二阶常系数非齐次线性微分方程解法与例题_新
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二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
非齐次特解形式: x = asin pt + bcos pt h , b=0 代入④可得: a = 2 2 k −p 因此原方程④之解为
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次 升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方 程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
微分方程-二阶常系数非齐次线性微分方程
从而
∗ y1 = −2ixe ix = −2ix (cos x + i sin x )
= 2 x sin x + ( −2 x cos x ) i ,
Q
f ( x ) = 4 sin x = Im(4e ix )
(4e 的虚部)
ix
∗ ∴ 原方程有特解： y∗ = Im( y1 ) = −2 x cos x
λ = 1 是特征单根，k = 1
∗ ∴ 可设立特解： y2 = x ⋅ ce x ,
由解的叠加原理， 对于 y ′′ − y ′ = xe − x + e x ,
∗ ∗ ∴ 可设立特解： y∗ = y1 + y2
例2 求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe 2 x 的通解 . 解 1°特征方程 特征根
λ = 0不是特征根， k = 0
∴ 可设立(1)的特解形为
y∗ = Ax + B
( y∗ )′ = A, ( y∗ )′′ = 0
代入(1)，得
1 ∴ A= B= 2 a
a 2 ( Ax + B ) = x + 1
1 故(1)有特解： y = 2 ( x + 1) a
∗
∴ 当a > 0时， (1)的通解为： 1 y = C1 cos ax + C 2 sin ax + 2 ( x + 1). a
作变量变换
x = e t 或 t = ln x ,
将自变量换为 t ,
d y d y dt 1 d y = = , d x dt d x x dt
d2 y 1 ⎛ d2 y d y ⎞ ⎟, = 2⎜ 2 − dt ⎟ d x2 x ⎜ d t ⎠ ⎝
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
2b0x2b0b1=x 比较系数 得 b0 = 1 b1=1 故 y*= x( 1 x 1)e2x 2 2 提示 2b0=1 2b0b1=0 5y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x 齐次方程 y
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例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 有形如 y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=max{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
2b0x2b0b1=x 比较系数 得 b0 = 1 b1=1 故 y*= x( 1 x 1)e2x 2 2 提示 2b0=1 2b0b1=0 5y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x 齐次方程 y
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例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 有形如 y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=max{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
提示 此时2pq0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0xmb1xm1 bm1xbm
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一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在数学的领域中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的研究对象。
它在物理学、工程学、经济学等众多学科中都有着广泛的应用。
接下来，让我们深入探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法以及相关例题。
首先，我们来明确一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中＄p$、＄q$ 是常数，＄f(x)＄是一个已知的函数。
为了求解这个方程，我们通常分为两个步骤：第一步，先求解对应的齐次方程：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$ 。
对于这个齐次方程，我们假设它的解为＄y ＝ e^｛rx}＄，代入方程中得到特征方程：＄r^2 ＋ pr ＋ q ＝ 0$ 。
通过求解这个特征方程，可以得到两个根＄r_1$ 和＄r_2$ 。
当＄r_1$ 和＄r_2$ 是两个不相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄；当＄r_1 ＝ r_2$ 是相等的实根时，齐次方程的通解为＄y_c ＝（C_1 ＋ C_2x)e^｛r_1x}＄；当＄r_1$ 和＄r_2$ 是一对共轭复根＄r_{1,2} ＝＼alpha ＼pm ＼beta i$ 时，齐次方程的通解为＄y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos(＼beta x) ＋ C_2\sin(＼beta x)）＄。
第二步，求出非齐次方程的一个特解＄y_p$ 。
求特解的方法通常根据＄f(x)＄的形式来决定。
常见的形式有以下几种：1、当＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄P_n(x)＄是＄n$ 次多项式。
如果＄＼alpha$ 不是特征根，设特解为＄y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄，其中＄Q_n(x)＄是与＄P_n(x)＄同次的待定多项式；如果＄＼alpha$ 是特征方程的单根，设特解为＄y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼alpha x}＄；如果＄＼alpha$ 是特征方程的重根，设特解为＄y_p ＝x^2Q_n(x)e^｛＼alpha x}＄。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单 的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了 微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立 的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
02
03
04
05
二阶常系数非齐次线性 该方程具有以下特点 微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函 数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导 系数是常数，不随$x$变 右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线 性微分方程解法及例题详 解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自 然科学、工程技术和社会科学等领域 有广泛应用，如物理学、化学、生物 学、经济学等。
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提示
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
3
9
特解形式
结束
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x
把它代入所给方程 得 >>>
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
比较两端同类项的系数 得 a>>> 1 b0 c0 d 4
同类项的系数
得 a1
b0
c0
3 d
4
9
3
9
因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2x + 4 sin 2x
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>
2b0x+2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b01 齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解
解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10
因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
因此所给方程的通解为
y
C1e2
x
+Leabharlann C2e3x1 2(
x
2
+
2
x)e
2x
特解形式
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
yY(x)+y*(x)
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy*[Q(x)ex]+ p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0x+b1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x+1
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
因此所给方程的特解为 y* x + 1 3
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
3
9
特解形式
结束
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提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x
把它代入所给方程 得 >>>
(3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
比较两端同类项的系数 得 a>>> 1 b0 c0 d 4
同类项的系数
得 a1
b0
c0
3 d
4
9
3
9
因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2x + 4 sin 2x
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得 >>>
2b0x+2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b01 齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
方程y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
下页
例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解
解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10
因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
因此所给方程的通解为
y
C1e2
x
+Leabharlann C2e3x1 2(
x
2
+
2
x)e
2x
特解形式
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
yY(x)+y*(x)
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy*[Q(x)ex]+ p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0x+b1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x+1
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
因此所给方程的特解为 y* x + 1 3
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60