，
Y C1 y1(x) C2 y2 (x)是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，
则 y Y y* C1 y1(x) C2 y2 (x) y * (x) 是方程(1)的通解.
二阶常系数 线性非齐次 微分方程(1)
目录
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
03
例题
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
二阶常系数非齐次线性
齐次微分方程解法
微分方程的一般形式 （一）; py' qy f (x) (1)
同济高数（第七版）--第七章
第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为dy y g dx x f )()(=形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为)(x y dx dy ϕ=的形式，用u xy =替换法；一种较特殊的方程c b a y x c by ax dx dy 111++++=（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类微分方程1.01==c c 时，(1111x y x y x y b a yx by ax dx dy b a b a ϕ=++=++=属于第二类微分方程；2.01≠⋅c c 时，首先考虑b a ba 11=（&）成不成立；（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重新构造分子、分母，来使得新形成的常数都为零，为了计算简便，引入的新参数必须与x、y 齐次,故设m X x +=、n Y y +=，这样就确保了dX dx =、dY dy =，故c b a b a c b a n m Y X cbn am bY aX y x c by ax dx dy dX dY 11111111++++++++=++++==，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像 1.一样，常数都为零，即0111=++=++c b a n m c bn am （A ），因为（&）不成立，所以011≠-ab a b ，故可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=b ba c cb b a a ac a b m a b c n 11111111，则此时就有)(1111111X Y X Y X Y ba Y X bY aX y x c by ax dx dy dX dYb a b ac b a ϕ=++=++=++++==，属于第二类微分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（A ）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设λ==b a b a 11，c b a b a c b a y x c y x y x c by ax dx dy 11111111)(++++=++++=λ，再令y x u b a 11+=，此时⇒=+++=⇒++=-=)(1111111u g u c u dx du u c u dx du dx dy a c b c b a λλduu g dx x f )()(=（1)(=x f ），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.),(y x f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含y 型]，用p y ='替换法；2.),(y y f y '=''型[y 的二阶微分方程中不含x 型]，用p y ='替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为)()(x Q y x p dxdy =+的形式，用背公式或者常数变易法；公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y =e e dx x p dx x p dxx Q C ⎰⎰+⎰)()()(【背诵口诀：C+Q(X)积分含e 的P(x)积分方，再除以e 的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C 为u ，求出y '；第三步：将第二步得到的⎩⎨⎧='=y y 代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个参数u ，一个关系式足矣），消掉y '、y 后（第一、二步都是为这个消掉y '、y 做准备），解得u '，再利用积分求得u ；第四步：将u 代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程y n x Q y x p dxdy )()(=+（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dx x p x Q ydy y x Q y x p dx dy )]()([)()(-=⇒=+，属于第一类微分方程；2.当n=0时，)()(x Q y x p dx dy =+，属于第四类微分方程；3.当n 1,0≠时，方程变形得)()(1x Q x p dx dy y y n n =+--，令C z dy dz dxdz dx dy y y n y n n n n +=⇒=⇒=-----1)1()1(，取y n z -=1，则有)1(n dx dz dx dy y n -=-代入y n x Q y x p dx dy )()(=+后变形得)()1()()1(x Q n z x p n dx dz -=-+，令)()()1(2x x p n p =-，)()()1(2x x Q n Q =-)()(22x z x dx dz Q p =+⇒，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为)()()(x f y x Q y x p y =+'+''的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y 等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n 阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u u 21,，求出y '、y ''；第三步：将第二步得到的⎪⎩⎪⎨⎧=''='=y y y 代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式①（两个引入参数u u 21,，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u u 21,，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y ''中出现u u ''''21,，而又因为u u 21,均不为常数，故在y '定会出现u u ''21,，而要划线部分同时成立，则必须在y '中将u u ''21,抵消掉，而y u y u y u y u y '''+'++='22112211，故令02211='+'y u y u ②，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的①式，所以将②式在第二步中就运用，这样得到的①式为)(2211x f y u y u =''+''②，联立①②就可解得u u ''21,），再利用积分求得u u 21,；第四步：将u u 21,代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
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等式两边取共轭 : y1 p y1 q y1 Pm ( x) e ( i ) x
这说明 y1 为方程
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③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 ~ x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 原方程 y p y q y e
比较系数得
1 a b 0 2a c 1 a b 0
a0 b 1 c2
y e x x e x
故原方程为
x x Y C e C e 对应齐次方程通解: 1 2
原方程通解为
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y C1 e C 2 e
x
x
xe
x
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例2 求微分方程y5y6y通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 比较系数 得 b0 1 b11 故 y* x( 1 x 1)e2x 2 2 因此所给方程的通解为 y C1e2x C2e3x 1 (x2 2x)e2x 2 提示 2b01 2b0b10 5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x 齐次方程 y
为实数 ) . 解: 特征方程 r 2 4 r 4 0 , 特征根: r1 r2 2 对应齐次方程通解:
2 时, 令 y A e x , 代入原方程得 A
故原方程通解为
1 ( 2 )
2
,
2 时, 令 y B x 2 e x , 代入原方程得 B 1 , 2
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Qm ei x Qm e i x x k e x Qm (cos x i sin x)
x e
y1 k x
第四步 分析 y 的特点
y
x e
因
y1 y1 k x
y1
y1
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1
y1
y*
~ 均为 m 次实 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , R m
多项式 .
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小 结:
对非齐次方程 ~ y p y q y e x Pl ( x) cos x P n ( x) sin x
比较两端 x 同次幂的系数 得 b01 b1 1 3 因此所给方程的特解为 y* x 1 3
提示 [ b 3 x0 b 3 ]2[b0xb1]3[b0xb1]2b03b0x3b1 0b 1 2b 3 b1 3b1 30 b 2 b1 0x 0
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
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内容小结
1. y p y q y Pm ( x) e x
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
y* x k Qm ( x) e x ~ x 2. y p y q y e [ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x]
Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y*
y1
Qm (cos x i sin x) ~ k x x e Rm cos x Rm sin x ~ 其中 R m , R m 均为 m 次多项式 .
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* x k Qm ( x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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特解的形式为
其中Qm x 为待定多项式,即 m m 1 Qm ( x) b0 x b1 x bm1 x bm 将 y x k (b x m b x m1 b x b )e x 0 1 m 1 m
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
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第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
i x i x i x i x e e e e ~ f ( x) e Pl ( x) Pn ( x) 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x e 2i 2 令 m max n , l , 则
代入方程 从而确定特解.
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y x Qm x e 0, 若不是特征根 k 1, 若 是特征单根 2, 若 是特征重根
* k
x
y py qy e Pm ( x)
x
即可确定系数：
b0 , b1 ,, bm 1 , bm ,
例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
时可设特解为
y* (a x b) cos 2 x (c x d ) sin 2 x k e 2 x
提示:
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
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x 2. 求微分方程 y 4 y 4 y e 的通解 (其中
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解: ~ k x y* x e Rm cos x Rm sin x
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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例4. 的一个特解 . ~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 2 特征方程 r 1 0
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例5. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
所求通解为
①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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x f ( x ) e Pm ( x) 型 一、
为实数 , Pm ( x) 为 m 次多项式 . 设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q ( x ) 为待定多项式 ,
x
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
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第二步 求如下两方程的特解 ( i ) x y p y q y Pm ( x) e
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
~ [ R ( x ) cos x R y* x e m m ( x ) sin x ]
k
x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
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二、
f ( x) e
x
~ Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x 型
分析思路:
第一步将 f (x) 转化为
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e( i ) x
第二步 求出如下两个方程的特解 y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
故原方程通解为
3/2/2017
x 3. 已知二阶常微分方程 y a y b y c e 有特解
y e (1 x e ), 求微分方程的通解 .
2x
x
解: 将特解代入方程得恒等式
(1 a b) e x (2 a) e x (1 a b) x e x c e x
第八节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e
x
Pm ( x) 型
二、 f ( x) e [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x ) sin x ] 型
3/2/2017
x
二阶常系数线性非齐次微分方程 : y p y q y f ( x) ( p, q 为常数)
3/2/2017
Q ( x)
( p q ) Q ( x) Pm ( x)
2
(2) 若 是特征方程的单根 , 即 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y * x Q ( x ) e 则 Q ( x) m
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得 (3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0 于是求得一个特解