高等数学7-5可降价高阶微分方程
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高等数学-第七章-微分方程
工程应用
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
高数同济六版课件D75可降阶高阶微分方程
例题一
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
求解一阶线性微分方程$y' - 2xy = x^2e^{x^2}$，并给 出初始条件$y(0) = 1$下的特解
01
例题二
分析一阶线性微分方程$y'
+
frac{2}{x}y = x^2$的解的结构，并讨
论初始条件对解的影响
02
03
例题三
通过常数变易法求解一阶线性微分方 程$y' - y = xe^x$，并验证所得解的 正确性
物理应用
在物理学中，许多实际问题可以抽象为可降阶高阶微分方程的形式，如振动、 波动、电磁场等问题。通过求解这些方程，可以得到实际问题的解析解或近似 解。
解题方法概述
变量替换法
通过引入新的变量或函数，将原方程转化为低阶微分方程或易于求解 的形式。
积分法
利用积分公式或技巧，对方程进行逐次积分，从而降低微分方程的阶 数。
常用变量代换技巧
幂函数代换
将方程中的某一项或几项用幂函数代替，降 低方程阶数或化简方程。
三角函数代换
利用三角函数的性质进行代换，将方程转化 为三角函数方程进行求解。
指数函数与对数函数代换
根据指数函数与对数函数的性质进行代换， 简化方程形式。
通过变量代换化简复杂方程
分析方程结构，选择 合适的代换方法。
01
方程特点
方程中不显含未知数y，但可能 显含y的导数。
02
03
求解方法
示例
通过变量代换，将原方程转化为 新变量的微分方程，进而求解得 到通解。
x^2y'' + 3xy' = 0，通过变量代 换t = y'，可将其转化为一阶线 性微分方程。
显含未知数y但可化为不显含形式型微分方程
微分方程—高阶微分方程(高等数学课件)
本文档深入探讨了高等数学中微分方程的重要内容和解法。首先，介绍了可降阶的高阶微分方程，通过积分和变量替换等方法，将复杂的高阶方程转化为更易解决的一阶方程。其次，详细阐述了高阶线性微分方程解的结构，包括齐次和非齐次方程的通解形式，为理解和解决这类方程提供了坚实的理论基础。进一步，重点讲解了二阶常系数齐次线性微分方程的解法，通过特征方程和特征根的概念，给出了不同情况下的通解公式。同时，也讨论了二阶常系数非齐次线性微分方程的解法，特解形式。最后，通过习题讲解部分，具体展示了如何应用这些理论和方法来解决实际问题，增强了理解和应用能力。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分中重要的研究对象。
它的研究内容涉及到高等数学、物理学、工程学等学科领域。
在这篇文章中，我们将对高阶微分方程的定义、求解方法及其应用进行全面介绍。
一、高阶微分方程的定义高阶微分方程是指包含导数的方程中，导数的阶数高于一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(x\) 是自变量，\(y = y(x)\) 是因变量，\(y', y'', ..., y^{(n)}\) 分别表示\(y\) 相对于\(x\) 的各阶导数。
二、高阶微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的自变量和因变量分别放在方程两侧，并进行积分求解的方法。
这种方法适用于一些具有特殊形式的高阶微分方程。
2. 常系数线性微分方程的特征方程法对于常系数线性微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先，假设原微分方程的解为指数函数形式，然后将其代入方程中，得到一个关于未知常数的方程，通过求解这个特征方程即可得到原方程的通解。
3. 常数变易法常数变易法是指假设微分方程的特解形式为常数乘以一个已知的函数形式。
通过求解这个常数变易方程，可以得到特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
4. 线性非齐次微分方程的待定系数法对于线性非齐次微分方程，可以通过待定系数法求解。
假设非齐次方程的解为线性组合形式，将其代入方程中，得到关于未知系数的代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到方程的特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、高阶微分方程的应用高阶微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用示例：1. 振动方程振动方程描述了各种振动系统的运动规律。
例如，弹簧振子的运动可以由高阶微分方程进行建模。
2. 电路方程电路方程可以描述电子电路中电流和电压的关系。
高等数学课件--D75可降阶高阶微分方程-PPT文档资料
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f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得 设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M
T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章 第五节 可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程 一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
f( y ,y ) 三、y 型的微分方程
d p d y d p d p 令y p ( y ), p 则 y dy dx d y d x dp 故方程化为 p f (y, p) dy 即得 设其通解为 p ( y , C ), 1
O
T t
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2 d x F t 0(t )C 1 dt m 2 T dx 利用初始条件 C 0 ,于是 t 0 0 得 1 dt 2 dx F t 0 (t ) dt m 2T 2 3 F t t C 两边再积分得 x 0( ) 2 m 2 6 T
x x 两端积分得 Ar y 0 得 C 0 , sh p C ,由 0 1 1 a
设 OA a ,则得定解问题: 1 2 y 1 y a
y
悬链线
M
T
则有
x y sh a
x
两端积分得 y a ch C ,由 yx a , 得 C 0 2 0 2 a x x a x a a 故所求绳索的形状为 y a ch (e e ) a 2 2019/3/12 同济版高等数学课件
第七章 第五节 可降阶高阶微分方程
(n ) y f (x ) 型的微分方程 一、
f ( x ,y ) 二、 y 型的微分方程
f( y ,y ) 三、 y 型的微分方程
2019/3/12
同济版高等数学课件
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(n ) 一、 y f (x ) 型的微分方程
例4. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程
2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
高等数学第七章微分方程微分方程
常 数 变 易 法
则有 令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是 对上式两边关于 x 求导，得
这两部分 为零。
即
例
解 由常数变易法，解方程组
13
两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为
18
例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
2013/9/23
19
你认为方程应该 有什么样子的特解？
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得 即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
16
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解：
其中：
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
2013/9/23
比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 求微分方程
7
例1
解 所以，方程的通解为
2013/9/23
例2 解：
课堂练习
解
课堂练习
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
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4、 y 2 y2 0 . 1 y
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:
1、 y 3 y 1 0 , y x1 1 , yx1 0； 2、 y ay 2 0 , y x0 0 , yx0 1；
3、 y 3
y
,
y
x0
1,
y
x
0
2.
三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 y x 1相切的积分曲线 . 2
练习题答案
一、1、 y
xe x
3e x
C1 2
x
C2 x
C3；
2、 y ln cos( x C1 ) C2 ；
3、 y arcsin(C2e x ) C1 ；
y
1 2
C1
x
2
C2,
,
y
C1 120
x5
C2 6
x3
C3 2
x2
C4 x
C5
,
原方程通解为 y d1 x5 d2 x3 d3 x2 d4 x d5
三、 y f ( y, y) 型微分方程
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p
x0
2xy y
x0
. 3
解 方程为 y f (x, y) 型
令 y P,
代入方程，得
y dP , dx
P288-3
(1 x2 ) dP 2xP dx
dP P
2x 1 x2
dx,
ln P ln(1 x2 ) C1,
P 1 x2
eC1
§5. 可降阶的高阶微分方程 一、 y(n) f ( x) 型微分方程
特点：右端仅含自变量x 解法：方程两端连续积分n次
y(n1) f ( x)dx C1 y(2) [ f ( x)dx C1]dx C2
以此继续，便得到含有n个任意常数的通解.
例1 y e2x cos x. P286-1
解法： 令 y P,
代入原方程, 得
P f (x, P).
求得 P ( x,C1 ),
则 y dP P, dx
关于x,P的一阶方程
即 dy dx
( x,C1),
积分, y ( x,C1 )dx C2 , 可得通解.
例2
求解
(1
y
x2 ) y 1,
则 y dp dy p dP , dy dx dy
代入原方程, 得
P dP f ( y, P). dy
求得 P ( y,C1 ),
关于y,P的一阶方程
即 dy dx
(
y, C1 ),
积分,
dy
( y,C1) x C2,
可得通解.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解. P290-5
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
例 3 求方程 xy(5) y(4) 0 的通解.
解 设 y(4) P( x), y(5) P( x)
代入原方程 xP P 0, （P 0）
解线性方程, 得 P C1 x 即 y(4) C1 x,
两端积分,得
特点： 不显含未知函数y及 y, , y(k1).
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x), , P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
C,
于是 y C1(1 x2 ), 由y x0 3，得C1 3 y 3(1 x2 ), 从而 y 3x x3 C2 , 由y x0 1，得C2 1,
y x3 3x 1,
为所求特解.
y(n) f ( x, y(k ) , , y(n1) ) 型
求得其解为 dy dx
P( y) ( y,
C1 ,
,
Cn1 ),
原方程通解为
( y,
dy C1,
,
Cn1 )
x Cn,
xf (x) f (x) 0,
练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1、 y xe x；
2、 y 1 y2；
3、 y ( y)3 y；
解 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx C1 y,
原方程通解为 y C2eC1x .
4、 y 1 1 . C1 x C2 x
二、1、 y 2 x x2 ；
2、 y 1 ln(ax 1)； a
3、 y (1 x 1)4 . 2
三、 y 1 x3 1 x 1. 62
作业
P292: 1（1，3，6，9），2（偶），4
解 y 1 e2x sin x C 2
y
1 4
e2x
cos
x
Cx
C1
y
1 8
e2x
sin x
C 2
x2
C1 x
C2.
＝
y
1 8
e2x
sin
x
D1
D1 x2
D2
x
D3 .
二、 y f ( x, y) 型微分方程
特点： 不显含未知函数 y.
y(n) f ( y, y(k) , , y(n1) ) 型
特点： 右端不显含自变量 x.
解法： 设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
y P 2 d 2 P P(dP )2 , ,
dy 2
dy
代入原方程得到新函数 P( y)的(n 1)阶方程，