集合的运算(3)
集合的三种基本运算
集合的三种基本运算集合的三种运算分别是有交集、并集、补集。
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。
集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。
（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。
（3）相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A= { x| x∈B且x∉A}。
（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。
（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。
符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。
基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。
当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。
专题03 集合的基本运算(解析版)
专题03集合的基本运算1．并集和交集的定义[知识点拨] (1)简单地说，集合A 和集合B 的全部(公共)元素组成的集合就是集合A 与B 的并(交)集；(2)当集合A ，B 无公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A 且属于集合B 的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同． 2．并集和交集的性质3．全集4.补集[知识点拨](1)简单地说，∁U A是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．重要考点一：并集的概念及运算【典型例题】已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}，则A∪B=（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{−1，0，1，2，3}【答案】C【解析】集合B={x|−1<x<2,x∈Z}={0,1}，而A={1,2,3}，所以A∪B={0,1,2,3}，故选C.【题型强化】1.已知集合E ={x|x <3}，F ={x|−1≤x ≤4}，则E ∪F =________． 【答案】{x|x ≤4}【解析】因为E ={x|x <3}，F ={x|−1≤x ≤4}，所以E ∪F ={x|x ≤4} 故答案为：{x|x ≤4}2.已知集合{0,1}A =，B ={0,1,2,3}，则A ∪B 中的元素个数为________. 【答案】4【解析】由已知可得：A ∪B ={0,1,2,3},则A ∪B 中的元素个数为4.故答案为：4 【名师点睛】并集运算应注意的问题(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．重要考点二：交集的概念及其运算【典型例题】已知集合M ={x|x 2−3x −28≤0}，N ={x|x 2−x −6>0}，则M ∩N 为（ ） A ．{x|−4≤x <−2或3<x ≤7} B ．{x|−4<x ≤−2或3≤x <7} C ．{x|x ≤−2或x >3} D ．{x|x <−2或x ≥3}【答案】A【解析】∵由M ={x|x 2−3x −28≤0}，所以M ={x|−4≤x ≤7}， 因为N ={x|x 2−x −6>0}，所以N ={x|x <−2或x >3}，∴M ∩N ={x|−4≤x ≤7}∩{x|x <−2或x >3}={x|−4≤x <−2或3<x ≤7}． 故选A ．【题型强化】1.已知集合A ={x|x 2+x =0},B ={x|x ≥0}，则A ∩B =________. 【答案】{0}.【解析】∵A ={x|x 2+x =0}={0,−1}，∴A ∩B ={0,−1}∩{x|x ≥0}={0}. 故答案为：{0}.2.已知集合A ={1,2}，{}2,3B a a =+，若A ∩B={1}则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1∈B ，显然a 2+3≥3，所以1a =，此时a 2+3=4，满足题意，故答案为1． 【名师点睛】求集合A ∩B 的方法与步骤 (1)步骤①首先要搞清集合A 、B 的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A ∩B \”的形式；③把化简后的集合A 、B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． (2)方法①若A 、B 的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A ∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A 、B 是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．重要考点三：集合交集、并集运算的性质及应用【典型例题】已知集合{A =，{}1,B m =，若A ∪B =A ，则m =（ ） A ．0或√3 B ．0或3C ．1或√3D ．1或3【答案】B【解析】因为A ∪B =A ,所以B ⊆A ,所以m =3或m =若m =3，则{{1,3}A B ==,满足A ∪B =A .若m =m =0或m =1.若m =0，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A ∪B =A .若m =1，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上m =0或m =3，选B.【题型强化】1.设集合A ={1,2,4}，B ={x |x 2−4x +m =0}．若A ∩B ={1}，则B = ( ) A ．{1,−3} B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】C【解析】∵ 集合A ={1，2，4}，B ={x|x 2−4x +m =0}，A ∩B ={1} ∴x =1是方程x 2−4x +m =0的解，即1−4+m =0，∴m =3 ∴B ={x|x 2−4x +m =0}={x|x 2−4x +3=0}={1，3}，故选C2.已知A ={x|x 2−3x +2=0},B ={x|ax −2=0},若A ∩B =B ,则实数a 的值为( ) A ．0或1或2B ．1或2C ．0D ．0或1【答案】A【解析】A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}，∵A∩B=B ，∴B ⊆A当B=∅时，ax ﹣2=0无解，∴a=0．B≠∅时，x=2a ，∴2a =1或2a =2，解得：a=2或a=1， 所以：实数a 的值为：a=0或a=1或a=2．故选：A ． 【名师点睛】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A ∪B ＝B ，A ∩B ＝A 等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ． (2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解．重要考点四：集合运算时忽略空集致错【典型例题】集合A ={x|−1⩽x ⩽2}，{|}B x x a =<． （1）若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围； （2）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）a >2；（2）a ⩽−1【解析】解：（1）由集合A ={x|−1⩽x ⩽2}，{|}B x x a =<， 因为A ∩B =A ,所以A ⊆B ,则a >2，即实数a 的取值范围为a >2； （2）因为 A ∩B =∅,又B ≠∅,可得a ⩽−1，故实数a 的取值范围为a ⩽−1.【题型强化】1.设集合A ={x|−2<x <4,x ∈R}，集合B ={x|x 2−3ax +2a 2=0}．求： （1）实数a 在什么范围内取值时B ≠∅，且A ∩B =B ； （2）实数a 在什么范围内取值时，A ∩B =∅． 【答案】（1）−1<a <2（2）a ≥4或a ≤−2. 【解析】（1）∵B ≠∅，A ∩B =B ，∴B ⊆A ． 方程x 2−3ax +2a 2=0得两根为a ，2a ，由题意，得{−2<a <4−2<2a <4，解不等式组，得−1<a <2；（2）当B =∅时，Δ=9a 2−8a 2=a 2<0，不可能； 当B ≠∅时，方程两根为a ，2a ．得{a ≥42a ≥4或{a ≤−2.2a ≤−2.，∴a ≥4或a ≤−2. 2.已知集合A ={x|2−a ≤x ≤2+a }，B ={x|x ≤1或x ≥4}. （1）当a =3时，求A ∩B ；（2）若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}；（2）(−∞，1). 【解析】（1）当a =3时，A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}， ∴A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}，（2）若A =∅，此时2−a >2+a ，∴a <0，满足A ∩B =∅，当a ≥0时，A ={x|2−a ≤x ≤2+a }，∵A ∩B =∅，∴{2−a >12+a <4，∴0≤a <1.综上可知，实数a 的取值范围是(−∞,1).【名师点睛】A ∩B ＝B ，B 可能为空集，千万不要忘记．重要考点五：数形结合思想的应用【典型例题】已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≤a}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________ 【答案】a ≥1【解析】因为A ∩B ≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得a ≥1,故答案为:a ≥1【题型强化】1.设集合A ={x|−4<x −1<5}，B ={x|x 2>4}，则A ∩B =（ ） A ．{x|2<x <6} B ．{x|−3<x <6}C ．{x|−2<x <2}D ．{x |−3<x <−2或2<x <6}【答案】D【解析】由题A ={x|−4<x −1<5}={x|−3<x <6}，B ={x|x 2>4}={x|x <−2或x >2}，则A ∩B ={x|−3<x <−2或2<x <6}.故选：D.2.某校一（1）班共有18名学生参加了学校书法社或手工社，其中参加书法社的学生有15人，参加手工社的学生有6人，则一（1）班这两个社团都参加了的学生共___________人. 【答案】3【解析】设一（1）班这两个社团都参加了的学生共有x 人，则6−x +x +15−x =18∴x =3 故答案为：3【名师点睛】求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn 图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．重要考点六：补集的基本运算【典型例题】设U ={−1,0,1,2}，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则C U A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{−1,1,2}C ．{−1,0,2}D ．{−1,0,1}【答案】B【解析】由x 2<1 得： −1<x <1 ，所以A ={0} ，因此∁U A ={−1,1,2} ，故答案为B 【题型强化】1.已知集合A ={x |x 2−x −2>0}，则∁R A =_____ 【答案】{x |−1≤x ≤2}【解析】解不等式x 2−x −2>0得x⟨−1或x⟩2，所以A ={x|x⟨−1或x⟩2}， 所以可以求得C R A ={x|−1≤x ≤2}故答案为：{x|−1≤x ≤2}2.设全集U ={x|x ≥2,x ∈N}，集合A ={x|x 2≥5,x ∈N}，则C U A =__________． 【答案】{2}【解析】由题意得C U A ={x|x ≥2,x 2<5,x ∈N}={x|2≤x <√5,x ∈N}={2} 【名师点睛】求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn 图求解．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．重要考点七：交集、并集、补集的综合运算【典型例题】已知集合A ={x|(x −3)(x +1)>0}，B ={x‖x −1|>1}，则(C R A )∩B =（ ）A．[−1,0)∪(2,3]B．(2,3]C．(−∞,0)∪(2,+∞)D．(−1,0)∪(2,3)【答案】A【解析】因为集合A={x|(x−3)(x+1)>0}，B={x‖x−1|>1}，所以A={x|x>3或x<−1}，B={x|x>2或x<0}，所以C R A={x|−1≤x≤3}，所以(C R A)∩B={x|2<x≤3或−1≤x<0}，故选A.【题型强化】1.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1}，B={−1,1,2}，则(∁U A)∩(∁U B)=______. 【答案】{−2,3}【解析】因为全集U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1}，B={−1,1,2}，所以∁U A={−2,2,3}，∁U B={−2,0,3}，所以(∁U A)∩(∁U B)={−2,3}，故答案为：{−2,3}.2.若全集U=R，A={x|x<−3或x≥2}，B={x|−1<x<5}，则C={x|−1<x<2}=______（用A，B或其补集表示）.【答案】B∩(∁U A)【解析】由题得C U A={x|−3≤x<2}，所以B∩(∁U A)={x|−1<x<2}=C,故答案为B∩(∁U A)【名师点睛】求集合交、并、补运算的方法重要考点八：“正难则反”思想的应用【典型例题】已知集合A={x|x2−5x−6=0},B={x|x2+ax+a2−12=0}，若B∪A≠A.求实数a的取值范围.【答案】{a|−4≤a≤4}【解析】若B∪A=A,B⊆A.∵A={x|x2−5x−6=0}={−1,6}，∴集合B有以下三种情况：①当B=∅时，Δ=a2−4(a2−12)<0，即a2>16，a>.∴a<−4或4②当B是单元素集合时，Δ=a2−4(a2−12)=0，∴a=−4或a=4.若a=−4，则B={2}，此时不满足B⊆A，故舍去；若a=4，则B={−2}，此时不满足B⊆A，故舍去.③当B={−1,6}时，−1，6是方程x2+ax+a2−12=0的两个根，∴{−a=−1+6,a2−12=−1×6,即a的值不存在.综上可得，当B∪A=A时，实数a的取值范围为{a∣a<4或a>4}.故若B∪A≠A，则实数a的取值范围为{a|−4≤a≤4}.【题型强化】1.已知集合,则实数的值为__________. 【答案】或【解析】由题意得，故得，即，解得或.当时，，符合题意．当时，，符合题意．所以或．答案：或2.设全集U={2,3,a2+2a−3}，A={16+a6,2}．若∁U A={5}，求实数a的值．【答案】a=2【解析】因为∁U A={5},且全集U={2,3,a2+2a−3},所以a2+2a−3=5,解得a=−4或a=2,当a=−4时,16+a6=16−46=2,集合A中的元素不满足互异性,不合题意;当a=2时,16+a6=16+26=3,此时A={3,2},满足∁U A={5},符合题意.综上可得,a=2..故答案为: a=2.【名师点睛】“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A．补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．1．【2020届辽宁省丹东市线上教学质量监测】已知全集U={0,1,2,3,4,}，若A={0,2,3},B={2,3,4}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A ．∅B ．{1}C ．{0,2}D ．{1,4}【答案】B【解析】因为全集U ={0,1,2,3,4,}，所以∁U A ={1，4}，∁U B ={0，1}， 因此(∁U A )∩(∁U B )={1}，选B.2．【新疆哈密市第十五中学2019-2020学年高二上学期期末】已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,4}，B ={1,3,5}，则(C U A)∩B =（ ） A ．{1} B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}【答案】B【解析】由题意，全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,2,4}，可得C U A ={3,5}， 所以(C U A)∩B ={3,5}.故选：B .3．【新疆喀什市第二中学2019-2020学年高二上学期期末】已知集合A ={x |−1≤x ≤1}，B ={x |x 2−2x ≤0}，则A ∩B =（ ） A ．{x |−1≤x ≤2} B ．{x |−1≤x ≤0} C ．{x |1≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}【答案】D【解析】B ={x ∣x 2−2x ⩽0}={x |0⩽x ⩽2}，则A ∩B ={x |0⩽x ⩽1}，本题选择D 选项.4．【山西省临汾市洪洞县第一中学上学期期中】已知全集U =R,A ={x |x 2−3x −4⟩0},B ={x|−2≤x ≤2} ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{x|−2≤x <4}B ．{x|x ≤2或x ≥4}C ．{x|−2≤x ≤−1}D ．{|12}x x -≤≤【答案】D【解析】C U A ={x|x 2−3x −4≤0}=[−1,4] ,所以阴影部分所表示的集合为(C U A)∩B =[−1,4]∩[−2,2]=[−1,2] ,选D.5．【2019届浙江省杭州市学军中学高考前适应性考试】已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，P ={1,2,4}，Q ={2,3,4,6}.则P∪(C U Q）==（）A．{1}B．{2，4}C．{1，2，3，4}D．{1，2，4，5}【答案】A【解析】由题意，全集U={1,2,3,4,5,6}，P={1,2,4}，Q={2,3,4,6}，则C U Q={1,5}，所以则P∪(C U Q）={1}.故选：A.6．【天津市静海县第一中学2017-2018学年高二6月学生学业能力调研】已知集合，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为且，所以，故所求实数的取值范围是，应选答案C。
.3集合间的基本运算
3集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．二、知识梳理1．并集和交集的概念及其表示2.3．全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.4．补集5.?U U＝?，?U?＝U，?U(?U A)＝A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}答案(1)A(2)C解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图．规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B 是()A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.答案(1)C(2){x|x＜－5，或x＞－3}解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．则M ∪N ＝{x |x ＜－5，或x ＞－3}． 知识点二 集合交集的简单运算例2 (1)已知集合A ＝{0,2,4,6}，B ＝{2,4,8,16}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{4}C ．{0,2,4,6,8,16}D ．{2,4}(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤4} D ．{x |1≤x ≤4} 答案 (1)D (2)A解析 (1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}． (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图． 则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．规律方法 求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似． 跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B . 解 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}， 把集合A 与B 表示在数轴上，如图． ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥52} ＝{x |－1＜x ≤0，或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R . 知识点三 已知集合交集、并集求参数例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝?，求实数a 的取值范围．解 由A ∩B ＝?，(1)若A ＝?，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠?，如下图：∴⎩⎨⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a的取值范围是{a|－12≤a≤2，或a＞3}．规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．跟踪演练3设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．解如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.知识点四简单的补集运算例4(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A等于()A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．?(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?U A＝________.答案(1)B(2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?U A＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得?U A＝{x|x＜1}．规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：?U U＝?，?U?＝U，A∪(?U A)＝U.跟踪演练1已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析借助数轴得?U A＝{x|x＝－3，或x＞4}．知识点五交集、并集、补集的综合运算例5(1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A ∩?U B等于()A．{3} B．{4}C．{3,4} D．?(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?R S)∪T等于()A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案(1)A(2)C解析(1)∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．又?U B＝{3,4}，∴A∩?U B＝{3}．(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以?R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(?R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．跟踪演练2设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及(?R A)∩B. 解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．∵?R A＝{x|x＜3，或x≥7}，∴(?R A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．要点六补集的综合应用例6已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B??R A，求a的取值范围．解由题意得?R A＝{x|x≥－1}．(1)若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??R A.(2)若B≠?，则由B??R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－1 2.规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．跟踪演练3已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(?R B)＝?，求实数a 的取值范围．解∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，∴?R B＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(?R B)＝?，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.四、课堂练习1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}答案 A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为() A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}答案 A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于()A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}答案 B解析由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?A D．A?B答案 B解析∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，∴A∩B＝{x|－5＜x＜0，或2＜x＜5}，A∪B＝R.故选B.5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________．答案k≤6解析因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k 2}，且M∩N≠?，所以－k2≥－3?k≤6.6．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则?M N等于()A．?B．{1,3,5}C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}答案 B解析?M N＝{1,3,5}，所以选B.7．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?U A等于() A．{2} B．{3,4}C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}答案 B解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?U A＝{3,4,5}，∴B∩?U A＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．8．已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个答案 B解析∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个．9.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为() A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}答案 A解析图中阴影部分表示的集合为(?U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(?U A)∩B＝{－1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?U A＝________.答案{x|0＜x＜1}解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴?U A＝{x|0＜x＜1}．五、巩固训练1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案 A解析结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于() A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}答案 A解析集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A. 3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,2}C．{－2.0} D．{－2,0,2}答案 D解析集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()A．{x|1≤x＜2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}答案 A解析∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是() A．t＜－3 B．t≤－3C ．t ＞3D ．t ≥3 答案 A解析 B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t ＜－3.6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________. 答案 2解析 ∵A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}＝{2}， ∴a ＝2.7．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． (2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ?B ?C ， ∴－a2<2，∴a ＞－4.8．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}， 又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}， ∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.9已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠?，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4 D ．2＜m ≤4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A .又B ≠?，∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即2＜m ≤4.10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤4}，C ＝{x |－3＜x ＜2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________.答案 －1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3＜x ≤4}，∴A (B ∪C )． ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}． ∴a ＝－1，b ＝2.11．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞a }． (1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠?，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．解 (1)如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2；(2)由于A ∩B ≠?，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a ＜4.12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A . 若B ＝?时，2a ＞a ＋3，即a ＞3；若B ≠?时，⎩⎨⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2，综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2，或a ＞3}．13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝?；(2)A ?(A ∩B )． 解 (1)若A ＝?，则A ∩B ＝?成立． 此时2a ＋1＞3a －5， 即a ＜6.若A ≠?，如图所示，则⎩⎨⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝?的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}．(2)因为A ?(A ∩B )，且(A ∩B )?A ，所以A ∩B ＝A ，即A ?B .显然A ＝?满足条件，此时a ＜6.若A ≠?，如图所示，则⎩⎨⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或⎩⎨⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.由⎩⎨⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈?；由⎩⎨⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16解得a ＞152.综上，满足条件A ?(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6，或a ＞152}．13．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪B )等于() A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4}答案 D解析 ∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴?U (A ∪B )＝{4}．14．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(?R A )∩B 等于( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}答案 A解析 因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以?R A ＝{x |x ≤－1}，则(?R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．15．设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(?U B )等于( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}答案 B解析 ?U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(?U B )＝{x |0＜x ≤1}．16．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x ＞3}D ．{x |－2≤x ≤2}答案 A解析 阴影部分所表示的集合为?U (M ∪N )＝(?U M )∩(?U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}．故选A.5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |2≤x ＜5}，则?A B ＝________.答案 {x |0≤x ＜2，或x ＝5}解析 如图：由数轴可知：?A B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＝5}．17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则?U A 与?U B 的包含关系是________． 答案 ?U A ?U B解析 ∵?U A ＝{x |x ＜0}，?U B ＝{y |y ＜1}＝{x |x ＜1}．∴?U A ?U B .18．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52， (1)求A ∩B ；(2)求(?U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(?U P )．解 (1)A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}．(2)∵?U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，∴(?U B )∪P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0，或x ≥52. (3)∵?U P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜52， ∴(A ∩B )∩(?U P )＝{x |－1＜x ≤2}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜52＝{x |0＜x ≤2}． 19．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(?R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2答案 C解析 如图所示，若能保证并集为R ，则只需实数a 在数2的右边(含端点2)，所以a ≥2.20．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(?I S )D ．(M ∩P )∪(?I S )答案 C解析 依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈?I S, 所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(?I S )，故选C.21．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案 12解析 设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30?x ＝3，所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．22．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ??R A ，求实数m 的取值范围．解 (1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}，A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}．(2)?R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}．当B ＝?时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ??R A ，当B ≠?时，使B ??R A 成立，则⎩⎨⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎨⎧m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＞3，或m ≤－12. 23．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．(1)若A ?B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ?(?U B )，求a 的取值范围．解 ∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，(1)由A ?B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴?U B ＝{x |x ＜a }，要使A ??U B ，须a ＞－2.24．若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 解 假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎨⎧ a ≠0，Δ＝9－8a ＞0，解得a ＜98且a ≠0，则a 的取值范围是{a |a ＜98，且a ≠0}． 在全集U ＝R 中，集合{a |a ＜98，且a ≠0}的补集是{a |a ≥98，或a ＝0}，所以满足题意的a 的取值范围是{a |a ≥98，或a ＝0}．。
数学集合的概念运算
课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。
3集合的基本运算
3.1 交集与并集 3.2 全集与补集
ＡＡ∪用ＢＢVenＡn∪A图∩ＢB表Ｂ示两Ａ个ＡＡ＝∪∩集（ＢＢＢ合） 的ＡＡＡ关∪∩ＢＢ系
Ｂ
由属于A且 属于B的元素 组成的集合, 叫A与B的交 集.记 作:
由属于A或 属于B的元 素组成集 合,A与B的 并集.记 作:
设ＵU是全集A U.由U
⑴（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ与Ａ∩（Ｂ∩Ｃ） ⑵（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ与Ａ∪（Ｂ∪Ｃ） ⑶（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）与Ａ∪（Ｂ∩Ｃ） ⑷（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）与Ａ∩（Ｂ∪Ｃ） ⑸Ａ（Ａ∪Ｂ）与Ａ∪（Ａ∩Ｂ）
答案：是相等 请把这些相等的式子写在笔记本中
这些等式依次为（归纳）：
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)＝A∩B∩C
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)＝
中所有不 属于A的元
素C组ｕ成Ａ的集合Ａ叫U中
子集A的补集.记 作:
A∩ B =
{x|x∈A且x∈B}
ＣuＡ=
{x|x∈ U且∈A}
很显然
A B A A B; A B B A B
若A B A则A B；若A B A则B A.反之亦真。
填写两张表
第一张
第二张
∩ φ Α Β Cu ∪ φ Α Β Cu
A∪B∪C
（结合律）
A∩(A∪B)＝A∪(A∩B)＝A（吸收律）
应用二：p13例4题略.解略.
归纳 (反演律、狄·摩根定理De Morgan）
略
图形验证
Ｕ
Ａ
Ｂ
Ｕ
Ａ
Ｂ
可以用维恩图验证其他定律（课外完成）
应用三 Ｐ16Ｂ组２ 题略
文字语言 图形语言 符号语言
９
Ａ Ａ∩Ｂ Ｂ
１５ １５ １１
3 集合的基本运算--全集与补集
B
补充练习
1.分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分 1.分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分 分别用集合A,B,C
ð 2.已知全集Ⅰ={2,3,a +2a-3},若A={b,2}, 2.已知全集Ⅰ={2,3, 2+2 -3},若A={ ,2}, IA = {5} 已知全集Ⅰ={2,3, 求实数a, 求实数 ,b
交集
A∩ B = B∩ A A∩ B ⊆ A A∩ B ⊆ B A∩ A = A A∩∅ = ∅
A∩B=A
并集
A⊆ B
B ⊆ A∪ B
A∪ B
= B∪ A
A∪B=B ∪
A ⊆ A∪ B A∪ A = A A∪∅ = A
A⊆ B
补集
A ∪ ðUA = U
A ∩ ð UA = ∅
ð R ( A ∩ B ) = (痧A) ∪ ( RB ) R ðR ( A ∪ B ) = (痧A) ∩ ( RB ) R
练习
如果知道全集U和它的子集A 2、如果知道全集U和它的子集A，又知道 ðUA = {5} 那么元素5与集合U 的关系如何呢? 那么元素5与集合U，A的关系如何呢? 5 ∈ U ,5 ∉ A 已知全集S={ 12的正约数 的正约数},A={ 3、已知全集S={x|x是12的正约数},A={x|x是4与6的 最大正公约数或最小公倍数}. }.求 最大正公约数或最小公倍数}.求 ðSA. {1,2,4,6} 已知全集为U={1,2,3,4,5,6}, ,则集 4、已知全集为U={1,2,3,4,5,6}, UA = {5, 6},则集 ð {1,2,3,4} 合A=___________. 设全集为R ≤3},则 R 5、设全集为R，A={x|x<5},B={x|x≤3},则痧A与 ðRA ðRB 的关系是________. 的关系是________.
集合的基本运算(讲义)
集合的基本运算（讲义）➢知识点睛一、集合的基本运算、无序性．二、并集、交集向集合间基本关系的转化A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=B⇔B⊆A．三、集合的运算律1.交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A2.结合律A∪(B∪C)＝(A∪B)∪CA∩(B∩C)＝(A∩B)∩C3.分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)4.德-摩根定律C U(A∪B)=_________________C U(A∩B)=_________________四、Venn图的应用1.抽象集合之间的基本关系和基本运算．2.集合交集、并集、补集的混合运算．➢精讲精练1.（1）已知集合M={x|-2<x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N=（）A．{x|x<-5或x>-2} B．{x|-5<x<5}C．{x|-2<x<5} D．{x|x<-3或x>5}（2）已知集合{|03}=-≤≤，M y yP x xZ≤，{|33}=∈<则P∩M=（）A．{1，2} B．{0，1，2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}（3）已知集合2==-==，，，，那A x y y xB x y y x{()|32}{()|}么集合A∩B=__________________．（4）若集合{|1}{|1}，，则====A x yB y yA∪B=___________，A∩B=___________.2.（1）若全集{|22}A x x=-≤≤的=-≤≤，则集合{|20}U x x补集C U A为_________．（2）已知全集{|15}A=，，，Z≤≤，{125}=∈-U x xN，则B∩(C U A)= ________．=∈-<<{|14}B x x3.设A={0，2，4，6}，C U A={-1，-3，1，3}，C U B={-1，0，2}，则集合B=_______________________．4.（1）设集合S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，若S∪T=R，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x≥4或x≤1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是__________________．（2）已知集合A={x|2≤x≤6}，B={x|2m≤x≤m+3}，若B∩A=B，则m的取值范围是__________________．（3）已知A={1，2，3}，B={x∈R|x2－ax＋1=0}，当A∩B=B时，则a的取值范围是_______________．≤C．{x|-2≤x≤2} D．{x|1<x≤2}D．(M∩P)∪(C U S)9.已知全集合S={ x∈N+ |-2<x<9}，M ={3，4，5}，P={1，3，6}，那么{2，7，8}是（）A．M∪P B．M∩PC．(C S M)∪(C S P) D．(C S M)∩(C S P)10. 设A ，B ，U 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆U ，则下列各式错误的是（ ）A ．(C U A )∪B =UB ．(C U A )∪(C U B )=UC ．A ∩(C U B )=∅D ．(C U A )∩(C U B )= C U B11. 设全集U =M ∪N ={1，2，3，4，5}，M ∩(C U N )={2，4}，则N =_________．12. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ={3}，(C U A )∩(C U B )={9}，A ∩(C U B )={1，5，7}，则集合A =___________，B =___________．【参考答案】➢ 知识点睛三、4．()()()()U U U U A B A B ，➢ 精讲精练1. （1）A ；（2）B ；（3）{(2，4)，(1，1)}；（4）{|0}x x ≥，{|1}x x ≥2. （1）{|02}x x ≤；（2）{0，3}3. {4，6，-3，1，3}4. （1）{|31}a a -<<-；（2）{|1}a a <5. （1）0或3；（2）{|1}m m ≥；（3）{|22}a a -<≤6. {2,8}7. D8. C9. D 10. B11. {1，3，5}12. {1，3，5，7}，{2，3，4，6，8}集合的基本运算（随堂测试）1. 已知集合{|20}P x x x =≥≤或，{|12}Q x x =<≤，则(C R P )∩Q =___________．2. 已知集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|23B x x =-≤≤，若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是_________________．3. 设全集U ={x |0<x <10，x ∈N }，A ⊆U ，B ⊆U ，若A ∩B ={2，3}，C U (A ∪B )={4，6，9}，(C U A )∩B ={1，8}，则集合A =________，B =__________．【参考答案】1. {|12}x x <<2. {|1}a a -≥3. {2，3，5，7}，{1，2，3，8}。
集合的运算---交、并
7，
B
解：将集合A，集合B用上图表示 A∪B ={4，5，6，8} ∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8} 注意：本题两个集合中都有元素5，8，但在求两个集合的并集的时候 只能出现一次，不能写成{3，4，5，5，6，7，8，8}
例2：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B 解：A∪B ={x|x是锐角三角形} ∪{x|x是钝角三角形} ={x|x是斜三角形} 例3：设 A {x | 1 x 2}，B {x | 1 x 3}, 求A B 分析：此题与例1类似，与实数大小有关系，利用数轴处理
之剑乃是鞠言自身创造出来の法术.因此,呐壹法术在鞠言手中所爆发出来の威能,要比鞠言施展九天申吙可能还要恐怖.并且,混沌之剑还能融合枯树传承の历量.呐壹剑,撕裂空间,带着浩瀚の威压,转瞬间劈杀到了酉垅魔主の身前.酉垅魔主双臂展开,手掌在身前连连做出壹些细小の动作, 紧接着他の身体四周,壹层灰蒙蒙の屏障铺开.呐壹层屏障刚刚铺开,鞠言就从上面感应到极度邪恶の气息.浓郁の血腥气,似乎笼罩了整个白城.在灰蒙蒙の屏障光芒散开后,能够看到其中有血色光芒涌动.“轰隆！”壹声滔天巨响传出.混沌之剑,狠狠の击在灰色の屏障上.酉垅魔主の身体 壹颤,而后便是如流月壹般倒飞了出去.但是,他身体四周の灰色屏障并未破碎.混沌之剑の剑芒,也没能从外面渗透进去.鞠言盯着稳住身体の酉垅魔主,眉头微微皱起.他呐壹剑の威能,他自身很清楚.呐壹剑,便是放在整个法罗天,怕也没多少善尊能够凭借自身の历量抵挡下来.就算是远瞳 善尊,恐怕也挡不住.“好强の防御法术！”鞠言心头暗道.“小子,就凭你还嫩了点.”酉垅魔主以极快の速度叠新飞了过来.他说得轻松,但实际上方才鞠言の那壹剑,让他也很不好受.他所施展の法术虽挡住了呐壹剑,可是那剑光中
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2 痧 U A U B ; 3 痧 U A B, U A B; 4 ðU A B.
练习2.设全集U＝R，已知集合A是不等式2x-5≤3的解集， B={x|3<x<5}. 求： 1 ?U A;
2 ðU B; 3 ðU A B ; 4 ðu A B .
江苏教育出版社 江苏省职业学校数学第一册
集合的运算(3)
一、复习回顾
1.交集：给定两个集合 A，B，由既属于集合 A 又属于集 合B 的元素组成的集合，叫做集合A与集合B 的交集．
记作 A ∩ B ，
读作 “ A 交 B ”．
A ∩ B =｛x|x∈A且x∈B｝
2.(1) A ∩ B =B∩ A ； (2) ( A ∩ B )∩ C =A ∩( B ∩ C )； (3) A ∩ A = A ； (4) A∩ = ∩A = .
如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素 组成的集合叫做集合A在全集U中的补集.
记作 ð , UA 读作 “A | x U且x A
3.补集的性质： 对于全集U和它的一个子集A，有
A (ð U A) U A (ð U A) 痧 U ( U A) A
五、学以致用
某职业学校共有90人同时参加计算机和英语考试.经考核， 计算机合格48人，英语合格52人，两科都合格38人，求两科 均不合格的人数.
六、课堂小结
同学们这节课你有哪些收获呢？ （1）全集的定义； （2）补集的定义； （3）补集的性质．
四、初显身手
例1.设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7 }，A＝{ 1，3，5}， B=｛2，4，7｝ 求ð 和ð . UB UA
例2.设全集U=R，A＝{ x|x≤5 }，B＝{x|x>3 }.
求ð 和ð UB . UA
练习1.设全集U＝{a，b，c，d，e，f }，A＝{ a，c，d}，B=｛ b，d，e｝ 求： 1 痧 U A, U B;
3.并集: 给定两个集合 A ，B ，把它们所有的元素合并在一起组成
的集合，叫做 集合A与集合B 的并集． 记作 A∪B , 读作 “ A 并 B ”．
A∪B =｛x|x∈A或x∈B｝
4.(1) A∪B=B∪A ；
(2) ( A∪B )∪C=A∪(B∪C )； (3) A∪A =A； (4) A∪ = ∪A =A．
二、探索· 发现
记本班的全体同学组成的集合为U，所有男同学组成的集合 为A，所有女同学组成的集合为B. (1)集合A，B与集合U有怎样的关系？ (2)集合A∪B与集合U有怎样的关系？
三、概念形成
1.全集的定义.
一般地，如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集
合U，那么这个集合U叫做全集． 2.补集的定义.