二阶常微分方程边值问题数值方法
边值问题的数值解法
M b a 2 y xk y k h ，k 1， 2， ，n 1。 96
2
y 4 x 。因此，当 h 0 时，差分方程的解收敛到微分方 其中 M max a x b
y f x，y，y， y x，y sk，
这里的 s k 为
（8.6.3）
y
在 处的斜率。令 z y ，上述二阶方程可降为一阶方程组
y z， z f x，y，z ，
（8.6.4）
y a ，z a sk。
计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数
值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。
第八章常微分方程数值解法
8.6.2 差分方法
差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 a，b 分成 n 等分，子区间的
s2
，同理得到 yb，s2 ，再判断它是否满足精度要求
y b，s2 。如此重复，直到某个 s 满足 y b，sk ，此时得到 k
的 y xi 和 yi z xi 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， s k 作为斜率为子弹的发射，y b 为靶心，故称为打靶法。
y xy 4 y 12 x 2 3x， 0 x 1， y 0 0，y 1 2，
其解的解析表达式为 y
x x 4 x 。来自解 先将该线性边值问题转化为两个初值问题
xy1 4 y1 12 x 2 3 x， y1 1 0， y1 0 0，y1 xy2 4 y2 0， y2 1 1。 y2 0 0，y2
浅谈二阶两点边值问题解的迭代格式
其中 Ｌ ｕ：（ （ ） ｔ ） ｑ ｔ ｕ ｔ （ ≤ｔ １ ， ≥０ Ｐ ｔ “ （ ） （ ） （ ） ０ ≤ ） ， ，
卢 １ ， ≥０卢 ≥０ ＋ ， ： Ｊ ≠０是边值问题 ０ ＞ ， ， 卢 ≠０ ｏ ＋８ ｚ ；
零 解 ， 值 问题 （ ． 和 （ ． 等 价 于 Ｈａｎ ｒｔｉ 边 ２ ２） ２ ３） ｌｍｅｓ ｎ型 方 程 ： ｅ
（ ￡ ２） 和 Ｃ 问 的锥 是 正规 的．
（） 』 ［（， ｓ （） ］ｓ ｔ＝ ｋ ｔ ） ， ｓ） ｄ 的解 ， ｑ ｔ ） ［ ， × ｓ 其 』 ， ：０１ （
二阶常微分 方程 的 两点边 值 问题 ， 出送 代序 列 ， 给 出 给 并
证 明．
了解 到 了 满 足 条件 的 一 阶 初 值 问题 可 以找 到 最 大 解 和 最 小 解 ， 且 可 以 找 到 迭 代 序 列 一 致 收 敛 于 最 大 解 和 最 小 并 解． 面我们研究 二阶两点边值问题 ： 下
的正规常数 ） ． 注 （ ） １ Ｐ是 正 规 锥 的 充 要 条 件 中 任 何 一 个 序 区 间
有界 ；
ｃ ，，￡ Ｊ ） ＾） ｄ ￡ ［１ ） ０ （ ｏ］（ ［ ， ）ｓ （ （ ］ 和 ） ｕ） 』［ ｓ （
／ ， （ ） ］ 可导 ， 且 满 足 Ｃ ｒ ｈ ｏ ｏｙ条 件 两 点 边 值 问 （ ｈ ） 并 ａａ ｅ ｄ ｒ ｔ 题 （ ． ） （ ． ） 应 的 齐 次 边 值 问 题 （ ． ） （ ． ） 有 ２ ２ 和 ２３ 对 ２４ 和 ２５ 只
专 题 研 究
镣 ＺＨＵＡＮＴＩ ＹＡＮＪ Ｕ …一 ！
二阶微分方程数值求解
二阶微分方程数值求解
要数值求解二阶微分方程，首先需要将其转化为一个一阶微分方程组。
假设待求解的二阶微分方程为：
y''(x) = f(x, y(x), y'(x))
将其转化为一阶微分方程组：
z(x) = y'(x)
z'(x) = f(x, y(x), z(x))
然后，可以选择数值求解方法，如欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法等等，对这个一阶微分方程组进行数值求解。
以欧拉方法为例，假设已知初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0，
选择步长 h。
则可以按照以下步骤进行数值求解：
1. 初始化步数 n = 0，设置初始条件 y(x0) = y0，z(x0) = z0。
2. 计算下一步的值：y(x + h) = y(x) + h * z(x)，z(x + h) = z(x) +
h * f(x, y(x), z(x))。
3. 将 x 增加 h，即 x = x + h。
4. 将步数 n 增加 1，即 n = n + 1。
5. 重复步骤 2-4，直到达到目标位置的 x 值（如终点 x 结束条
件 x >= x_end）。
需要注意的是，数值求解方法的精度和稳定性都会受到步长的影响，过大的步长可能导致数值不稳定，过小的步长可能导致
计算量过大。
因此，选择合适的步长是很重要的。
值得一提的是，当二阶微分方程为边值问题时，可以采用有限差分法、有限元法等数值方法进行数值求解。
这些方法会更为复杂，并涉及到边界条件的处理。
边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时-2022年学习资料
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-=323-z2=-x32+4y2?-y20=0, 20=0。-取h=0.02,用经典R-K法分别求这两个方程组解yx和y2x的计算值y1:和-y2i,然后按 8.6.6得精确解-6=,t2=0.x-y21-的打靶法计算值》：，部分点上的计算值、精确值和误差列于表8 12。-版核防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-值得指出的是，对于线性边值问题86.2，一个简单 实用的方法是用解-析的思想，将它转化为两个初值问题：-y"+pxyi+qxy =fx-ya=a,ya=0: 「片+px5+gxy2=0,-ly2a=a,y2a=l。-求得这两个初值问题的解yx和y2x,若y2b≠0 容易验证-a高-8.6.6-为线性两点边值问题8.6.2的解。-例8.7用打靶法求解线性边值问题-版核防行 小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-y”+y-4y=12x2-3x,0<x<1,-1 0=0,y1=2,-其解的解析表达式为yX=x4+x。-解先将该线性边值问题转化为两个初值问题-y0=0, 1=0,-y2+y%-4y2=0,-y20=0,y1=1。-令乙1=2=y?，将上述两个边值问题分别降为一 方程组初值问题-31=-x31+4y1+12x2-3x,-y,0=0,z10=0,-版权防行：小人学影学烧
中南大学数学科学与计算技术学院-第八章常微分方程数值解法-表8-12-Xi-yu-y2i-yx-y-yl-0.2--0.002407991-0.204007989-0.2016000053-,0.2016000 00-0.53×10-8-0.4--0.006655031-0.432255024-0.425600008 -0.4256000000-0.80x108-0.6-0.019672413-0.709927571-0. 2960000830.7296000000-0.83×108-0.145529585-1.06407038 -1.2096000058-1.2096000000-0.58x108-0.475570149-1.524 28455-2.00000000002.0000000000-例8.8用打靶法求解线性边值问题-4y"+y =2x3+16,-y2=8,y3=35/3。-要求误差不超过0.5×106，其解析解是yx=x2+8/x。 解对应于8.6.4的初值问题为-版凤防行：小人学数：学烧
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题（也称为常微分方程的定边值问题）是求解一个微分方程在一个给定的时间段上的特定解的问题，其中方程的解需要满足一些给定的边界条件。
这些边界条件通常指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值，或者其他一些特定的时刻或位置上的值。
例如，一个常见的常微分方程的边值问题是求解一个二阶常微分方程：
y''(t) = f(t, y(t))
其中，y(t) 是未知函数，f(t, y) 是一个已知的函数。
这个问题需要在给定的时间段 [a, b] 上求解，并且需要满足以下的边界条件：
y(a) = y_a
y(b) = y_b
这里，y_a 和 y_b 是给定的数值。
这些边界条件指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值。
常微分方程的边值问题在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
解决常微分方程的边值问题需要使用数值解法或者解析解法，其中数值解法通常更为实用，因为它可以通过计算机程序来求解。
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
常微分方程的奇点与边值问题
常微分方程的奇点与边值问题常微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象的数学方程，如牛顿定律、热传导方程等。
这些方程通常包含未知函数及其导数，所以被称为常微分方程。
它们广泛应用于物理、工程、生物学、经济学等领域中的问题，具有很高的实用价值。
本文将介绍常微分方程中的奇点和边值问题，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、奇点奇点是指常微分方程函数在某一点上其解变得不唯一或不能解析的点。
在正常情况下，微分方程的解应该是唯一的，并且在各个点上应该具有良好的解析性质。
但是有些情况下，函数会出现奇点，解变得不可解析，不同解之间也不再唯一。
奇点通常有两种类型：可去奇点和本质奇点。
可去奇点是指函数在该点上的不连续性可以被消除。
例如，当函数在某一点上的值为无穷大时，我们可以用极限的方法来消除该奇点。
但是本质奇点是无法消除的，它是函数固有的性质，例如在某一点上的导数不存在或者无界（趋向于无穷大或负无穷大）。
奇点的存在和性质对于常微分方程的解的形式和性质有着重要的影响。
例如，可以证明当微分方程的解在某个点上具有本质奇点时，解无法延拓到该点的某个领域内，因此在分析解的性质时应该注意奇点的存在。
二、边值问题在研究某些物理或工程问题时，我们可能需要求出微分方程在某个区间上的解，而且在区间的两个端点上需要满足一定的限制条件，这就是边值问题。
对于线性常微分方程，边值问题可以表示为：$$\begin{cases}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) & (a<x<b) \\y(a)=\alpha, y(b)=\beta\end{cases}$$其中$p(x)$和$q(x)$是区间$[a,b]$上的已知函数，$f(x)$是右侧的已知函数，$\alpha$和$\beta$是区间两端点的给定值。
边值问题可以进一步分类为两类：线性边界值问题和非线性边界值问题。
前者是指微分方程是线性的，后者是指微分方程是非线性的。
泰勒公式在二阶两点边值问题求解方法上的应用
本科毕业设计常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
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本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
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保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。
本人签名：日期：导师签名：日期：泰勒公式在二阶两点边值问题求解方法上的应用摘要本文主要讨论利用泰勒展开公式求解二阶线性常微分方程问题. 首先介绍泰勒公式的相关知识；其次，基于泰勒展开公式，提出一种求解线性二阶线性常微分方程问题初值问题的新方法；然后，通过结合提出的求解线性二阶线性常微分方程问题初值问题的方法和打靶方法, 提出一种求解线性二阶线性常微分方程问题边值问题的数值方法；最后通过数值算例来验证所提数值方法的有效性.关键词：泰勒展开式二阶线性常微分方程两点边值问题近似解Taylor formula in the second order two-point boundary value problemsolving the application of the methodAbstractThis thesis mainly discusses numerical methods for solving second order linear ordinary differential equations by using Taylor's expansion formula. Firstly, some theory of Taylor's expansion formula is introduced. Secondly, a numerical method for solving second order linear initial value problems is proposed. Thirdly, a numerical method for solving second order linear two-point boundary value problems is developed by combining the method for initial value problems and shooting method. Finally, numerical examples are provided to show the validity of the present methods.Key Words: Taylor's expansion; Second order linear ordinary differential equations; Two–point boundary value problems; Approximate solution目录1. 引言 (1)1.1微分方程边值问题的介绍 (1)1.2 二阶两点边值问题的介绍 (2)2. 泰勒公式简介 (4)2.1泰勒公式简介 (4)2.2泰勒公式的应用 (5)3.二阶线性初值问题 (7)3.1求解方法 (7)3.2数值算例 (8)4.二阶线性两点边值问题的求解方法 (10)4.1求解方法 (10)4.2数值算例 (11)结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言1.1微分方程边值问题的介绍微分方程是现代数学中的一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。