可降阶的高阶微分方程改一阶线性微分方程
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第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
62可降阶的高阶微分方程改63一阶线性微分方程 共17页
解: 将方程变形可得
y 1 ya(11)
xlnx
lnx
于是 P(x) 1 , xlnx
Q(x)a(1 1 ) lnx
所以 y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
1接例2
e xl1 nxd x[a (1 1)exl1 nxd xd x C ]
dx x2 )
积分得 ln p l( n 1 x 2 ) ln C 1,即 pC 1(1x2)
利用 y x0 3, 得C13,于是有 y3(1x2)
两端再积分得 yx33xC2
利用 y x0 1, 得C21,因此所求特解为 yx33x1
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用线性方程通解公式求解 .
设 P (y ) 2 ,Q (y ) y 2
于是 x e P (y )d y[Q (y )e P (y )d y d y C ]
3接例2
e2 d y[( y2)e 2 d yd y C ] e 2 y[y2e 2 yd y C ]
例3. 求解 yyy20.
解: 设 yp(y),则 y d p d p d y p d p dx d y d x d y
代入方程得 ypdpp2 0, 即 d p dy
dy
py
两端积分得 ln p ln y lC n 1,即 pC1y, y C 1 y (一阶线性齐次方程)
3 . y f(y,y ) 令 yp(y),则y p dp dy
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例1. 求y解 e2xcox.s
解: y e 2 x cx o d x s C 1
12e2xsinxC1
一阶线性微分方程,可降阶的高阶微分方程
y = Ce ∫
− P( x)dx
y+ 1. 一阶线性齐次方程 − ∫ P( x )dx ′ P ( x ) y ≡ 0∫ P( x )dx 非齐次方程通解 C + Q( x)e dx 非齐次方程通解 y = e
可分离变量
∫
2.
一阶线性非 一阶线性非齐次方程
y′ + P( x) y = Q( x)
求解
1+ y ′ 2 (1) y′′ = ； 2y dy ′ dz dz dy dz 解：令 y ′ = z ，则 y ′′ = = = =z ，
dx
dx
dy dx
dy
dz 1+ z 2 2 zdz dy z = = ， ，即 2 y dy 2 y 1+ z
积分，得 ln(1+ z 2 )= ln y + lnC ， 1+ z 2 = C1 y ． 积分，
x=e ∫
=e ∫
− P ( y )dy
1 dy y
∫ P( y)dydy] ， [C + ∫ Q( y)e
3 −
[∫ y e
∫
1 dy y
故原方程的通解为 x = y + Cy ． 3
1 3 dy + C ] = y[ y + C ] ， 3 1 4
二 、 Bernoulli（伯努利）方程的解法 （ 伯努利）
(2)
( x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0 ;
y′ + y y ln y = 2 ． x x
y y (2) y′ + ln y = 2 ． x x 1 1 1 y′ + ln y = 2 ， 解： y x x
14-15一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程ppt课件
12
例 5．求方程 dy 4 y x y 的通解。
dx x
解：把方程 dy 4 y x y 改写为 dy 4 y x y ，
dx x
dx x
令 z y 或 y z2 ，则有 dy 2z dz ， dx dx
代入原方程，得 2z dz 4z2 zx ， dx x
即 dz 2z x ，这是线性方程。 dx x 2
1 ln(1 2
u2 )
ln
x
ln C1 ，
arctan u ln C1 x 1 u2 e ， arctanu C1 x 1 u2 ，
将u
y
代入，得原方程的通解：e
arctan
y x
C
x2 y2 。
x
6
（二）形如 y f (ax by) 的方程
令 u ax by ， y 1 (u ax) ， y 1 (u a) ，
， dy dx
( y )2 x， y 1
x
令 y u ，则 y ux ， dy u x du ，代入原方程得
x
dx
dx
u
x
du dx
u2 u1
，
dx x
u u
1
du ，
dx x
(1
1 )du u
，
ln x u ln u C1 ，ln xu u C1 ， xu eC1 eu ，
b
b
代入原方程得： u a bf (u) ，
即 du a bf (u)，这是可分离变量方程。 dx
7
例 3．求方程 y sin(x y) 的通解。
解：令 u x y ，则 y x u ， y 1 u ，
代入原方程得：1 u sin u ，即 du 1 sin u ，
第五节 可降阶的高阶微分方程
二、y′′ = f ( x, y′)型的微分方程 y′′ = f ( y, y′) 三、 y′′ = f ( y, y′) 型的微分方程
四、齐次方程 五、小结 思考题
定义：二阶及二阶以上的微分方程统称 为 高阶微分方程。一般形式为：
F ( x, y, y ', y ",L , y ( n ) ) = 0.
dy p= = ϕ ( x , C1 ) dx
通解为： 故方程的 通解为：y = ∫ ϕ ( x , C1 )dx + C 2
例 求微分方程 xy (5) + y ( 4) = 0的通解.
例 求微分方程 xy ′′ + y ' = 0的通解.
(1 + x 2 ) y ′′ = 2 xy ′ 满足初 例. 求微分方程 的特解. 始条件 y x = 0 = 1, y′ x = 0 = 3 的特解
二、y " = f ( x, y ')型的微分方程
特点： 特点： 右端不显含未知函数 y . 解法： 解法： 设 y′ = p 则 y′′ = dp = p′, dx . 方程变为 p′ = f（x，p） 关于x, 的 关于 p的
一阶微分方程，设其通解为 p = ϕ ( x , C1 ) 阶微分方程， 即
解： 设 y ′ = p , 代入方程并分离变量后 可得 dp 2x dx . = 2 p 1+ x 两端积分得 ln p = ln( 1 + x 2 ) + C 即 p = y ′ = C 1 (1 + x 2 ) (C 1 = ± e C )
由条件 y′
x=0
= 3，得C1 = 3
故 y ′ = 3(1 + x 2 )
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
7-5 可降阶的高阶微分方程-精品文档
解
f( 二、 y x ,y ) 型微分方程
其特点为： 二阶方程中不显含未知 函数 y.
dp 令 p y， 则 y ， 解法： dx
原方程可化为一阶方程
dy ( x ,C ) ， 如果其通解为 p 1 即有 ( x , C ) ， 1 dx 上式两端积分，可得原 方程的通解为 ：
5 3 2 y d x d x d x d x d . 1 2 3 4 5
返回
三、 y f ( y ,y ) 型微分方程
其特点为：二阶方程中不显含自变 量x. dp dp dy dp 则 y p ， 解法：令 p y， dy dx dy dx
2 2 故原方程的通解为 ： C y 1 ( C x C ) . 1 1 2
返回2 例 Fra bibliotek 求方程 y y y 0 的通解 .
d ) (y y 0 , 解 将方程改写成 dx y dy Cdx , 故有 y y C ,即
2 两边积分得通解 y C x C . 1 2
函数 y，一阶线性非齐 解 此二阶方程不显含未知 dp 次微分方程 令 y p， 则y ， dx dp p dp 2 x, x 0 , 即 原方程可化为 x p dx dx x dx dx 从而p y e x xexdx C 1 1 2 1 2 C1 xdx C 1 x x 3 x 13 y x C ln C x . 故原方程的通解为 ： 1 2 9
y ln C cos x 上式两端再积分一次得 2 1 ln 由yx 2 得 C 2 1 2 4 ln cos x . 故所求特解为 ： y
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化为 dx 2x y2 , dy
用线性方程通解公式求解 .
设 P( y) 2 , Q( y) y2
于是
x
e
P(
y
) dy
[
Q( y) e P( y)dydy C]
3接例2
e2dy [
(
y
2
)
e
2dy
dy
C
]
e2 y [ y2 e2 ydy C]
y2 y 1 Ce2 y . 2 24
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4. 求解
y ay2 0
y x0 0 ,
y x0 1
解: 令
则方程变为
积分得
1 p
ax
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1,
利用
p
x0 y
x0
1
得
C1
1
再解
dy dx
1 1 ax
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
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6.3 一阶线性微分方程
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
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例2. 求下列方程的通解 解: 将方程变形可得
于是
所以 y e P(x) dx[ Q(x) e P(x)dxdx C]
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
2.2 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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例3. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
解:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
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内容小结
1.可降阶微分方程解法 三种类型
1接例2
e
1 x ln
x
dx
[
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
e
1 x ln
x
dx
[
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
1 ln x
[
a(1
1 ln x
)
ln
xdx
C
]
1 [ax(ln x 2) C] ln x
2接例2
(2)
y
2x
1
y2
解： 调换自变量与因变量的地位 ,
2.一阶线性微分方程 齐次方程 非齐次方程 常数变易法
作业 P261 3(1)(7) .
用线性方程通解公式求解 .
设 P( y) 2 , Q( y) y2
于是
x
e
P(
y
) dy
[
Q( y) e P( y)dydy C]
3接例2
e2dy [
(
y
2
)
e
2dy
dy
C
]
e2 y [ y2 e2 ydy C]
y2 y 1 Ce2 y . 2 24
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4. 求解
y ay2 0
y x0 0 ,
y x0 1
解: 令
则方程变为
积分得
1 p
ax
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1,
利用
p
x0 y
x0
1
得
C1
1
再解
dy dx
1 1 ax
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
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6.3 一阶线性微分方程
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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例2. 求解 解:
(1 x2 )y 2xy y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
积分得
即 y C(x 1)2
用常数变易法求特解. 令 y u (x) (x 1)2 , 则
y u (x 1)2 2u (x 1)
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
u
2
(x
3
1) 2
C
3
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例2. 求下列方程的通解 解: 将方程变形可得
于是
所以 y e P(x) dx[ Q(x) e P(x)dxdx C]
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
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例3. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1. 解方程
解:
先解
dy 2y 0 , 即 dx x 1
dy 2dx y x 1
2.2 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
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可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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例3. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
解:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
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内容小结
1.可降阶微分方程解法 三种类型
1接例2
e
1 x ln
x
dx
[
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
e
1 x ln
x
dx
[
a(1
1
)
e
x
1 ln
x
dx
dx
C
]
ln x
1 ln x
[
a(1
1 ln x
)
ln
xdx
C
]
1 [ax(ln x 2) C] ln x
2接例2
(2)
y
2x
1
y2
解： 调换自变量与因变量的地位 ,
2.一阶线性微分方程 齐次方程 非齐次方程 常数变易法
作业 P261 3(1)(7) .