§4.3 高阶微分方程的降阶法

令y = x , 并y为新的未知函数, x为新的
'
自变量, 原方程化为 dy d ( n −1) y G ( x, y, , L , ( n −1) ) = 0 dx dx
第二步: 求以上方程的通解
y = ϕ ( x, c1 , L , cn −1）
第三步: 解方程
dx = ϕ ( x, c1 , L , cn −1） dt
这里c1 , c2是任常数.
练
P182
1（2）（3 ）
习
即得原方程的通解
d 2 x dx 2 例2 求方程x 2 − ( ) = 0的通解. dt dt dx 解 = y, 并以x作为新的自变量 , 令 dt dy xy − y 2 = 0 则方程化为 dx dy y = , 从而可得 y = 0, 及 dx x 这两方程的全部解是 y = c1 x, dx 再代回原来变量得到 = c1 x, dt c1t 所以得原方程的通解为 x = c2 e ,
'
若令x
(k )
= y, 则可把方程化为y的n − k阶方程
( n −k )
对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x = ψ (t , c1 , L , cn ), 这里c1 , L , cn为任常数
F (t , x ( k ) , x ( k +1) , L , x ( n ) ) = 0
高阶微分方程的降阶法 §4.3 高阶微分方程的降阶法
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式 阶微分方程的一般形式: 阶微分方程的一般形式 1 不显含未知函数 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k 1(k>1)阶导数的方程是 或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
用数学归纳法易得:
dy d y x 可用y, , L , ( k −1) (k ≤ n)来表示 dx dx
(k )
( k −1)
将这些表达式代入(4.49)可得:
dy d ( n −1) y G ( x, y, , L , ( n −1) ) = 0 dx dx
它比原方程降低一阶
解题步骤: 解题步骤 第一步:
解题步骤: 解题步骤
(4.57)
令x ( k ) = y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' , L , y ( n −k ) ) = 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y = ϕ (t , c1 , L , cn − k )
x
(k )
= ϕ (t , c1 , L , cn − k )
1 − ∫ p (t ) dt dt , c1 = 0, c2 =1,得(4.69)的一个解: x2 = x1 ∫ 2 e x1 因它与x1之比不等于常数, 故x1 , x2线性无关
因此(4.70)为(4.69)的通解.
这里c1 , c2是任常数.
例3 已知 x = sin t 是方程 t 试求方程的通解 解
3 已知齐线性方程的非零特解 进行降阶 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x = x1 ≠ 0是二阶齐线性方程
d 2x dx + p (t ) + q (t ) x = 0, 2 dt dt
的非零解 令
(4.69)
x = x1 y
则
x = x1 y + x y
' ' ' 1
x = x1 y + 2 x y + x y
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x = c1t 5 + c2t 3 + c3t 2 + c4t + c5 ,
2 不显含自变量 的方程 不显含自变量t的方程 的方程, 一般形式: 一般形式
F ( x,
(4.59)
此时以y = x '作为新的未知函数, 而把x作为新的自变量,
引入新的未知函数 z = y ,
'
方程变为
dz x1 + 2[ x1'' + p (t ) x1 ]z = 0 dt c − ∫ p ( t ) dt , 是一阶线性方程,解之得 z = 2 e x1 因而 1 − ∫ p ( t ) dt x = x1[c1 + c2 ∫ 2 e dt ], (4.70) x1
d 2x 2 dx + + x = 0的解， 2 dt t dt
2 sin t 这里 p (t ) = , x1 = t t 2 2 − ∫ dt sin t t 由(4.70)得 x = [c1 + c2 ∫ 2 e t dt ] t sin t sin t t2 1 = [c1 + c2 ∫ 2 2 dt ] t sin t t 1 sin t = [c1 − c2 cot t ] = [c1 sin t − c2 cos t ] t t
F (t , x, x , L , x ) = 0
' (n)
F (t , x ( k ) , x ( k +1) , L , x ( n ) ) = 0 （ ≤ k ≤ n） (4.57) 1
)=0 (4.58) 若能求得(4.58)的通解 y = ϕ (t , c1 , L , cn − k ) (k ) 即 x = ϕ (t , c1 , L , cn − k ) F (t , y, y , L , y
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x = ψ (t , c1 , L , cn ), 这里c1 , L , cn为任常数
d 5x 1 d 4x = 0的通解. 例1 求方程 5 − 4 dt t dt d 4x 解 令 = y, 则方程化为 4 dt dy 1 − y=0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y = ct , 4 d x 即有 = ct , 4 dt
dx 因为 = y, dt 2 d x dy dy dy dx = = = y , 2 dt dt dx dt dx dy d ( y ) dx d 3x d d 2x d dy dx = = (y ) = dt 3 dt dt 2 dt dx dt dx d2y dy 2 = y( ) + y 2 2 , dx dx
'' '' ' 1 ' '' 1
代入(4.69)得
x1 y + 2[ x + p (t ) x1 ] y + [ x + p (t ) x + q (t ) x1 ] y = 0
'' '' 1 ' '' 1 ' 1
即
x1 y + 2[ x + p (t ) x1 ] y = 0
'' '' 1 '
'' x1 y'' + 2[x1 + p(t)x1]y' = 0