二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
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二阶常系数非齐次线性微分方程资料讲解
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
先求 y y ex 的特解
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
特别地 y py qy Aex
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
代入上式 2Aj 4, A 2 j,
y* 2 jxe jx 2x sin x (2x cos x) j, 所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4 求方程 y y x cos 2x 的通解.
一、 f ( x) ex Pm ( x) 型
设非齐方程特解为 y Q( x)ex 代入原方程
().Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0, 可设 Q( x) Qm ( x), y Qm ( x)ex;
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2( x)均是m次实系数多项式
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
12-8二阶常系数非齐次线性微分方程-PPT精品文档
e x [ Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x )]
Pm(x)ex
y是方 (8 .1 )的 程 解
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
3x2 (0) x(a2x b xc) 1
y p y q f ( y x ) ( 8 . 1 )
对应齐次线性方程:
L [ y ] y p y q y 0 ( 8 . 2 )
其中p,q均为实常. 数 分(8析.1)的由通线解性结微构分: 方程y解Y的结y构, 定理知，求(8.1)
的通解的关键是求与(8.1)对应的齐次线性 如何求方(8程.1()8的.2特)的解通？解方Y 及法：(8.待1)定的系一数个法特.解y*.
类型1 f(x)P m (x)ex
其 P m ( x ) a 0 x 中 m a 1 x m 1 a m 1 x a m ,
,ai(i1,2, ,m )均为a0 常 0. 数，
方程(8.1)必有如下形式的特解： yx kQ m (x )ex
其 Q m ( x ) 中 b 0 x m b 1 x m 1 b m , bi(i 1,2,,m)均为待定常数，
即 Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
(1) 若不是特征方程的根，
由 方(8程 .1)所 确; k定 的 取 法 如 下 ：
Pm(x)ex
y是方 (8 .1 )的 程 解
Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( 2 p q ) Q ( x ) P m ( x )
3x2 (0) x(a2x b xc) 1
y p y q f ( y x ) ( 8 . 1 )
对应齐次线性方程:
L [ y ] y p y q y 0 ( 8 . 2 )
其中p,q均为实常. 数 分(8析.1)的由通线解性结微构分: 方程y解Y的结y构, 定理知，求(8.1)
的通解的关键是求与(8.1)对应的齐次线性 如何求方(8程.1()8的.2特)的解通？解方Y 及法：(8.待1)定的系一数个法特.解y*.
类型1 f(x)P m (x)ex
其 P m ( x ) a 0 x 中 m a 1 x m 1 a m 1 x a m ,
,ai(i1,2, ,m )均为a0 常 0. 数，
方程(8.1)必有如下形式的特解： yx kQ m (x )ex
其 Q m ( x ) 中 b 0 x m b 1 x m 1 b m , bi(i 1,2,,m)均为待定常数，
即 Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
Q ( x ) F ( ) Q ( x ) F ( ) Q ( x ) P m ( x ) ( 8 . 3 )
(1) 若不是特征方程的根，
由 方(8程 .1)所 确; k定 的 取 法 如 下 ：
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
非齐次特解形式: x = asin pt + bcos pt h , b=0 代入④可得: a = 2 2 k −p 因此原方程④之解为
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
因 此 所 给 方 程 的 特 解 为 y * = x 1 3
提示 [b30bx0=b31]2[b0xb1]3[b0xb1] =2b03b0x3b1 =2b30b0x3b21=b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0 其根为r1=2 r2=3
提示
此时2pq=0 2p=0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Qm(x) 其中Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
下页
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
提示
此时2pq=0 但2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x) 其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则 y*=xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2prq=0的重根 则 y*=x2Qm(x)ex
下页
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
提示 [b30bx0=b31]2[b0xb1]3[b0xb1] =2b03b0x3b1 =2b30b0x3b21=b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0 其根为r1=2 r2=3
提示
此时2pq=0 2p=0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Qm(x) 其中Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqy=Pm(x)ex
y*=xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
提示
此时2pq=0 但2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x) 其中Qm(x)=b0xm b1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则 y*=xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2prq=0的重根 则 y*=x2Qm(x)ex
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
二阶常系数非齐次微分
二阶常系数非齐次微分
二阶常系数非齐次微分方程指的是形如：
$$\frac{{d^2y}}{{dx^2}}+a\frac{{dy}}{{dx}}+by=f(x)$$
其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。
求解这样的微分方程一般可以采用特解叠加原理。
首先求解齐次微分方程：
$$\frac{{d^2y_h}}{{dx^2}}+a\frac{{dy_h}}{{dx}}+by_h=0$$ 假设齐次微分方程的解为$y_h=e^{rx}$，其中$r$是待定的复数。
将$y_h$代入齐次微分方程，得到特征方程：
$$r^2+ar+b=0$$
特征方程的解决定了齐次微分方程的解的形式。
如果特征方程的根为$r_1$和$r_2$，那么齐次微分方程的通解为：
$$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
接下来求特解。
根据非齐次微分方程的结构，可以猜测特解的形式为：
$$y_p=u(x)e^{rx}$$
将$y_p$代入非齐次微分方程，可以得到关于$u(x)$的线性微分方程。
解这个线性微分方程，可以得到特解$y_p$。
将特解$y_p$与齐次解$y_h$相加，即可得到非齐次微分方程的通解：
$$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+y_p$$
其中$c_1$和$c_2$为任意常数。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
分析如下：
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
下页
例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
下页
例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
下页
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2pq0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
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例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
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例1 求微分征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
特解形式
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x1)e2x 2
提示
此时2pq0 2p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx.
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二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx] 有形如 y*=xkeλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx] 的特解, 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=max{l, n}, 而k , , = , , 按λ+iω(或λ−iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1. >>>
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例1 求微分方程y′′−2y′−3y=3x+1的一个特解. 解 齐次方程y′′−2y′−3y=0的特征方程为r2−2r−3=0. 因为f(x)=Pm(x)eλx=3x+1, λ=0不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0x+b1. 把它代入所给方程, 得 −3b0x−2b0−3b1=3x&方程
一、 f(x)=Pm(x)eλx型 二、f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型
方程y′′+py′+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+y*(x).
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 因此所给方程的通解为 y =C e2x +C2e3x − 1 (x2 +2x)e2x . 1 2
比较两端同类 项的系数, 得 >>> 得a=−1 , b=0, c=0, d = 4 . 3 9 因此所给 方程的特解为 y*=−1 xcos2x+ 4 sin 2x . 3 9
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例3 求微分方程y′′+y=xcos2x的一个特解. 解 齐次方程y′′+y=0的特征方程为r2+1=0. 因为f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]=xcos2x, λ+iω=2i不是 特征方程的根, 所以所给方程的特解应设为 y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x. 把它代入所给方程, 得 >>> (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+4a+3d)sin2x=xcos2x.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q=0, 2λ+p=0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), 其中Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 有形如 y*=xkQm(x)eλx 的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k按λ不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2.
提示: 此时λ2+pλ+q=0, 但2λ+p≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m+1次多项式: Q(x)=xQm(x), 其中Qm(x)=b0xm +b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊) (1)如果λ不是特征方程r2+pr+q=0的根, 则 y*=Qm(x)eλx. (2)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的单根, 则 y*=xQm(x)eλx. (3)如果λ是特征方程r2+pr+q=0的重根, 则 y*=x2Qm(x)eλx.
比较两端 x 同 次幂的系数, 得 b0=−1, b =1 . 1 3 因此所给 方程的特解为 y*=−x+ 1 . 3
提示: [b0x+b1]′′−2[b0x+b1]′−3[b0x+b1] =−2b0−3b0x−3b1 −3b0=3, −2b0−3b1=1. =−3b0x−2b0−3b1.
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