可降阶的高阶微分方程
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第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
可降阶的高阶微分方程
d x dt
d x dt
3 3
dx dt
y
y,
dy dx ,
2
2
dy dt
dy dx dx dt
d( y dy
d( y
dy dx
)
dx d x dt
)
y(
dy dx
) y
2
2
d y dx
2
2
,
dt
dx
7
F ( x , x , , x
( n)
) 0,
dx dt
y,
dy dx y,
把（3.1.6）代入（3.1.8），并记
得:
X 0 - x at y y
2
把 x 作为自变量，上式两边关于x 求导得:
-1 a dt dx yy - y y
2
,
19
dt dx
dy dt dt dx
yy ay
2
（3.1.9）
dx dt ) (
dp ,
解
设 y p, 则 y p
代入方程, 得
dy 2 p 1 dp 2 C 1 C1 0 , y p -1 2 y dy
dy dx 2 y
2 3
3
3
y
2
3
2x C2 C2
3 2 2
2 1 2 , 3 2 3
c1 ,
x c2e
c1t
(c2 0), 显然x0也是原方程的解.
1
故原方程的解为 x c2e c t .
13
微分方程
y
x0
d x dt
3 3
dx dt
y
y,
dy dx ,
2
2
dy dt
dy dx dx dt
d( y dy
d( y
dy dx
)
dx d x dt
)
y(
dy dx
) y
2
2
d y dx
2
2
,
dt
dx
7
F ( x , x , , x
( n)
) 0,
dx dt
y,
dy dx y,
把（3.1.6）代入（3.1.8），并记
得:
X 0 - x at y y
2
把 x 作为自变量，上式两边关于x 求导得:
-1 a dt dx yy - y y
2
,
19
dt dx
dy dt dt dx
yy ay
2
（3.1.9）
dx dt ) (
dp ,
解
设 y p, 则 y p
代入方程, 得
dy 2 p 1 dp 2 C 1 C1 0 , y p -1 2 y dy
dy dx 2 y
2 3
3
3
y
2
3
2x C2 C2
3 2 2
2 1 2 , 3 2 3
c1 ,
x c2e
c1t
(c2 0), 显然x0也是原方程的解.
1
故原方程的解为 x c2e c t .
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微分方程
y
x0
常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程
参数法的基本思想 参数法的应用范围 参数法的求解步骤 参数法的优缺点
描述物理现象：可降阶的高阶微分方程可以用来描述复杂的物理现象，如振荡、波动、控制 等。
建立数学模型：通过可降阶的高阶微分方程，可以建立物理系统的数学模型，从而更好地理 解和分析物理现象。
数值模拟：可降阶的高阶微分方程可以用于数值模拟，通过计算机程序模拟物理系统的行为， 从而更好地预测和控制系统的行为。
定义和分类：介绍了可降阶的高阶微分方程的定义和分类，包括具有代表性的几种类型。
求解方法：总结了可降阶的高阶微分方程的求解方法，包括常用的数值方法和解析方法。
应用领域：列举了可降阶的高阶微分方程在各个领域的应用，如物理、化学、生物、工程等。
未来研究方向：展望了可降阶的高阶微分方程未来的研究方向，包括新的求解方法、应用领 域的拓展等。
分解法：将高阶微分方程分解为多个一阶微分方程，逐个求解，最后得到原方程的解。
降阶法：通过适当的变换，将高阶微分方程降为低阶微分方程，然后求解。 近似法：对于某些难以直接求解的高阶微分方程，可以采用近似法求解，如Runge-Kutta方法等。
数值解法：对于一些实际问题，可以采用数值解法求解高阶微分方程，如有限差分法、有限元法等。
优化设计：可降阶的高阶微分方程可以用于优化设计，通过调整系统的参数，使系统的性能 达到最优。
机械工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 机械系统的动态 行为，例如弹簧阻尼系统、振荡 器等。
航空航天工程： 可降阶的高阶微 分方程可以用于 描述飞行器的动 态特性，例如空 气动力学、飞行 控制等。
电子工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 电路系统的动态 行为，例如RC电 路、RLC电路等。
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