可降阶的高阶微分方程的解法
高数可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f ( x)型的微分方程
一、可降阶的高阶微分方程
2. y′′ = f ( x, y′)型的微分方程 . 2.
3. y′′ = f ( y, y′)型的微分方程
恰当导数方程（补充） 二、恰当导数方程（补充） 三、小结
一、可降阶的高阶微分方程
1.【定义】 二阶及二阶以上的微分方程统称为 【定义】 高阶微分方程. 高阶微分方程.
将其代入所给方程, 故 y′′( x) = p′( x)， 将其代入所给方程,得
2xp′p = 1 + p2,
分离变量得
2 pdp dx , 2 = x 1+ p
两边积分 ln(1 + p2 ) = ln | x | + lnC,得
1 + p2 = C1 x.
即 也即
则
p = ± C1 x − 1 y′ = ± C1 x − 1.
y = ± ∫ (C1 x − 1) dx
2 (C1 x − 1) + C 2 =± 3C1
为所求方程的通解. 为所求方程的通解.
3 2
1 2
【例3】 设有一均匀 柔软的绳索 两端固定 绳索仅受 】 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 重力作用而下垂, 重力作用而下垂 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 取坐标系如图. 【解】 取坐标系如图 考察最低点 A 到 任意点M 弧段的受力情况: 任意点 ( x, y ) 弧段的受力情况 A 点受水平张力 H M 点受切向张力 点受切向张力T 弧段重力大小 按静力平衡条件, 按静力平衡条件 有 两式相除得 故有 ( ρ : 密度 s :弧长 密度, 弧长 弧长)
Φ ( x , y , y ′ , ⋯ , y ( n −1 ) ) = C ,
第五节可降阶的高阶微分方程
第五节可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程y( n)f ( x ) 型的方程y f ( x, y ) 型的方程y f ( y, y ) 型的方程小结1一、y( n)f ( x ) 型的方程特点左端是未知函数y 的n 阶导数,右端是自变量x的一个已知函数, 且不含未知函数y 及其导数y . 两边积分再积分y ( n 1) f ( x )dx C1y ( n 2 ) [ f ( x )dx C1 ]dx C 2 。
接连积分n次, 得到含有n 个任意常数的通解.3x y e cos x 例求解方程解将方程积分三次, 得1 3x y e sin x C1 3 1 3x y e cos x C1 x C 2 9 1 3x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 27 最后得到的就是方程的通解.3二、y f ( x, y ) 型的方程dp p . 将p作为新的解法设y p, y dx 则方程变为p f ( x , p ) 未知函数，如果其通解为p p( x,C1 ),则由y p( x, C1 ) 再积分一次, 可求出原方程的通解特点方程缺y.y p( x , C1 )dx C 243 x 2 y y 1 x 3 例解方程解因方程中不含未知函数y, 令y p, y p ,y x 0 1, y x 0 4p 1 x p C1 (1 x 3 ) 由初始条件y x 0 43 y 4 ( 1 x ) 知C1=4, 所以3 x2 p 代入原方程, 得p 3 1 x dp 3 x2 3 d x ln p ln( 1 x ) ln C1 33 x 2 y y 1 x 3y x 0 1, y x 0 44 dy 4(1 x 3 )dx y x 4 x C2再由初始条件y x 0 1, 知C2 = 1故所求解为y x 4x 14三、y f ( y, y ) 型的方程特点方程缺自变量x dy p p( y ) p( y( x )) p 解法设y dx 2 d p dp d y d p d y 则y 2 p , 方程变成d x dy d x dy dx dp p f ( y , p). dy 设它的通解为y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为( y , C1 )7属y f ( y, y )型1 y 2 例求方程y 的通解. 2y 解设y p, 则y p dp , 代入原方程dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程dy 2y 2pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p 1 p2 C1 y p C1 y 1dy 即C1 y 1 dx可分离变量方程dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx2 C1 y 1 x C 2 C1属y f ( y, y )型例求方程yy y 2 0 的通解.d p 解设y p, 则y p , 代入原方程dy dp y p p 2 0, 即p( y dp p) 0 dy dy dp dy 由y p 0, 可得p C1 y, C1 y dy dx 原方程通解为y C 2e C1 x2002年考研数学一, 3分微分方程yy y 2 0 满足条件y x 0 1, 1 2 或y x 1 yx 1 y x 0 的特解是2 解d ( yy ) 0 故有yy C1 dx 1 1 1 y y 由y x 0 1, y x 0 C1 即2 2 2 2 y x 可分离变量方程C2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 211四、小结三种类型的可降阶的高阶微分方程解法:通过代换将其化成较低阶的方程来求解.思考题1996年考研数学一, 7分对x 0, 过曲线y f ( x )上点( x, f ( x ))处1 x 的切线在y轴上的截距等于f ( t )dt , x 0 求f ( x )的一般表达式 .解过曲线y = f (x)上点( x, f (x))处的切线方程为Y f ( x ) f ( x )( X x )令X 0, 得切线在y轴上的截距1 x Y f ( x ) xf ( x ) f ( t )dt x 0 x f (t )dt x[ f ( x ) xf ( x )] 积分方程013xf ( t )dt x[ f ( x ) xf ( x )]积分方程两边对x求导, 即xf ( x ) f ( x ) 0属于y f ( x, y )型可降阶的方程令f ( x ) p( x )且f ( x ) p ( x )代入上式,得xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程1 1 分离变量并积分dp dx p x C1 得ln p ln x lnC1 ln x C1 C1 即p , 即f ( x ) , 再积分,得x x C1 f ( x )dx x dx ,f ( x) C1 ln x C2 即为所求.作业习题7-5(323页)1.(4)(7)(8) 2.(3)。
第四节可降阶的高阶微分方程PPT课件
解 设火车开始制动时t=0,经t s行驶了s m,其运动方程
d2s dt 2
0.6
(3)
初始条件
s |t0 0,v |t0 30. (4)
对方程(3)两边积分一次,得
v
ds dt
0.6t
C1 (5)
第8页/共8页
x2
C2
x
C3，
记
C'1 2
即C得1,
y
1 12
x4
ห้องสมุดไป่ตู้
cos
x
C1x2
C2
x
C3，
其中C1, C2, C3为任意常数.
第2页/共8页
二、y'' f (x, y')型的微分方程
微分方程 y'' f (x, y')
(2)
通过变量代换 y' p, 则y'' dp p'.
dx
代入方程(2)，得
dp f (x, p)，
一、y(n)=f(x)型的微分方程
方程 y(n) f (x)
( 1)
可改写为
d ( y(n1) ) f (x) 或 d( y(n1) ) f (x)dx， dx
两端积分一次，即得
y(n1) f (x)dx C1，
再积分一次，得
y(n2) f (x)dx C1 C2，
依次积分n次，得方程(1)的含有n个任意常数的通解.
dy dx
x(e x
C1)，
再积分一次，得原方程的通解为
y x(ex C1)dx
(xex C1x)dx
(x
1)e x
C1 2
x2
C2
(x 1)ex C1x2 C2
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
4.第四节可降阶的高阶微分方程
二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。 本节所讨论两种特殊的高阶微分方程，它们可 以通过积分或变量代换，降为低阶的微分方程 来求解。这种求解方法称为降阶法。
一、 y(n) f (x) 型的微分方程
微分方程
y(n) f (x)
（1）
的特点是右端只有自变量 。我们可以通过逐次积
分求得它们的通解。事实上，只要将 y(n1) 看成新
即
dy (x,C1)dx
对它两端积分，得到方程(2)的通解
y (x,C1)dx C2
例2 求微分方程 xy y x2 0 的通解。
解：由于方程中不显含 y ，是 y f (x, y) 型，所以 设y p ，则 y p，从而原方程化为 xp p x2 0
即 p 1 p x
C2
x
C3
其中C1,C2,C3 都是任意常数。
二、y f (x, y) 型的微分方程
微分方程
y f (x, y)
(2)
的特点是右端不含未知函数 y .设y p(x) ，则 y dp ，
原方程变为
dp f (x, p)
dx
dx
这是一个关于变量 x，p的一阶微分方程，设其通解为
p (x,C1)
的未知函数，那么方程（1）就是一个关于 y(n1) 的
一阶微分方程。两边积分，得到一个n 1阶微分方
程
y(n1) f (x)dx C1
同理可得 y(n2) ( f (x)dx C1)dx C2 。依次进行 n 次
积分，便可得方程（1）的通解。
例1 求微分方程 பைடு நூலகம் 2x sin x 的通解。
解： 对所给方程依次积分三次，得
y (2x sin x)dx x2 cos x C1
常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程
参数法的基本思想 参数法的应用范围 参数法的求解步骤 参数法的优缺点
描述物理现象：可降阶的高阶微分方程可以用来描述复杂的物理现象，如振荡、波动、控制 等。
建立数学模型：通过可降阶的高阶微分方程，可以建立物理系统的数学模型，从而更好地理 解和分析物理现象。
数值模拟：可降阶的高阶微分方程可以用于数值模拟，通过计算机程序模拟物理系统的行为， 从而更好地预测和控制系统的行为。
定义和分类：介绍了可降阶的高阶微分方程的定义和分类，包括具有代表性的几种类型。
求解方法：总结了可降阶的高阶微分方程的求解方法，包括常用的数值方法和解析方法。
应用领域：列举了可降阶的高阶微分方程在各个领域的应用，如物理、化学、生物、工程等。
未来研究方向：展望了可降阶的高阶微分方程未来的研究方向，包括新的求解方法、应用领 域的拓展等。
分解法：将高阶微分方程分解为多个一阶微分方程，逐个求解，最后得到原方程的解。
降阶法：通过适当的变换，将高阶微分方程降为低阶微分方程，然后求解。 近似法：对于某些难以直接求解的高阶微分方程，可以采用近似法求解，如Runge-Kutta方法等。
数值解法：对于一些实际问题，可以采用数值解法求解高阶微分方程，如有限差分法、有限元法等。
优化设计：可降阶的高阶微分方程可以用于优化设计，通过调整系统的参数，使系统的性能 达到最优。
机械工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 机械系统的动态 行为，例如弹簧阻尼系统、振荡 器等。
航空航天工程： 可降阶的高阶微 分方程可以用于 描述飞行器的动 态特性，例如空 气动力学、飞行 控制等。
电子工程：可降 阶的高阶微分方 程可以用于描述 电路系统的动态 行为，例如RC电 路、RLC电路等。
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【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
目 录
• 高阶微分方程的降阶 • 幂级数解法 • 高阶微分方程的特解 • 高阶微分方程的通解
01
CATALOGUE
高阶微分方程的降阶
降阶方法一：变量代换法
总结词
通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而降低其阶数。
详细描述
这种方法通常用于将高阶微分方程转化为更容易处理的低阶微分方程或常微分方程。通过选择适当的变量代换， 可以将高阶微分方程转化为较低阶数的形式，从而简化求解过程。
降阶方法二：常数变易法
总结词
通过将微分方程中的常数项视为未知函数，从而减少微分方程的阶数。
详细描述
常数变易法是一种常用的降阶方法，适用于某些特定类型的高阶微分方程。通过将常数项视为未知函 数，并将其代入原方程，可以将其转化为较低阶数的微分方程，从而简化求解过程。
降阶方法三：线性组合法
总结词
通过对方程进行线性组合，将其转化为 较低阶数的微分方程。
验证解的正确性
通过将求得的解代入原微分方程进行验证，确保解的 正确性和有效性。
幂级数解法的应用实例
二阶常系数线性齐次微分 方程
对于形如y''+py'+qy=0的二阶常系数线性 齐次微分方程，可以通过幂级数解法求解其 通解。
非齐次项为多项式的高阶微 分方程
对于非齐次项为多项式的高阶微分方程，可以通过 将多项式转化为幂级数的形式，再利用比较系数法 求解。
VS
详细描述
线性组合法是一种常用的降阶方法，适用 于某些特定类型的高阶微分方程。通过对 方程进行线性组合，可以将其转化为较低 阶数的微分方程，从而简化求解过程。这 种方法通常需要对原方程进行适当的变形 和整理，以便进行线性组合。
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一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
第3章
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一、 y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x) dx + C1
即 同理可得 y(n−2) = ∫[
故所求通解为
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y′′ − e2y = 0 例7. 解初值问题 y x =0 = 0 , y′ x =0 =1 解: 令 y′ = p (y), 则y′′ = p dp , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
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思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7
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例3. 求解 解:
(1+ x )y′′ = 2xy′
2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
(1+ x ) p′ = 2x p
2
分离变量
2
积分得 ln p = ln (1+ x ) + ln C1 , 利用 y′
= 3 , 得C1 = 3,于是有 y′ = 3(1+ x2 ) x =0
]dx + C2
= ∫[
]dx + C1x + C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
2x ′ 解: y′′ = ∫ e − cos x dx + C1
(
)
1 2x ′ = e − sin x + C1 2 1 2x + cos x + C′x + C y′ = e 1 2 4 1 2x y = e + sin x + C1x2+ C2x + C3 8
故方程化为 设其通解为 p = ϕ( y, C1), 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解
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例5. 求解 解: 代入方程得 两端积分得 ln p = ln y + ln C1 , 即 p = C y, 1
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
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作业
P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3; 4
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第七节 目录 上页 下页 返回 结束
3
两端再积分得 y = x + 3x + C2 利用 y
x =0
=1, 得C2 =1, 因此所求特解为
y = x3 + 3 x +1
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三、y′′ = f ( y, y′) 型的微分方程
dp d p dy 令 y′ = p (y), 则y′′ = = ⋅ dx dy dx
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 − e− y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = −1 由 故所求特解为
1− e− y = x
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二、 y′′ = f (x, y′) 型的微分方程
设 y′ = p (x) , 设其通解为 则得 原方程化为一阶方程
p = ϕ (x, C1) y′ = ϕ (x, C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y = ∫ϕ (x, C1) dx + C2