常微分方程的边值问题
重要：MATLAB常微分方程(组)数值解法
Matlab常微分方程求解问题分类
边值问题：
初值问题：
• 定解附加条件在自变量 的一端
• 一般形式为： y' f (x, y)
y(a)
y0
• 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法
➢ 在自变量两端均给定附加 条件
y' f (x, y)
➢ 一般形式：y(a)y1, y(b)y2
1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求
求解初值问题：
y
'
y
2x y
y ( 0 ) 1
(0x1)
比较ode45和ode23的求解精度和速度
ode45和ode23的比较-1
function xODE clear all clc
format long
y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'b--') xlabel('x') ylabel('y')
rD = k(3)*C(2)-k(5)*C(4);
rE = k(4)*C(3)+k(5)*C(4);
% Mass balances dCdt = [rA; rB; rC; rD; rE];
三个串联的CSTR等温反应器（例4-3）
function IsothermCSTRs clear all clc CA0 = 1.8; % kmol/m^3 CA10 = 0.4; % kmol/m^3 CA20 = 0.2; % kmol/m^3 CA30 = 0.1; % kmol/m^3 k = 0.5; % 1/min tau = 2; stoptime = 2.9; % min [t,y] = ode45(@Equations,[0 stoptime],[CA10 CA20 CA30],[],k,CA0,tau); disp(' Results:') disp(' t CA1 CA2 CA3') disp([t,y]) plot(t,y(:,1),'k--',t,y(:,2),'b:',t,y(:,3),'r-') legend('CA_1','CA_2','CA_3') xlabel('Time (min)') ylabel('Concentration') % -----------------------------------------------------------------function dydt = Equations(t,y,k,CA0,tau) CA1 = y(1); CA2 = y(2); CA3 = y(3); dCA1dt = (CA0-CA1)/tau - k*CA1; dCA2dt = (CA1-CA2)/tau - k*CA2; dCA3dt = (CA2-CA3)/tau - k*CA3; dydt = [dCA1dt; dCA2dt; dCA3dt];
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的求解
18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="， 如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例 用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例 用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例 用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例 取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注 利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。
常微分方程的难点
常微分方程的难点
常微分方程是数学分析中的一门重要课程，也是应用数学中的基础课程之一。
它是研究一阶或高阶导数与自变量关系的方程，涉及到函数的连续性、可微性、可积性等重要的数学概念。
然而，常微分方程的学习也是有难点的。
其中，常见的难点包括以下几个方面：
1. 初值问题和边值问题的区别和联系。
初值问题和边值问题是常微分方程的两种基本类型，它们的解法和理论基础都有所不同。
2. 高阶常微分方程的解法。
高阶常微分方程的解法需要掌握多种技巧和方法，如常数变易法、欧拉公式、拉普拉斯变换等。
3. 变量分离法和分步法的应用。
变量分离法和分步法是解常微分方程中常用的技巧，但其应用需要考虑到方程的特殊性质和形式。
4. 非线性常微分方程的解法。
非线性常微分方程的解法涉及到多种数学工具和方法，如相似变量、对称性、积分因子等，需要掌握较高的数学知识。
5. 常微分方程的应用。
常微分方程是应用数学中的重要工具，在物理、工程、生物等领域都有着广泛的应用。
但其应用需要考虑到实际问题的特殊性质和背景知识。
- 1 -。
第5章_常微分方程数值解法
（5.2.6）
由于方程关于 uk +1 是隐式形式，所以式（5.2.6）称为隐式 Euler 公式。前面显式和隐式 Euler 公式在计
u '(tk ) ≈
得到的递推公式：
u (tk +1 ) − u (tk −1 ) 2h
（5.2.7）
uk +1 ≈ uk −1 + 2hf (tk , uk )
在计算 uk +1 时，需要用到前两步结果 uk −1 , uk ，称为两步法公式。 （2）积分近似方法 将（5.2.1）式的微分方程写成 du = f (t , u )dt ，在区间 [tk , tk +1 ] 上积分，有：
5.2.2 Runge-Kutta 方法 Euler 方法比较简单，但它的收敛阶数低。可以利用 Taylor 展开式构造高阶的单步方法。Euler 公式 可以看成是由一阶 Taylor 展开式得到的，所以应用高阶 Taylor 展开就可以得到高阶单步法。例如：将 u (tk +1 ) 在 tk 处作 q 阶 Taylor 展开：
dy = a − by (t ) dt
是一阶常微分方程，而
2 ∂ 2 u ( x, t ) 2 ∂ u ( x, t ) a = ∂t 2 ∂x 2
（5.1.1）
（5.1.2）
是二阶偏微分方程。 所有使微分方程成为等式的函数，都是微分方程的解；在 n 阶微分方程中，将微分方程的含有 n 个任 意常数的解称为该微分方程的通解。为确定微分方程通解中的任意常数而需要的条件称为定解条件；定解 条件可以分为初始条件和边界条件两类。由微分方程和定解条件一起构成的问题称为微分方程定解问题。 根据定解条件的不同，常微分方程分为初值问题和边值问题；若定解条件是描述函数在一点（或初始 点）处状态的，则称为初值问题，一阶常微分方程初值问题的一般形式为：
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
对所 有 ∈ｃ［ ，］边 ｏ１ ，
作者简 介 ： 李刚钊 （９ ５一）男 ， １８ ， 湖南衡 阳人 ， 南华大学数理学院硕士研究生． 主要研 究方向 ： 分数 阶微分方程
８ ２
南华 大学学报（自然科学版 ）
２１ 年 ｌ ０１ ２月
值 问
ｌ
ｆ ＋ｖ ￡ 一。 。 ￡ １ ｆ、
）Ｉ≤ ｌ（ ，）Ｉ， 义集合 Ｉ Ｉ ｕ Ｉ定
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｛ Ｍ ） （ ）ＥＰ，Ｉ “ ）Ｉ≤ ｝ （ ， Ｉ ， Ｉ（ ， Ｉ ｌ ，
则 当（ ，）∈ａ ｎＰ， 。 有 『 （ ，）ｌ≤ ｌ ｕｔ Ｉｄｇ１ Ａ， ，）＝１ Ｊ ｕ ｌ ｌ ，）『 ｅ（ 一 力Ｉ ａ （ ） ， ０ ．
等 价的积 分 方程 ， 用锥 不动 点定理 ， 利 获得 了方程 解 的存 在 性 的充分 条件． 关键 词 ： 正解 ； 三点 边值 问题 ； 不动点 定理 锥
中图分类 号 ： ２ １８ ０ ４． １ 文献标 识码 ： Ａ
Ｔｈ ｓｔｖ ｏ ｕ ｉｎｓｆ ｒ Ｔｈ ｅ － ｉ ｕｎ ｒ ｌ ｅ Ｐｒ ｂ ｅ ｓ ｅ Ｐｏ ｉｉ ｅ Ｓ ｌ ｔｏ ｏ ｒ ｅ ｐｏｎｔＢｏ ｄａ ｙ Ｖａ ｕ ｏ ｌｍ
何子 区间上不 一致趋 于零 ．
（ ）ｏ＝ ｌ ｍ ｆ ｉ ｍ
＋
Ａｘ 了 ）＞
＝ｌｒ ｉ ａ
枷
＋
＞ ０，
变量 ， 而是 整体 去考 虑的 ．
讨论 如 下三 点边 值 问题 的 正解 问题 ：
＝
掣 ＞ ＝ ）Ｑ 一 （＞ ｌ — ｉｘ — ｍ ∞ ｇ
，
ｆ ｔ ＋Ａ （）（ ￡ ） ０， ｕ（） ０ ￡厂 （） ＝ ０＜￡ ， ＜１ 【 ｔ （）＋Ａ （）（ （） ００＜ ＜１ ｂ ｔ－ Ｍ ｔ ）＝ ， ｔ ， 厂
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
如果 y≥0 并且 0 ＜ β ＜ u（ t） ＜
t∈ ［η， 1 ］
}
（ 1 － β） t + βη 1 － αη － β（ 1 － η）
∫ （ 1 － s） y（ s） ds，
0
1
0， 1］ × C［ 0， 1］为 Banach 空间并 令 X = C［ 赋予范数为 v） ‖ = max｛ | u | ， | v| ｝ ， v） ∈ X ‖（ u ， （ u ， 其中 w = max w （ t） t∈ ［0 ， 1 ］ v） 是 ． v ） 是式 （ 1 ） ， 当（ u ， 式 （ 2 ） 的解当且仅当 （ u，
同理 | A2 v | =
∫
1 0
G（ t， s） b（ s） f（ u（ s） ） ds s） b（ s） ） ds ∫ G（ t，
0 1
≤L
v） ‖ = max ｛ | A1 v | ， | A2 u | ｝ 有界， 因此‖A（ u， A 有界． （ c） 从（ a ） 知道 A 对 （ u， v ） 连续， v） 对 t 而 （ u， ［ 0 ， 1 ］ ， A 在闭区间 上连续 所以 是等度连续映射． Ascoli 定理［ 5］得知 A 是全连续 根据 Arzela映射．
二阶常微分方程的三点边值问题的正解
李刚钊， 欧阳自根
（ 南华大学 数理学院， 湖南 衡阳 421微分方程的三点边值问题的正解 ， 通过将微分方程转化为 ， ， 等价的积分方程 利用锥不动点定理 获得了方程解的存在性的充分条件 ．
关键词： 正解； 三点边值问题； 锥不动点定理 中图分类号： O241. 81 文献标识码： A
0
1
0
+ ε） H1
1 － αη － β（ 1 － η） · 1 － β + βη
微分方程中的特解求法
微分方程是数学中非常重要的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在求解微分方程时，我们通常需要找到其特解，以满足特定的初始条件或边界条件。
本文将介绍微分方程中的特解求法。
微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
常见的微分方程包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只包含一元未知函数及其导数的方程，而偏微分方程则包含多元未知函数及其偏导数。
求解微分方程的一般方法是通过积分和代数操作来消去导数项，最终得到等式中只含有未知函数及其低阶导数的方程。
我们先从常微分方程中的特解求法入手。
常微分方程的特解分为两类：初值问题和边值问题。
初值问题是在微分方程中给定某一点的函数值以及其导数值，求解满足这些条件的特解。
边值问题是在微分方程中给定一些边界条件，求解满足这些条件的特解。
对于初值问题，我们可以使用分离变量、变量代换、常数变易法等方法来求解微分方程。
以一阶常微分方程为例，假设方程为dy/dx=f(x)，同时给定y(x0)=y0的初始条件。
我们可以首先将方程两边同时乘以dx，然后再两边积分，得到∫dy=f(x)dx。
再对两边同时求定积分，即可得到特解y=f(x)+C，其中C为常数。
代入初始条件，得到具体的特解。
对于边值问题，我们可以使用分离变量、变量代换、极值原理等方法来求解微分方程。
以二阶常微分方程为例，假设方程为d²y/dx²=g(x)，同时给定y(x0)=y0和y(x1)=y1的边界条件。
我们可以首先将方程两边同时乘以dx²，然后再两边积分两次，得到∫∫d²y=g(x)dx²。
然后，我们可以使用边界条件来确定积分常数，从而得到特解。
对于偏微分方程的特解求法稍有不同。
由于偏微分方程包含多元未知函数及其偏导数，所以特解形式较复杂。
在求解偏微分方程的特解时，我们常常需要使用提升技巧、变量分离法、特征方程法等方法。
这些方法的具体步骤较为复杂，在此不一一赘述。
总之，微分方程中的特解求法是数学中重要且复杂的问题。
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本科科研训练论文常微分方程的边值问题学生姓名：郭骏学号：**********专业：数学及其应用数学年级：08级学院：理学院【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。
在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。
最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
【关键词】常微分方程边值问题研究目录第一章引言1.1常微分方程的起源和发展1.2常微分方程的内容1.3常微分方程的应用1.4 常微分方程的实例第二章常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出2.2 二阶线性常微分方程边值问题的可解性2.3 特征值问题参考文献第一章引言1.1 常微分方程的起源微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。
I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。
当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。
70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。
常微分方程在我国的发展中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。
培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。
1.2 常微分方程的内容定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。
定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
1.3 常微分方程的应用现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
1.4 常微分方程的实例下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数)：(1) y= kx, k 为常数；(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；(3) mv (t) = mg - kv(t)；第一章 常微分方程边值问题的研究2.1 边值问题的提出求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。
亦即，设常微分方程为对区间I 上的点α1，α2，…,αk 及值y (αi )，y ┡(αi ),…,y (n-1)(αi )(i=1,2,…,k ,k >1)，给定了一些条件,求此方程在 I 上的满足这些条件的解的问题。
这些条件称为边界条件，诸αi 及y (αi )、y ┡(αi )、…、y (n-1)(αi ) 称为边值或边界值。
当k =2，α1、α2是区间I 的端点时,称为两点边值问题。
边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。
因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。
为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。
2.2 二阶线性微分方程边值问题的可解性我们将重点研究试射法。
二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：),,()(y y x f x y '=''， b x a ≤≤ (2.1)边值条件有如下三类：第一类边值条件α=)(a y ， β=)(b y (2.2)第二类边值条件α=')(a y ， β=')(b y (2.3)第三类边值条件[19]ααα='-)()(10a y a y ， βββ='+)()(10b y b y (2.4)其中010≥αα， 010≥ββ， 010≠+αα， 010≠+ββ。
在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。
下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。
定理 设方程(2.1)中的函数f 及y f ∂∂，y f '∂∂在区域},,|),,{(∞<'<-∞≤≤'=Ωy y b x a y y x内连续，并且 (ⅰ),0),,(>∂'∂yy y x f Ω∈'∀),,(y y x ； (ⅱ)y y y x f '∂'∂),,(在Ω内有界，即存在常数M ，使得 M y y y x f ≤'∂'∂),,(， Ω∈'∀),,(y y x ， 则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。
（1）试射法为了描述试射法的基本思想，先给出初值问题的概念。
由(2.5)中的二阶常微分方程以及初始条件α=)(a y ， s a y =')( (2.6)构成的定解问题⎩⎨⎧='=≤≤=+'+''-s a y a y b x a x r y x q y x p y )(,)(,)()()(α (2.7)称之为初值问题。
对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复调整初始时刻的斜率值s y ='，使得初值问题(2.7)的积分曲线)(x y y =能“命中”β=)(b y .设能够提供s 的两个预测值1s ，2s ，我们按这两个斜率“试射”， 通过求解相应的初值问题(2.7)可以得到)(b y 的两个预测值分别为1β，2β。
若1β和2β都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正1s ，2s 得到新的斜率值)(1121213ββββ---+=s s s s (2.8) 然后再按斜率3s 试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果3)(β=b y .若ββ=3或εββ<-3，则可将3s 作为s 的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果)(b y 与β相当符合为止。
基于叠加原理的试射法设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子L ：y x q y x p y Ly )()(:+'+''-=. (2.9)我们考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：⎩⎨⎧==,)(),(αa u x r Lu 0)('=≤≤a u b x a (2.10) 和⎩⎨⎧==,0)(,0a v Lv 1)('=≤≤a v b x a (2.11) 设)(x u 和)(x v 分别为问题(2.10)和(2.11)的解，不难验证)()()()()(x v b v b u x u x y -+=β (2.12)是问题(2.5)的解，其中0)(≠b v . 通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：1. 根据边值问题(2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)；2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解)(x u 和)(x v ；3. 将)(x u 和)(x v 按(2.12)式做组合，所得的函数)(x y 就是边值问题(2.5)的解.(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。
如令：,,11v v u u == v v u u '='=22 (2.13) 则(2.10)式可以写成 ⎪⎩⎪⎨⎧==-+='=',0)(,)(),()()(,2112221a u a u x r u x q u x p u u u α (2.14) (2.11)式可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+='=',1)(,0)(,)()(,2112221a v a v v x q v x p v v v (2.15) 这样就可以利用Runge-Kutta 方法求解(2.14)和(2.15)。
对于更一般的线性边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧≠+≥='+≥='-≤≤=+'+''-≡0,0,)()(,0,)()(,)()()(0010101010βαβββββαααααb y b y a y a y b x a x r y x q y x p y Ly (2.16) 用基于叠加原理的打靶法的步骤为：1. 根据(2.16)式，构造两个相应的初值问题：⎩⎨⎧-==,)(),(1αc a u x r Lu α0)(c a u b x a -='≤≤ (2.17) 和⎩⎨⎧==,)(,01αa v Lv 0)(α='≤≤a v b x a (2.18) 其中0c 和1c 是满足条件10110=-ααc c 的两个任意的常量.2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为)(x u 和)(x v .3. 将)(x u 和)(x v 做线性组合)()()()]()([)()(1010x v b v b v b u b u x u x y '+'+-+=βββββ 由此计算得到的函数)(x y 就是(2.16)式的解。
（2）有限差分法将区间[a,b]进行等分：h=(b-a)/(n+1), x i =a+ih,i=0,1,…,n+1,设在x=x i ,i=0,1,…,n+1处得数值解为y i 。
用中心差分近似微分，即{y i ′≈y i+1−y i−12ℎy i "≈y i+1−2y i +y i−1h 2,i=0,1,…,n则离散化成差分方程 y i+1−2y i +y i−1=h 2f(x i ,y i ,y i+1−y i−12h ),i=0,1,…,n对应的边界条件也离散成ẏ(a)-α0y(a)=α1,ẏ(b)+β0y(b)=β1;第一类边界问题:y 0=α,y n+1=β第二类边界问题：y 1-y 0=h α,y n+1-y n−1=h β第三类边界问题：y 1-(1+α0h)y 0=α1h,(1+β0h )y n+1-y n =β1h若f(x,y,y ’)是y ，y ’的线性函数时，f 可以写成f(x,y,y ’)=p(x)y ’(x)+q(x)y(x)+r(x)其中p(x),q(x),r(x)为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过变量替换总是可以消去方程中的y ’项，不妨假设变换后的方程为y ”(x)-q(x)y(x)=r(x);y(a)=α,y (b )=β则近似差分方程成离散差分方程为y i+1−2y i +y i−1h 2-q i y i =r i ;y 0=α,y n+1=β其中q i=q(x i) ,r i=r(x i),i=0,1,…,n 将以上方程合并同类型整理得方程组{y0=αy i−1y n+1=β−(2+q i h2)y i+y i+1=r i h2其中只要q i≫0，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵，方程组为三对角线方程组，可以用追赶法求解。