可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构..

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第三节可降阶的高阶微分方程

例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解。＝
dp 解令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。于是，于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。两边积分，得两边积分， dx y = C2 eC1x。运用分离变量法，运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a

4.3 可降阶的高阶微分方程

2
设原点到A的距离为定值a,初始条件为:
y (0) = a , y '(0) = 0，令： y ' = p，
dp dx dp 1 2 ⇒ = . = 1+ p ，方程变为: 2 a dx a 1+ p x 两端积分得：arshp = + C1 , a 由初始条件得 C1 = 0, 故
x dy x x arshp = , p = = sh , y = ach + C 2 . a dx a a
浙江舟山群岛金塘大桥
——连岛工程的第五座跨海大桥该桥起自金塘岛，接至宁波的镇海炼化厂西侧。按照工程设计，该桥跨海全长18.5公里，行车道宽度为26米，双向四车道；设置三个通航孔道，主航道桥采用主跨620米的双塔双索面斜拉桥方案，通航等级为50000吨级，通航净空高度51米，通航净宽544米；副航道桥分别采用主跨为186米的连续刚构和主跨为150米的连续梁桥。金塘大桥是继东海大桥、杭州湾跨海大桥后国内第三长的跨海大桥，在舟山大陆连岛工程5座大桥中规模最大。
由初始条件得 C 2 = 0.
于是绳索的状态方程为: (悬链线) x x − x a a y = ach = ( e + e a ). a 2
悬链线的几何意义
x a y = ach = ( e + e a 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
代入验证得 C1 = C 2，所以通解为：y = C (e + 1).
x
例5 一离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面的速度和所需的时间。(不计空气阻力) 解:取连接地心与物体的直线为y 轴，其方向为铅直向上, 取地球中心为原点O，设物体的质量为m，物体开始下落时距离地心为h，地球半径为R，质量为Mk为引力系数，时刻t时物体所在的位置为 y =y(t)，速度为:

可降阶的高阶微分方程

三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解．解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2．以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】

2007级(下)第29次课第六节可降阶的高阶微分方程

那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则
称线性无关
例如当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
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特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.

dy dx

C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
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三、恰当导数方程
特点左端恰为某一函数( x, y, y,, y(n1) ) 对x的导数, 即 d ( x, y, y,, y(n1) ) 0. dx
解法：类似于全微分方程可降低一阶
( x, y, y,, y(n1) ) C, 再设法求解这个方程.
解法：令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
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五、小结
解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解
两
端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2 d ( y) 0,
y2
dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
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另解原方程变为 y y , y y

可降阶高阶微分方程

n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)

高阶微分方程求解

3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关解由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时

【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点方程缺自变量x dy p p( y ) 解法设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )

第五节可降阶的高阶微分方程

解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1，即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .

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两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C , 即1 p2 Cy,
dp 解设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
dy dy 即ln p ln y ln C1， p C1 y，分离变量得 : C1dx，即 C1 y， y dx dy 积分 : C1dx，即 : ln y C1 x ln C2，所以 : y C2e C1 x , y
( n)
f ( x , y , y ,
, y( n1) ).
一、 y( n ) f ( x )型
特点：不显含未知函数y, y， y( n1) . 解法：接连积分n次，得通解．
4
例1
求方程y e 2 x cos x的通解.
1 2x 解 y e cos x dx e sin x C0 , 2 1 2x 1 2x y e sin x C0 dx e cos x C0 x C2 , 4 2
则原方程的通解为：y C2e C1 x .
9
例5 求微分方程2 yy 1 y 2满足初始条件 y x 0 1,y x 0 1 的特解. dp 解设y P( y ), 则y P , 将y, y代入原方程得： dy 2p 1 dp 2 dp d y , 2 yP 1 P ，分离变量得 2 1 p y dy
例4 求微分方程yy y 2 0的通解. dp 解设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
8
例4 求微分方程yy y 2 0的通解.
7
三、 y f ( y, y) 型的微分方程特点：不显含自变量 x. dy dp 解法：令y P , 则y P , dx dy dP d y dP d dP P ， (y ) y ( y) dy dx dy dx dx dp 代入原方程,得 P f ( y , P ) 这是一阶微分方程. dy
5
二、y f ( x, y) 型的微分方程特点：不显含未知函数 y. dP 解法：令y P( x ), 则 y P , dx 代入原方程,得 P f x, P ( x ) . 这是一阶微分方程.
例2 求微分方程(1 x 2 ) y 2 xy满足 y x 0 1,y x 0 3的特解. dP 解所给方程是y f ( x, y) 型，令y P( x ), 则 y P , dx 1 2x 1 2x d x, 积分 d P d x, 代入原方程,得 d P 2 2 P 1 x P 1 x 即ln P ln(1 x 2 ) ln C , 则得:P C (1 x 2 ), 由 y x 0 3得： C 3，
10-3 可降阶的高阶微分方程
1
1. 微分方程的概念
复习
微分方程; 阶; 解; 通解; 特解; 定解条件. 2. 可分离变量方程 g( y )d y f ( x )d x 的求解方法:
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积-------隐式通解.
dy y ( )的微分方程. 3.齐次方程形如 dx x
则:P 3(1 x 2 ), 即y 3(1 x 2 ), 两边积分得: y 3 x x 3 C1 ,
1 C1 , 则所求的特解为:y 3 x x 3 1. 由 y x 0 1得：
6
例3 求微分方程xy y 0的通解.
解令y P( x ), 则 y P d P , dx dP 代入原方程 xP P 0, 即x P, dx 1 1 积分得 ln P ln x ln C1 分离变量,得 d P d x， P x C1 d y C1 P , 即， x dx x 对它两端积分,得 y C1 ln x C2，原方程通解为 y C1 ln x C2 .
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx P ( x )dx P ( x )dx ( Q( x )e dx C ) （2）通解公式 y e
（1）一般式
解法？
3
10-3 可降阶的高阶微分方程高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低这种类型的方程称为可降阶的方程. 阶的方程来解，相应的解法称为降阶法. 一般形式： y
y dy du 解法：作变量代换 u , 即 y xu, 则 u x . x dx dx
dy 其它变量代换: ( x y ), 令u x y dx
2
4. 一阶线性齐次微分方程
dy （1）一般式 P( x) y 0 dx P ( x )dx （2）通解公式 y Ce
2x

1 2x y e cos x C0 x C 2 dx 4
1 2x C e sin x C1 x 2 C2 x C 3 , 其中 : C1 0 , 8 2 1 2x 2 y e sin x C x C2 x C3 . 所以原方程通解为 1 8