可降阶的高阶方程
5(4)可降阶的高阶方程
可降阶的高阶微分方程
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x
解法 设 y dy p y
dx
则
y
d2 y dx 2
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
方程变成
p dp dy
f
( y,
p).这是关于变量y
,
p
的一阶方程.
设它的通解为 y p ( y,C1 ). 分离变量并积分,
两端同乘不为零的因子 1 y2
yy y2
y2
d( dx
y ) 0
y
y y C1
故 y C1 y
可分离变量方程
从而通解为 y C2eC1x
13
可降阶的高阶微分方程
例 目标的跟踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点 A(1,0)
处的乙舰发射制导导弹, 导弹头始终对准乙舰. 如果 乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的直线 行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程. 又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中? 解 设导弹的轨迹曲线为 y
y y( x),并设经过时间 t , 导弹位于点P (x, y), 乙舰
位于点 Q(1, v0t) (如图). 由于导弹头始终对准乙舰,
y y(x)
P( x, y)•
•Q(1,v0t )
O
A(1,0) x
故 的此切时线,直即线有PQy就 是v0导t 弹y的, 轨迹曲线弧OP在点P处
1 x
14
可降阶的高阶微分方程
(5) + (6),得
y
1 2
(1
1
x) 5
(1
1
x)5
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
常微分方程课件--可降阶的高阶方程
x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：
w dx c1 H 1 p2
dp
x ln( p 1 ( p) ) c1 （1.7.1８） 即 a H 式中 a ．把初始条件 y(0) 0 代入 w （1.7.1８）上式得：1 0 ，故（1.7.1８）变为 c
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
dx d n 1 x 方程,但乘以一个合适的因子 (t , x, , n 1 ) dt dt 后就成为全微分方程. 称其为方程(1.7.4)的积分
因子.
d 2 x dx 2 例 求解方程 x ( ) 0 2 dt dt
解：原方程可以写成 d ( xx ' ) 0 dt 故有 xx c
又由于
dS dy 2 1 ( ) dx dx
故
dW dy 2 w 1 ( ) dx dx d2y w dy 2 1 ( ) 2 dx H dx
从而方程（1.7.16）化为： （1.7.1７）
记 b 为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离， 则有： y(0) b, y(0) 0 （1.7.1７）是一个不显含自变量
原方程可以写成dtdtxxdt积分后得通解为故有dtdtdtdt可降阶的高阶方程的应用举例速度v运动方向永远指向p点求m点的运动例1追线问题平面上另有一点m它以常正向移动
可降阶的高阶微分方程
主讲教师 杨文杰可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程1．高阶微分方程的定义 '''()(,,,,)0 n F x y y y = K 2．可降阶的高阶微分方程类型及其解法 (1) 型()() n yf x = (2) 型 (,) y f x y¢¢¢ = 解法：逐次积分，降为一阶微分方程.解法：设y ¢=p (x )，则y ¢¢=p ¢，代入方程中得 p ¢ =f (x , p ) ， 降为一阶微分方程.(3) 型 (,) y f y y¢¢¢ = 二、可降阶的高阶微分方程的解题方法可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微 分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解. 解题方法见流程图．解法：设y ¢=p (y )，则 , dp dy dpy p dy dx dy¢¢ =×= 代入方程中得 降为一阶微分方程. (,), dpp f y p dy=解题方法流程图逐次积分), ( y x f y ¢ = ¢ ¢ 解一阶微分方程解一阶微分方程), ( y y f y ¢ = ¢ ¢ 可降阶的高阶微分方程)( ) ( x f y n = 转化为一阶方程) , ( p x f p = ¢ ), , , , ( n c c c x y K 2 1 j = 通解 Yes令 y p ¢ = 转化为一阶方程(,) pp f y p ¢= No特点:不显含 y特点:不显含 x 令 y p ¢ =三、典型例题【例1】求方程 的通解.2xy y x ¢¢¢ -= 解：由于不显含 ，令 ，则 y () y p x ¢ = y p¢¢¢ = 代入原方程整理得 1p p x x¢-= 为一阶线性方程，21 y p C x x¢ ==+ 再积分，得原方程的通解为23 12 11 23y C x x C =++ 32 121 3 x C x C =++ 代入求解公式得解：由于不显含 () y p y ¢ = y pp¢¢¢ = x ,令 ,则 代入原方程得 2ypp p ¢+= 所以0 p = 或 0yp p ¢+= 当 0 yp p ¢+= 时，此方程为可分离变量的方程， 分离变量得：dp dyp y=- 【例2】求方程 2()0 y y y¢¢¢ += 满足初始条件 0 12x y = ¢ = 的特解. 0 1, x y = =积分得：ln ||ln || p y C=-+ 所以 1 1 () C C p C e y==± 即 1 C y y ¢= 将 00 1 1, 2 x x y y == ¢ == 代入得 11 2C = ，从而 1 2 y y ¢ = 分离变量后积分得 22 , y x C =+ 将 01 x y = = 代入得2 1 C = 所求方程的特解为：21y x =+ 特解为 1 y = ，含在 内.2 1 y x =+ 当 时，即 0 y ¢= 积分得 , y C = 0 p =。
4几种可降阶的高阶方程.ppt
方程不能用初等积分求解，例如方程
就不能用初等积分求
解．这说明初等积分法有相当的局限性． 但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认为是常微分方程中
非常有用的解题方法之一，也是初学者的基本训练之一．
例 1 求解方程
解令 通解为
则有
从而 积分四次，得到原方程的通解
2 第二种可降阶的高阶方程
方程
这类方程的特点是不显含自变量 x，这时，总可以利用代换 以二阶方程
，使方程降低一阶。
为例.令
，于是有
代入原方程，就有
这是一个关于未知函数 p 的一阶方程.如果由它可求得 。这是一个关于 x,y 的变量可分离方程，可求得通积分
，则有
例 2 求解方程
．
解令
,则
积分后得
代入原方程得 或
其中 a 为任意常数. 解出 p 得 或
或
积分后得
其中 b 为任意常数. 于是有
其中
为任意常数.
3 恰当导数方程
假如方程 对 x 的导数，即为
的左端恰为某一函数
则称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为
之后再设法求解这个方程.
例 3 求解方程
.
解 易知可将方程写成
故有
即
.
积分后即得通解
例 4 求解方程
.
解 先将两端同乘不为 0 的因子 ，则有
故
，从而通解为
４ 初等积分法的历史地位
自 1676 年微分方程的研究工作开始，其后 100 多年间是初等积分发 展的重要时期．1841 年法国数学家（Liouville）指出：绝大多数常微分
§2.4 几种可降阶的高阶方程
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
1.5可降阶的高阶方程
例1
解
y
(4)
sin x
y cos x c1 y sin x c1 x c2 1 y cos x c1 x 2 c2 x c3 2 1 1 3 y sin x c1 x c2 x 2 c3 x c4 6 2
例 2 求方程 xy ( 5 ) y ( 4 ) 0 的通解.
1
1
由 由
y x0 3得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 0 1 c2 1 y x 3x 1
3
y x 3 3 x c2
故
例4 解方程
解
2 y 1 (y )
令y p y p
dp 2 dx 1 p arctan p x c1
பைடு நூலகம்
代入原方程得到新函数P ( y )的( n 1)阶方程，
求得其解为
dy P ( y ) ( y , C1 , , C n1 ), dx
原方程通解为
dy ( y , C1 , , C n 1 ) x C n ,
例5 解方程
y y ( y )3
dp 解 令 y p y p dy dp
dp dp dy dp y p dx dy dx dy dp p f ( y , p) 代入原方程得 dy 这是一个关于 y ，p 的一阶方程
若已求得它的通解为
y p ( y, c1 )
积分得
变量可分离的一阶方程
1 ( y, c1 )dy x c2
原方程通解为 y d 1 x d 2 x d 3 x d 4 x d 5
5 3 2
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可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。
下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
，
再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
.
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p=C
y
1
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）。