可降阶的高阶方程
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第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
上一页
下一页
三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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常微分方程可降阶的高阶微分方程学习教案
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20 第二十页，共36页。
4 、可降阶的高阶方程(fāngchéng)
例１、 追线问题(wèntí)
的应用举例
在 Ox
轴上有一点P以常速度a沿着
正向移动;在
平面上另有一点M,它以常
xoy
轴
Ox
速度v 运动，方向永远指向P点,求M点的运动轨迹.
解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分
y 1, x0
y
1
的特解是
x0 2
或
y x 1 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 x
可分离(fēnlí)变量方程
2 2 C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
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16 第十六页，共36页。
使该
xp( x) p( x) 0
可分离变量(biànliàng)方程
1
1
分离变量(biànliàng)并积分
dp pdx x来自得lnp
ln
x
ln C1
ln
C1 x
即p C1 , 即f ( x) C1 ,
再积分(j īfē n),得
x
x
f
( x)dx
C1 dx, x
f ( x) C1 ln x C2 即为所求.
若能求得其通解(tōngjiě)为:
y (t, c1, c2,cnk ) 即 x(k) (t, c1, c2 ,cnk )
对上式进行(jìnxíng)k 次积分,可求出方程的解.
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
常微分方程课件--可降阶的高阶方程
x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：
w dx c1 H 1 p2
dp
x ln( p 1 ( p) ) c1 （1.7.1８） 即 a H 式中 a ．把初始条件 y(0) 0 代入 w （1.7.1８）上式得：1 0 ，故（1.7.1８）变为 c
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
dx d n 1 x 方程,但乘以一个合适的因子 (t , x, , n 1 ) dt dt 后就成为全微分方程. 称其为方程(1.7.4)的积分
因子.
d 2 x dx 2 例 求解方程 x ( ) 0 2 dt dt
解：原方程可以写成 d ( xx ' ) 0 dt 故有 xx c
又由于
dS dy 2 1 ( ) dx dx
故
dW dy 2 w 1 ( ) dx dx d2y w dy 2 1 ( ) 2 dx H dx
从而方程（1.7.16）化为： （1.7.1７）
记 b 为绳索最低点Ｃ到坐标原点的距离， 则有： y(0) b, y(0) 0 （1.7.1７）是一个不显含自变量
原方程可以写成dtdtxxdt积分后得通解为故有dtdtdtdt可降阶的高阶方程的应用举例速度v运动方向永远指向p点求m点的运动例1追线问题平面上另有一点m它以常正向移动
4几种可降阶的高阶方程.ppt
方程不能用初等积分求解，例如方程
就不能用初等积分求
解．这说明初等积分法有相当的局限性． 但是，初等积分法至今不失其重要性，一直被认为是常微分方程中
非常有用的解题方法之一，也是初学者的基本训练之一．
例 1 求解方程
解令 通解为
则有
从而 积分四次，得到原方程的通解
2 第二种可降阶的高阶方程
方程
这类方程的特点是不显含自变量 x，这时，总可以利用代换 以二阶方程
，使方程降低一阶。
为例.令
，于是有
代入原方程，就有
这是一个关于未知函数 p 的一阶方程.如果由它可求得 。这是一个关于 x,y 的变量可分离方程，可求得通积分
，则有
例 2 求解方程
．
解令
,则
积分后得
代入原方程得 或
其中 a 为任意常数. 解出 p 得 或
或
积分后得
其中 b 为任意常数. 于是有
其中
为任意常数.
3 恰当导数方程
假如方程 对 x 的导数，即为
的左端恰为某一函数
则称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为
之后再设法求解这个方程.
例 3 求解方程
.
解 易知可将方程写成
故有
即
.
积分后即得通解
例 4 求解方程
.
解 先将两端同乘不为 0 的因子 ，则有
故
，从而通解为
４ 初等积分法的历史地位
自 1676 年微分方程的研究工作开始，其后 100 多年间是初等积分发 展的重要时期．1841 年法国数学家（Liouville）指出：绝大多数常微分
§2.4 几种可降阶的高阶方程
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
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14
m
d2 dt
y
2
k
mM y2
,
y l
R
o
由于 y = R 时
由原方程可得
因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为
t
yR
1 R
l( 2g
lR R2 l arccos
R) l
15
说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为
m
d2 dt
y
2
o
y t0 0 , y t0 0
18
作业
习 题 四 （P227）
1（1）（3）（5）（7）； 2（1d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
3
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
t=0时
随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减
小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 且
初初速度为0, 求质点的运动规律.
解: 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F F0 (1
t T
)
对方程两边积分, 得
o Tt
4
dx dt
F0 m
(
t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
分离变量后积分, 得原方程的通解
8
例4. 求解 解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
9
例5.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
10
例6.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面
积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
满足的方程 .
( 99 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
S1
1 2
y
2cot
S2
x
0 y(t) d
R
令 v dy，解方程可得
l
dt
y
问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .
16
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
17
思考与练习
1. 方程
如何代换求解 ?
答: 令
或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如,
2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
t
S2 y
S1
1
P y
ox x
11
利用
两边对 x 求导, 得 定解条件为
得
y2 y
x
0 y(t) d t 1
y y ( y)2
y(0) 1, y(0) 1
令 y p ( y),
方程化为
ypdp p2 dy
dp dy py
S2 y
S1
1
P y
ox x
解得 p C1y, 利用定解条件得 C1 1 , 再解 y y, 得 y C2 ex , 再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
7
三、y f ( y, y) 型的微分方程
令 y p ( y), 则 y d p d p dy dx dy dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) dt m 2T
两边再积分得
x
F0 m
(t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
5
二、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
4.3 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、
型的微分方程 型的微分方程
型的微分方程
1
一、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
y
2
dv dt
o
代入方程得
积分得
13
利用v
t0
y
t0
0,
y
t 0
l,
得 C1
2kM l
v2 2kM 1 1 , y l
v dy, dt l
y dy
dt
2k M l y
注意“－”号
两端积分得
l y y2 l arccos y l
利用y t0 l, 得C2 0, 因此有
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
6
(1 x2 )y 2xy
例3. 求解
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
12
例7. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力).
解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:
y
m
d2 y dt2
k
mM y2
M : 地球质量 m : 物体质量
l R
y t0 l, y t0 0
设
v
dy dt
,
则
d2 dt