高等数学 第七章 第五节 可降阶的高阶微分方程习题课
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4.3 可降阶的高阶微分方程
2
设原点到A的距离为定值a,初始条件为:
y (0) = a , y '(0) = 0， 令： y ' = p，
dp dx dp 1 2 ⇒ = . = 1+ p ， 方程变为: 2 a dx a 1+ p x 两端积分得：arshp = + C1 , a 由初始条件得 C1 = 0, 故
x dy x x arshp = , p = = sh , y = ach + C 2 . a dx a a
浙江舟山群岛金塘大桥
——连岛工程的第五座跨海大桥 该桥起自金塘岛，接至宁波的镇海炼化厂西侧。按照工 程设计，该桥跨海全长18.5公里，行车道宽度为26米，双 向四车道；设置三个通航孔道，主航道桥采用主跨620米 的双塔双索面斜拉桥方案，通航等级为50000吨级，通航 净空高度51米，通航净宽544米；副航道桥分别采用主跨 为186米的连续刚构和主跨为150米的连续梁桥。金塘大 桥是继东海大桥、杭州湾跨海大桥后国内第三长的跨海 大桥，在舟山大陆连岛工程5座大桥中规模最大。
由初始条件得 C 2 = 0.
于是绳索的状态方程为: (悬链线) x x − x a a y = ach = ( e + e a ). a 2
悬链线的几何意义
x a y = ach = ( e + e a 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
代入验证得 C1 = C 2，所以通解为：y = C (e + 1).
x
例5 一离地面很高的物体，受地球引力的作 用由 静止开始落向地面，求它落到地 面的速度和所需的时间。(不计空气阻力) 解:取连接地心与物体的直线为y 轴，其方向为铅直向上, 取地球中心为 原点O，设物体的质量为m，物体开始 下落时距离地心为h，地球半径为R， 质量为Mk为引力系数，时刻t时物体 所在的位置为 y =y(t)，速度为:
设原点到A的距离为定值a,初始条件为:
y (0) = a , y '(0) = 0， 令： y ' = p，
dp dx dp 1 2 ⇒ = . = 1+ p ， 方程变为: 2 a dx a 1+ p x 两端积分得：arshp = + C1 , a 由初始条件得 C1 = 0, 故
x dy x x arshp = , p = = sh , y = ach + C 2 . a dx a a
浙江舟山群岛金塘大桥
——连岛工程的第五座跨海大桥 该桥起自金塘岛，接至宁波的镇海炼化厂西侧。按照工 程设计，该桥跨海全长18.5公里，行车道宽度为26米，双 向四车道；设置三个通航孔道，主航道桥采用主跨620米 的双塔双索面斜拉桥方案，通航等级为50000吨级，通航 净空高度51米，通航净宽544米；副航道桥分别采用主跨 为186米的连续刚构和主跨为150米的连续梁桥。金塘大 桥是继东海大桥、杭州湾跨海大桥后国内第三长的跨海 大桥，在舟山大陆连岛工程5座大桥中规模最大。
由初始条件得 C 2 = 0.
于是绳索的状态方程为: (悬链线) x x − x a a y = ach = ( e + e a ). a 2
悬链线的几何意义
x a y = ach = ( e + e a 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
代入验证得 C1 = C 2，所以通解为：y = C (e + 1).
x
例5 一离地面很高的物体，受地球引力的作 用由 静止开始落向地面，求它落到地 面的速度和所需的时间。(不计空气阻力) 解:取连接地心与物体的直线为y 轴，其方向为铅直向上, 取地球中心为 原点O，设物体的质量为m，物体开始 下落时距离地心为h，地球半径为R， 质量为Mk为引力系数，时刻t时物体 所在的位置为 y =y(t)，速度为:
7-5 可降阶的高阶微分方程(高等数学)
§7.5 可降阶的高阶微分方程教学内容：一．()()n y f x =型的微分方程 形如()()n y f x =的微分方程，积分n 次，就得到原来的n 阶微分方程含有n 个独立任意常数的通解.二．(,)y f x y '''=型的微分方程1.方程(,)y f x y '''=的特点是其方程右端不显含未知函数y .2. 方程(,)y f x y '''=的解法：令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得关于p 的一阶微分方程))(,()(x p x f x p ='，设其通解为),()(1C x x p ϕ=，即得可分离变量的一阶微分方程1d (,)d =y x C x ϕ，两边积分就能得到方程的通解为⎰+=21),(C dx C x y ϕ.三．(,)y f y y '''=型的微分方程1．方程(,)y f y y '''=的特点是其方程右端不显含自变量x .2. 方程(,)y f y y '''=的解法：令d ()d y p y x=，利用复合函数的求导法则把y ''化为对y 的导数，则d d d d d d d d '''===y p y p y p x y x y,于是方程),(y y f y '=''可化为d (,)d =p p f y p y ,这是关于y 和p 的一阶微分方程，设其通解为),(1C y p ϕ=，即1d (,)d =y y C x ϕ，可求出原方程的通解21d (,)y x C y C ϕ=+⎰.四．例题讲解例1.求微分方程2e x y x '''=+的通解.例2.求微分方程x y x y +'=''1的通解.例3.求微分方程2221e 2()0y y y y y y ''''+-=满足初始条件12e |1x y =-=，12e|e x y =-'=的特解.。
7-5 可降阶的高阶微分方程-精品文档
解
f( 二、 y x ,y ) 型微分方程
其特点为： 二阶方程中不显含未知 函数 y.
dp 令 p y， 则 y ， 解法： dx
原方程可化为一阶方程
dy ( x ,C ) ， 如果其通解为 p 1 即有 ( x , C ) ， 1 dx 上式两端积分，可得原 方程的通解为 ：
5 3 2 y d x d x d x d x d . 1 2 3 4 5
返回
三、 y f ( y ,y ) 型微分方程
其特点为：二阶方程中不显含自变 量x. dp dp dy dp 则 y p ， 解法：令 p y， dy dx dy dx
2 2 故原方程的通解为 ： C y 1 ( C x C ) . 1 1 2
返回2 例 Fra bibliotek 求方程 y y y 0 的通解 .
d ) (y y 0 , 解 将方程改写成 dx y dy Cdx , 故有 y y C ,即
2 两边积分得通解 y C x C . 1 2
函数 y，一阶线性非齐 解 此二阶方程不显含未知 dp 次微分方程 令 y p， 则y ， dx dp p dp 2 x, x 0 , 即 原方程可化为 x p dx dx x dx dx 从而p y e x xexdx C 1 1 2 1 2 C1 xdx C 1 x x 3 x 13 y x C ln C x . 故原方程的通解为 ： 1 2 9
y ln C cos x 上式两端再积分一次得 2 1 ln 由yx 2 得 C 2 1 2 4 ln cos x . 故所求特解为 ： y
可降阶的高阶微分方程.
1 1 将x ' |t 0 0代入 ， C 所以 x ' （ 1 cot 2t） 2m 2m 1 1 再积分 x （t sin 2t） C2 2m 2
将x |t 0 0代入， C2 0
1 1 所求运动规律为x （t程
k 其中k 0为比例系数，记a m
2
d x dx 2 m 2 k ( ) dt dt
2
(1)
x '' a 2 ( x ') 2 x |t 0 0 x ' | 200 t 0
p ' a p
2 2
(2)
令 p x'
(2)变为
(3)
1 2 分离变量 2 dp a dt p
例3 求方程(1x2)y2xy 设yp 则方程yf(x y) 的通解 解 设yp 则原方程化为 化为 pf(x p) (1x2)p2xp 设此方程的通解为 dp 2x 或 p 0 2 pj(xC1) dx 1 x 2x dx 则 yj(xC1) 于是 p C1e1 x 2 C1(1 x2) 于是方程yf(x y)的通解为 即 yC1(1x2) 方程的解法
原方程变为
例4 求方程yyy20的通解
解 设yp 则原方程化为 dp 2 yp p 0 dy dp 1 p 0 ( y0 p0) dy y 1 y dy p C1e C1 y
dp p f ( y, p) dy
或 于是
设此方程的通解为 pj(y C1) dy 即 j ( y, c) dx
p '(1 e ) p 0
x
1 3 y x sin x C1 x C2 6
第五节可降阶的高阶微分方程
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
第五节 可降阶的高阶微分方程
dp dp y p = p2 dy
方程化为
dp dy = p y
S2 = ∫ y(t) d t
0
x
解 解 p = C y, 利用定解条件得 C =1,再 y′ = y, 得 得 1 1 x , y = C2 e , 再利用 y (0) = 1 得 C2 =1 故所求曲线方程为
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
B(x, y)
(−1,0) O
(0,1)
vt
x
d x ′2 dx = ∫ 1+ y d t −1
y
代入 ① 式得所求微分方程:
(0,1)
A vt
B(x, y)
(−1,0) O
x
1 x y′′ + 1+ y′2 = 0 即 2 其初始条件为
y
x =−1 = 0,
y′ x=−1 =1
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y ′′′ = xe x ； 2、 y ′′ = 1 + y ′ 2 ； 2 3 y′ 2 = 0 . 4、 3、 y ′′ = ( y ′ ) + y ′ ； 4、 y ′′ + 1− y 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y ′′ + 1 = 0 , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 0 ； 2、 y ′′ − ay ′ 2 = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = −1； 3、 y ′′ = 3 y , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 2 . 三、试 求 y ′′ = x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2
方程化为
dp dy = p y
S2 = ∫ y(t) d t
0
x
解 解 p = C y, 利用定解条件得 C =1,再 y′ = y, 得 得 1 1 x , y = C2 e , 再利用 y (0) = 1 得 C2 =1 故所求曲线方程为
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
B(x, y)
(−1,0) O
(0,1)
vt
x
d x ′2 dx = ∫ 1+ y d t −1
y
代入 ① 式得所求微分方程:
(0,1)
A vt
B(x, y)
(−1,0) O
x
1 x y′′ + 1+ y′2 = 0 即 2 其初始条件为
y
x =−1 = 0,
y′ x=−1 =1
练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 求下列各微分方程的通解: 2、 1、 y ′′′ = xe x ； 2、 y ′′ = 1 + y ′ 2 ； 2 3 y′ 2 = 0 . 4、 3、 y ′′ = ( y ′ ) + y ′ ； 4、 y ′′ + 1− y 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 1、 y 3 y ′′ + 1 = 0 , y x =1 = 1 , y ′x =1 = 0 ； 2、 y ′′ − ay ′ 2 = 0 , y x = 0 = 0 , y ′x = 0 = −1； 3、 y ′′ = 3 y , y x = 0 = 1 , y ′x = 0 = 2 . 三、试 求 y ′′ = x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y = + 1相切的积分曲线 . 2
7546;可降阶的高阶微分方程
分离变量有 dp dy p 0
p 2y
两端积分得
1 ln p 2 ln y ln C1
故 p C1 y
即 再分离变量
dy C1 dx y
ydy C1dx
再积分得 化简得
2
y
3 2
3
C1x C2
3
y 2 C3 x C4
2
或 y (C3 x C4 ) 3
例 7 已知曲线, 它的方程y=f(x)满足微分方程
（降低了阶数，转化 为p与y的关系）
即 y f ( y, y) 不显含x型
解法
：令 y p(x),则
y dp dp dy p dp . dx dy dx dy
代入原方程 p dp f ( y, p) （降低了阶数，转化
dy
为p与y的关系）
设通解为： p ( y, c1),
dy dx
p2
)
ln
y
ln
c1
,
即
1 1 p2
yc1 ,
p 1
Q y 1, y 1, 上式不满足初始条件的解，
x0
x0
考虑 p 1, 即 dy 1, y x c dx
满足初始条件的解为 y=1-x
小 结 1. y(n) f (x)
解法：视 y(n) [ y(n1) ]，积分一次得
（降了一阶）
三、不显含自变量 x 的二阶微分方程
形如 y'' f ( y, y' )的微分方程。
解法： 令y' p,并利用复合函数的求导法则
把y''化为对y的导数，即
y'' dp dp dy p dp y p. dp
dx dy dx dy
高阶微分方程_习题课
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 例5 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求： （１） p( x ), f ( x ) 的表达式； （２） 此方程的通解.
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
y f ( x , y ) 型
特点 不显含未知函数y. 解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
解 （１） 由题设可得：
2 p( x )2 x 0, 解此方程组，得 2 1 p( x )( 2 ) f ( x ), 3 x x
3 f ( x) 3 . x 1 3 （２） 原方程为 y y 3 . x x 显见 y1 1, y2 x 2 是原方程对应的齐次方 程
* 1
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
4b 0，
解得
1 y x; 8 b 0，
* 1
1 a ， 8
* (2) 设 y2 x(c cos 2 x d sin 2 x ),
则 ( y ) (c 2dx) cos 2 x (d 2cx ) sin 2 x,
* 2
* ( y2 ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
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dx dy dx dy 原方程化为： p dp = p3 + p
dy dp = p2 + 1 或 p = 0 dy
dp = p2 + 1
dy
dp p2 + 1 = dy arctan p = y + C1
dy dx
=
p
=
tan( y + )dy
=
dx
ln sin( y + C1 ) = x + ln C2 sin( y + C1 ) = C2e x
= e x[− xe− x − e− x + C1 ] = − x − 1 + C1e x
y = p = − x − 1 + C1e x
y
=
−
1 2
x2
−
x
+ C1e x
+ C2
第七章 第五节
3
2
求解方程
y =
2 xy x2 +1
解
令
p=
y
方程降阶为
p =
2 xp x2 +1
可分离变量微分方程
dp = p
2x x2 + 1 dx
ln p = ln( x2 + 1) + ln C1
y = p = C1( x2 + 1)
y
=
1 C1( 3
x3
+
x) +
C2
第七章 第五节
4
3 求解方程 y3 y = 1
解 令p( y) = y
则
y =
dp = dp dy dx dy dx
=
dp p
dy
原方程化为： y3 p dp = 1 可分离变量 dy
第七章 第五节
2
1 求解方程 y = y + x
y = e − [ P ( x )dx Q( x )e P ( x )dxdx + C ]
解 令 p = y 方程降阶为 p = p + x
一阶非齐次线性方程
分部积分
p = e− (−1)dx[ xe(−1)dxdx + C ] = e x[ xe− xdx + C ]
7.5 可降阶的高阶微分方程习题解答
1 y(n) = f (x) 型，解题思路：连续积分 n 次 2 y" = f (x , y') 型, 特点：不显含因变量 y 解题思路：作因变量换元，令 p = y' 方程降阶为： p' = f (x , p) 3 y" = f (y , y') 型 , 特点：不显含自变量 x
第七章 第五节
6
pdp =
dy y3
p2 = − y−2 + C1
dy = p = C1 y2 − 1
dx
y
ydy = dx
C1 y2 − 1
1 (2
2C1
C1 y2 − 1) = x + C2
第七章 第五节
5
4 求解方程 y = ( y)3 + y
解 令p( y) = y 则 y = dp = dp dy = p dp
解题思路：作自变量换元及因变量换元，令
p( y) = dy
要注意
y =
d
dy ()
=
dp
dy
=
dp p
dx
方程降阶为：
p
dp dy
=
dx dx f ( y ，p)
dy dx
dy
第七章 第五节
1
1 求解方程 y = y + x
2
求解方程
y
=
2 xy x2 +1
3 求解方程 y3 y = 1
4 求解方程 y = ( y)3 + y
dy dp = p2 + 1 或 p = 0 dy
dp = p2 + 1
dy
dp p2 + 1 = dy arctan p = y + C1
dy dx
=
p
=
tan( y + )dy
=
dx
ln sin( y + C1 ) = x + ln C2 sin( y + C1 ) = C2e x
= e x[− xe− x − e− x + C1 ] = − x − 1 + C1e x
y = p = − x − 1 + C1e x
y
=
−
1 2
x2
−
x
+ C1e x
+ C2
第七章 第五节
3
2
求解方程
y =
2 xy x2 +1
解
令
p=
y
方程降阶为
p =
2 xp x2 +1
可分离变量微分方程
dp = p
2x x2 + 1 dx
ln p = ln( x2 + 1) + ln C1
y = p = C1( x2 + 1)
y
=
1 C1( 3
x3
+
x) +
C2
第七章 第五节
4
3 求解方程 y3 y = 1
解 令p( y) = y
则
y =
dp = dp dy dx dy dx
=
dp p
dy
原方程化为： y3 p dp = 1 可分离变量 dy
第七章 第五节
2
1 求解方程 y = y + x
y = e − [ P ( x )dx Q( x )e P ( x )dxdx + C ]
解 令 p = y 方程降阶为 p = p + x
一阶非齐次线性方程
分部积分
p = e− (−1)dx[ xe(−1)dxdx + C ] = e x[ xe− xdx + C ]
7.5 可降阶的高阶微分方程习题解答
1 y(n) = f (x) 型，解题思路：连续积分 n 次 2 y" = f (x , y') 型, 特点：不显含因变量 y 解题思路：作因变量换元，令 p = y' 方程降阶为： p' = f (x , p) 3 y" = f (y , y') 型 , 特点：不显含自变量 x
第七章 第五节
6
pdp =
dy y3
p2 = − y−2 + C1
dy = p = C1 y2 − 1
dx
y
ydy = dx
C1 y2 − 1
1 (2
2C1
C1 y2 − 1) = x + C2
第七章 第五节
5
4 求解方程 y = ( y)3 + y
解 令p( y) = y 则 y = dp = dp dy = p dp
解题思路：作自变量换元及因变量换元，令
p( y) = dy
要注意
y =
d
dy ()
=
dp
dy
=
dp p
dx
方程降阶为：
p
dp dy
=
dx dx f ( y ，p)
dy dx
dy
第七章 第五节
1
1 求解方程 y = y + x
2
求解方程
y
=
2 xy x2 +1
3 求解方程 y3 y = 1
4 求解方程 y = ( y)3 + y