常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
常微分第四章
c e2 t 2
cnen
t
;
(2)有复根 i，则 i 也一定是特征根(复
根成对出现)，它们相应方程(4.19)旳两个实值解
et cos t, et sin t .
2 特征根有重根旳情形. 设 1 是特征方程(4.20)的k1重根，则它对应(4.19)的k1
个线性无关旳解
e1 , t te1 , t t 2e1 t ,, t k11e ; 1 t
1 2
t
2
.
代入通解形式，得原方程通解
x
1
2t 2
1 t 3. 3
§4.2 线性微分方程旳解法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识 4.2.2 常系数线性方程旳解法 4.2.3 求变系数齐线性方程特解旳幂级数法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识
1. 实变量复值指数函数旳定义：
e(i )t e t (cos t i sin t) ,
n
x i xi (t) xi (t) i (t)dt.
i 1
i 1
求方程x x 1 的通解，已知它对应的齐线性方
例1
cos t 程旳基本解组是cost , sint.
解 用常数变易法. 令通解形式
x c1(t) cost c2 (t)sin t.
作c1(t), c2 (t)的线性方程组
tt0
z(t)
z(t0
)
;
导数定义：
要存在
z(t0
)
dz(t0 dt
)
lim
tt0
z(t) t
z(t0 t0
)
d t0
dt
i
d t0
dt
;
3. 导数旳四则运算：
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
考研数学之高等数学讲义第四章(考点知识点+概念定理总结)
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
高数常微分方程 高阶微分方程讲解
15
定义：设 y1 , y2 ,? , yn 为定义在区间I 内的n
个函数．如果存在n 个不全为零的常数，使得 当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 ? k 2 y2 ? ? ? k n yn ? 0，
那么称这n 个函数在区间I 内线性相关．否则
P(x)的一阶方程
F ( x , P( x ), P?( x )) ? 0. 求得 P( x ),
解 y(n?1) ? P( x) ,
可得通解 .
2
例 2 求方程 xy (5) ? y(4) ? 0 的通解.
解 设 y(4) ? P( x ), y (5) ? P?( x )
代入原方程 xP?? P ? 0, （P ? 0）
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解 .
例 4 求方程 yy??? y?2 ? 0 的通解.
解
两端同乘不为零因子
1 y2
,
yy??? y?2 d y?
y2
? ( ) ? 0, dx y
故 y?? C1 y,
从而通解为 y ? C2eC1x .
10
另解 原方程变为 y??? y?, y? y
两边积分 ,得 ln y?? ln y ? ln C1， 即 y?? C1 y， 原方程通解为 y ? C2eC1x .
第三节 可降阶的高阶微分方程
一 y(n) ? f (x)
特点： 左端只含有 n 阶导数，右端只含有自变量
解法： 将 y(n) ? f ( x ) 连续积分 n 次, 可得通解.
例 1 y???? x
解
? y???
xdx
?
《高阶微分方程》PPT课件
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
常微分方程--第四章 高阶微分方程(4.1节)
上线性无关的充分必要条件是朗斯基行列式
W [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )]
在这个区间的任何点上都不等于零。
说明：
1. n阶齐次线性微分方程(4.2)的n个解构成的 朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零；
2. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒为零与
这n个解线性相关等价；
3. 在是解的情况下，朗斯基行列式恒不为零
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数。且它包含了方程 （4.2）的所有解。
推论:
方程（4.2）的线性无关解的最大个数是n;且n阶齐次线性微分方程的所有 解构成一个n维线性空间。 方程（4.2）的n个线性无关解称为方程的一个基本解组。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
性质1 如果 x (t ) 是方程(4.1)的解，而 x(t )
问题：如何应用朗斯基行列式判定函数相关性？
如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 是齐次线性微分方程 （4.2）的解，则有下述定理
定理4：如果 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )是齐次线性微 分方程（4.2）的n个解，则它们在区间 a t b
n
n
1 例1 求方程x x cos t 的通解。已知它的对应的齐次 线性微分方程的基本解组为 cos t ,sin t.
(t ) cos t c2 (t )sin t 0 代入方程可得 c1
解 应用常数变易法，令 x c (t )cos t c (t )sin t 1 2
也是方程（4.2）的解，这里c1 , c2 ,, ck为任意常数。 特别地，当 k n 时，即方程（4.2）有解
x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
(整理)常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
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第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。
特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4）它含有n 个任意常数。
在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。
设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当120k c c c ==== 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。
由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组n y y y ,,21中如果有一个函数为零，则n y y y ,,21在),(b a 上线性相关.2)如果两个函数21,y y 之比21y y 在),(b a 有定义，则它们在),(b a 上线性无关等价于比式21y y 在),(b a 上不恒等于常数. 例1函数组x x e y e y -==,1在任意区间上都是线性无关的.解 比式21y y =x x xe ee 2=-不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组1,cos ,sin 32221===y x y x y 在区间),(+∞-∞上线性相关. 解 若取1,1,1321-===c c c 则01)1(cos 1sin 122=-+⋅+⋅x x 故已知函数组在),(+∞-∞上线性相关.设函数12(),(),,()k x t x t x t 在区间a t b ≤≤上均有1k -阶导数,行列式[]12(),(),,()()k W x t x t x t W t ≡ 12'''12(1)(1)(1)12()()()()()()()()()k k k k k k x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---≡称为这些函数的伏朗斯基行列式。
定理3 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡。
证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数12,,,n c c c ，使得1122()()()0,n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤ （4.6） 依次对t 微分此恒等式，得到'''1122''''''1122(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++≡⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ （4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是[]12(),(),,()n W x t x t x t ，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()0W t = ()a t b ≤≤。
反之，其逆定理一般不成立。
例如函数21 10()0 0 1 t t x t t ⎧-≤<=⎨≤≤⎩和 120 10() 0 1 t x t t t -≤<⎧=⎨≤≤⎩在区间11t -≤≤上，12[(),()]0W x t x t ≡，但在此区间上却是线性无关的。
因为，假设存在恒等式1122()()0 11c x t c x t t +≡-≤≤ （4.8）则当10t -≤<时，可知10c =；当01t ≤≤时，可知20c =.即当且仅当120c c ==时，(4.8)式对一切11t -≤≤成立.故12(),()x t x t 是线性无关的.推论1 如果函数组12(),(),,()n x t x t x t 的朗斯基行列式()W t 在区间[,]a b 上某一点0x 处不等于零，即0)(0≠x W ，则该函数组在[,]a b 上线性无关.但是，如果12(),(),,()n x t x t x t 是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性无关，则[]12(),(),,()n W x t x t x t 在这个区间的任何点上都不等于零，即()0W t ≠ ()a t b ≤≤。
证明：采用反证法。
设有某个0t ，0a t b ≤≤，使得0()0W t =。
考虑关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（4.9）其系数行列式0()0W t =，故（4.9）有非零解12,,,n c c c 。
现以这组常数构造函数1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++ a t b ≤≤根据叠加原理，()x t 是方程（4.2）的解。
注意到（4.9），知道这个解()x t 满足初始条件'(1)000()()()0n x t x t x t -==== （4.10）但是0x =显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。
由解的唯一性，即知()0x t ≡ ()a t b ≤≤，即1122()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤因为12,,,n c c c 不全为0，这就与12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的假设矛盾，定理得证。
推论2 设12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）定义在[,]a b 上的n 个解，如果存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≡x W , 则该解组在[,]a b 上线性相关.推论3 方程（4.2）的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 在其定义区间[,]a b 上线性无关的充要条件是，存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≠x W . 定理5 n 阶齐线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解。
定理6（通解结构定理） 如果12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.11） 其中，12,,,n c c c 是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。
证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有n 个任意常数。
这些常数是彼此独立的。
事实上，[]12'1212(1)(1)(1)12(),(),()0n n n n n n nx x x c c c x x x c c c W x t x t x t x x x c c c ---∂∂∂∂∂∂''∂∂∂∂∂∂≡≠∂∂∂∂∂∂()a t b ≤≤因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。