常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法
一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。
本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。
下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。
对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。
我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。
1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。
1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。
1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
1 1
2
1 1
＝0，
积分得 c1(t)＝ c1 ，c2(t)＝- e t + c2 ， c3(t)＝ et + c3 ，
t x c1 (t ) c2 (t )et c3 (t )e t c1 (t ) c (t )e t 2 2 (t )e c3 (t ) (t )e t 1 ； 令 y c1 (t ) c3 (t )e t ，代入原方程组得： c1 c3 z c (t ) c (t )e t 2c (t )e t c (t ) c (t )et 2c (t )e t 3 1 2 3 2 3 1 t t (t ) ＝0， c (t ) ＝ e ， 求得 c1 2 (t ) ＝ e ， c3
常系数非齐次线性微分方程组的特解定理
dX ＝AX-B 中，若 A、B 为常数阵，且 A≠O，[AB]与 A 同秩， dt
定理 在常系数非齐次线性微分方程组
则线性方程组 AX＝B 的解就是该微分方程组的一个特解 X；并且当 A 满秩时，常数解 X 唯一. 证明 当 A、X、 a dt
dx dt 2 x y z 2 dy 求常系数非齐次线性微分方程组（*） x z 1 的通解 dt dz 3x y 2 z 3 dt
例
解
解得特征根为 ＝0， 1， -1. 求得对应的特征向量为 1 ＝c1(1,1,-1)， 2 ＝c2(1,0,-1)， 3 ＝c3(1,1,-2)，
一般地，再由常数变易法求原方程组（*）的解.
x c1 c2 e t c3e t 原方程组（*）的通解为： y c1 c3e t 1 . z c c e t 2c e t 1 1 2 3 2 x y z 2 y x 1 z 1 ，求得 但若根据定理，直接解对应的线性方程组 x ，取 x＝0，可以得到一个 z x 1 3 x y 2 z 3
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法
一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法的研究和应用1.研究(1)经典复数解法复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为一般形式的复数解法，可以使用经典复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$可以转化为：$$\lambda^2+p\lambda+q=0$$其中，$\lambda$是复数解的形式，可以求出：$$\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$分别为$\lambda$的两个根。
(2)拉普拉斯变换复数解法拉普拉斯变换复数解法是指将非齐次线性微分方程转化为拉普拉斯变换形式的复数解法，可以使用拉普拉斯变换复数解法求解，例如：常系数非齐次线性微分方程可以转化为拉普拉斯变换复数解法：$$y''+py'+qy=0$$其中，p和q是常数，y是函数。
可以将其转化为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+qy=0$$ 可以转化为：$$s^2+ps+q=0$$其中，$s$是拉普拉斯变换的形式，可以求出： $$s=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$则原微分方程的通解为：$$y=c_1e^{s_1t}+c_2e^{s_2t}$$。
常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。
本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。
以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。
一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。
下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。
首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。
k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。
)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。
将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。
常系数线性非齐次微分方程
2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。
本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。
以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。
一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。
下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。
首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。
k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。
)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。
将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。
此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。
但求解的工作量大。
二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ]令 ,,,,)1(21-='==n nxx x x x x 则,,,,)1(13221n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- )()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n+----=+----=='---这时可写⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x x 2121x ,x x ，则方程（1）等价于⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----='--f(t)00x x 12101000010p p p p n n n，记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=--)(00)(,01000010121t f p p p p n n nt F A ，写成F (t)Ax +='x ………………（2.1）那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t Φ及其特解)(t ϕ就可以求得。
若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)1(00=='=-t xt x ，）t x n ，则其特解可由常数变易公式[][]ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t nk tt n n k k )()(,),(),()(,),(),()()(121210∑⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ϕ给出。
其中[])(,),(),(21s x s x s x W n 是)(),(),(21s x s x s x n 的朗斯基行列式，[][])(,),(),()(,),(),(2121s x s x s x W s x s x s x W n n k 是在中以第k 列代入()T1,0,,0,0 后得到的行列式。
三．比较系数法 [ 1 ]对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为[]t n t m e t t t p t f e t p t f ∂+==ββλsin )(p t cos )()()()(s 或，（其中)(),(),(t p t p t p s n m 分别为m 次，n 次，s 次多项式。
βαλ,,为实常数）时，可预见确定特解x ~的形式，即分别令)((,)(~t Q e t Q t x m t mk λ=为一待定m 次多项式，k 是方程（1）的特征方程有根λ时λ的次数）或[]t m m k e t t Q t t Q t x αββsin )(cos )(~)2()1(+=，（其中[])(),(.,max )2()1(t Q t Q s n m m m =位两个代定m 次项式，k 为方程含根t βα±的次数。
然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t 同次幂系数的方法确定代定系数多项式。
再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。
四、简化待定系数法 [ 2 ]比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。
但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。
下面介绍第四种方法——简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。
现作如下介绍： 定理4.1 方程t m n n n n e t p x p x p x p x λ)()2(2)1(1)(=++++-- （2）其中λ,,,,21n p p p 为常数，)(t p m 为m 次多项式。
则可设方程（2）的一个特解t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(~110=+++=-++ （4.2）其中).2,1,0(m i b i =是待定系数，由恒等式)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m k =∑+=kj !……………………（4.3） 来确定，)(t F 为方程（2）的特征方程，k 为由特征方程0)(=λF 的根λ的重数（λ是单根时k=1，λ不是特征根时k=0）证明：设t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(110=+++=-++ 为方程 （2）的解，则))()((t Q t Q e x t'+='λλ ))()(2)((2t Q t Q t Q e x t ''+'+='λλλ))()()()(()1(3212111)1(t Q t Q C t Q C t Q e x n n n n n t n ------++''+'+=λλλλ))())()()()(()()1(1221111)(t Q t QC t Q C t Q C t Q e x n n n nn n n n n t n +++''+'+=------λλλλλ将)(,,,n x x x x '''代入方程（2）的左端x p x p x p x n n n n ++++-- )2(2)1(1)(tn t n t n n n n n t n n n n n n n n n t e t Q p t Q t Q e p t Q t Q t Q e p t Q t Q C t Q e p t Q t QC t Q C t Q C t Q e λλλλλλλλλλλλλλ)())()(())()(2)(())()()(())())()()()((122)1(21111)()1(1221111+'++''+'+++++'++++''+'+=------------ tm n j t n n te t p j F t j Q j e F t Q n F t Q F t Q F t Q e λλλλλλλλ)())(())((!1)]()(!1)()(!21)()(!11)()([0)()(==++''+''+=∑=于是得到)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m=∑=0j !……（4.4） 其中1)(!1),()(F 01,)()((0)2211==++++=--λλλλλλλn n n n nF n F p p p F ！记由于λ是F （λ）的k 重特征根，可得0)(,0)()()()()()1(≠===''='=-λλλλλk k F F F F F 而于是由（4.4）得（4.5）。
反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数t e t Q x λ)(=是方程（1）当是它相应特征方程的k 重根时的特解。
当λ时，0)(a t p m =是特征方程的k 重根，则方程（1）有形如tk k e t F a x λλ)(~)(0=。
特例 对于方程t e a x p x p x λ021=+'+''<1>当λ不是特征方程时，有特解te F a x λλ)(~=<2>当λ是特征方程的单根时，有特解t te F a x λλ)(~'=<3>当λ时特征方程的重根时，有特解t e t F a x λλ20)(~''=当10)(a t a t p m +=，λ是特征方程的k 重根，则方程（1）有特解)()(,)()1(,)(~)()1(011)(00110λλλλk k k tkk F F b a b F k a b e t b tb x ++-=+=+= 而形如tn n n n e t t p t t p x p x p x p x λββ)sin )(cos )((21)2(2)1(1)(+=++++-- （)(),(21t p t p 分别为m 次和n 次多项式，β,∂为常数），则可利用Euler 公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。