常微分方程第4章标准答案
常微分方程四、五章作业答案 (1)
《常微分方程》第四、五章作业答案第四章1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解则：()()()()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--Λ （3）()()()()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得：()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。
2．（1）特征方程为：42540λλ-+=特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-=特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++=特征根为：1,213i λ=-±通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+（4）原方程对应的齐线性方程的通解为：123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++下求原方程的特解.设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===原方程特解为：2()1x t x =+通解为：2123456()()cos ()sin 1t t x t c e c e c c t t c c t t x -=+++++++（5）原方程对应的齐线性方程的通解为：2123*()()ttx t c e c c e -=++ 下求原方程的特解.设原方程的特解为：()t x t Ate =代入方程有：(3)131,3t t tA t e Ate e A A +-≡==原方程特解为：1()3t x t te =通解为：21231()()3ttt x t c e c c e te -=+++ （6）解：通解为：121x c t c t=+第五章1．解：矩阵A 的特征多项式为230λ-=特征值为12λλ==对应的特征向量分别为11,22⎛⎫⎛⎫+-⎝⎝故通解为121122x c c e ⎛⎫⎛⎫=+ +⎝⎝ 2．解：解： det(A E -λ)=05434212=--=----λλλλ所以，5,121=-=λλ设11-=λ对应的特征向量为1v由0110442211≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫⎝⎛----ααv v 可得取⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211121v v 同理取所以，)(t Φ=[]=-251v e v ett⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t t e e e e 552 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ΦΦ=----------t t t t t t tt t t t tt tttAt e e ee e e e e e e e e e e e et e 5555551551222231111223121112)0()(。
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】
由上式与曲线族可消去 a、b 得
9．求与方程为
曲线族满足的微分方程为
解之得
所以与曲线族
正交的
这就是所求曲线族方程．
10．求二次曲线族
（c 是参数）的微分方程，并以微分方程本身证明这
曲线族是自正交曲线族，即这曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必正交．
图 1-1 （2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图 1-4 所示
图 1-2 （3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图 1-3 所示
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（4）所求的方向场及过点
图 1-3 的积分曲线如图 1-4 所示
解：对曲线
，两端关于 t 求导得
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消去 c 得
这就是所要求的方程． 若这曲线族中任何两条曲线相交于（t，x）处，由方程本身知道：该方程是关于 的
二次方程，且关于 的二根积等于－1，这说明了在（t，x）处，两切线斜率乘积等于－1， 因而这两曲线正交．
2．求下列两个微分方程的公共解：
解：两方程的公共解满足条件 即
所以
或
代入检验可知
不符合．所以两方程的公共解为
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3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图 1-1 所示
应满足什么条件？
的等倾线
常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
0 q3
2
3
y
2．用参数法求解下列微分方程：
y
y
y)
y
dq dy
3 2
x
ln x 2x
p
1)
0.
2xp
)]2
y
dy dx
2 cos y( sin y) 2q2
cos y sin y q2
cos2 q3
sin
cos2 q3
y
dq
( dy
y)
q tan
2
3
cos3 y sin y
y
x C
22t2 t 2t 1
C
dt
25
5
2
cos t,
2 cos[ 2 (x C)] 5
2t1
C
2
2
dv v
p
2 sin tdt
2 5 sin t
5
2t 1 22t2 t
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(整理)常微分方程第四章
3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i 都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n的方程（其中),,2,1(n i p i 均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果0)( x f ，即01)1(1)( y p y p y p y n n n n称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)( x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程0 py y这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解px e x y )(.因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y )(. 对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如x e x y )(的解，其中 是待定常数.为了确定 ，可以将x e x y )(代入方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n .这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y),,2,1(,)(n i e y x i i代入方程得：0)(111 x n n n n e p p p因为0 x e ，所以有0111 n n n n p p p该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.x e x y )(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当 是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解. 1、特征根互异首先，假设特征方程有n 个互异的实根n ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121因为n ,,,21 两两互异，所以x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为x n x x n e C e C e C x y 2121)(.其中n C C C ,,,21 是任意常数. 例1 求方程023 y y的通解.解 特征方程为0232即0)2)(1(从而，特征根为2,121基本解组为x x e x y e x y 221)(,)(因此方程的通解为x x e C e C x y 221)(其中21,C C 是任意常数. 例2 求方程045 y y y的通解及满足初始条件：4)0(,1)0( y y 的特解. 解 特征方程为0452即0)4)(1(从而，特征根为4,121基本解组为x x e x y e x y 421)(,)(因此方程的通解为x x e C e C x y 421)(其中21,C C 是任意常数.下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入x x e C e C x y 421)( x x e C e C x y 4214)(得4412121C C C C 所以1,021 C C ，因此所求的特解为x e x y 4)( .其次，互异的特征根中含有复根，即n ,,,21 中有复数，不妨设bi a k （b a ,为实数）.这时，bi a k 所对应的解为x k e x y )(.由于bi a k 为复数，x k e 应该如何定义呢？定义之后x k e x y )(的求导与k 为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题. 给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如)sin (cos i r bi a z其中a bb a r arctan ,22 .同时，复数也可以写成指数形式，即i r i r i e e e re bi a z ln ln所以有)sin (cos )sin (cos ln ln i r i e e r i r于是有)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k .有了定义之后，我们来研究k 为复数与k 为实数时的求导计算是否相同.性质1.无论 是实数还是复数，总有x x e e )(.证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设bi a ，b a ,为实数.因为)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x所以)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e ))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [.由性质1，可得：无论 是实数还是复数，总有x n n x e e )()(.性质2.无论 是实数还是复数，对任意实数k ，总有x k k x k e x kx e x )()(1 .证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设bi a ，b a ,为实数.这时)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k所以)sin ()cos ()( bx e x i bx e x e x ax k ax k x k)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k ])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k ))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax kx k k e x kx )(1 .有了上述定义和性质，bi a k 所对应的解为)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化.定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数)()()(x iv x u x y是常系数线性齐次微分方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解. 定理3.11设复值函数)()()(x iv x u x y是常系数线性齐次微分方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y 是常系数线性齐次微分方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的解，所以有0))()(())()(())()(())()((1)1(1)( x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n即))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()( x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即)())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n 0)]( x v p n所以0)()())(())((1)1(1)( x u p x u p x u p x u n n n n 0)()())(())((1)1(1)( x v p x v p x v p x v n n n n即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k ，则该复数根对应一个复解)sin (cos bx i bx e y ax而该复解的实部函数bx e x u ax cos )( 和虚部函数bx e x v ax sin )( 都是齐次方程的解，即，该复根bi a k 对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决： （1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？ （2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？ 因为方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的系数),,2,1(n i p i 全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a 是特征根，则bi a 也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a 所对应的复解为)sin (cos bx i bx e y ax这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k 的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a 对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a 所对应的两个复解)sin (cos )(1bx i bx e x y ax 和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax来表示，即)]()([21)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax)]()([21)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y i bx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.定理3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，21,k k 是两个非零常数，则函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n在区间),(b a 上仍是线性无关的.证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n 的线性组合等于零.即0)()())()(())()((3321222111 x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n即0)()()()()()(332221112211 x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以0,0,0322112211 n C C k C k C k C k C因为21,k k 不为零，由0,022112211 k C k C k C k C 可得：021 C C所以0321 n C C C C因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n 在区间),(b a 上仍是线性无关的.解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程044 y y y y的通解.解 特征方程为04423即0)4)(1(2从而，特征根为i 2,13,21基本解组为x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321因此方程的通解为x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321其中321,,C C C 是任意常数. 例4求方程05262)4( y y y y y的通解.解 特征方程为05262234即0)52)(1(22从而，特征根为i i 21,4,32,1基本解组为x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321因此方程的通解为x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321其中4321,,,C C C C 是任意常数. 2、特征根有重根设1 是)1(n k k 重特征根（1 为实数或复数），则1 对应着齐次方程的一个解x e x y 1)(1 .但是，1 是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.这时得到的线性无关解的个数会少于n 个，构不成基本解组.所以k 重特征根1 应该对应k 个线性无关的解，那除了x e x y 1)(1 外还应补上1 k 个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为0 qy y p y其中q p 42 . 特征方程为02 q p特征根为22,1p则得到二阶齐次方程的一个非零解x p ex y 21)( .利用刘维尔公式可求得与x p ex y 21)( 线性无关的另一个解)(2x y ，x p px pxx p pdx xe dx ee e dx x y e x y x y 222112)()()(即，当21p是二重特征根时，除了对应解x pe x y 21)( 之外，还对应另外一个与x p e x y 21)( 线性无关的解x p xex y 22)( .与二阶方程类似，我们猜想，当1 是k 重特征根时，对应的k 个线性无关的解为x k k x x e x x y xe x y e x y 111121)(,,)(,)(下面来证明这个猜想，即证明),,2,1()(11k i e x x y x i i 是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的解.首先，特征方程为0111 n n n n p p p记n n n n p p p P 111)( ，因为1 是k 重特征根，所以0)()()(1)1(11 k P P P 且0)(1)( k P下面求),,2,1()(11k i e x x y x i i 的各阶导数，由牛顿—莱布尼兹公式得：x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(111212111111)( x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(11111312112111111)1( ………………………………………………………………………………………………………x i i i e x x x y 1])([))((111代入i n i n n i n i y p y p y p y 1)1(1)( 得x i i i i i i e x P x P x P x P 1]))(())(())(()([)1(11)1(111111因为k i ,,2,1 ，所以0)()()(1)1(11 i P P P因此01)1(1)( i n i n n i n i y p y p y p y故),,2,1()(11k i e x x y x i i 是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n的解.以上只讨论了1 是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程01)1(1)( y p y p y p y n n n n有两两互异的特征根t ,,,21 ，它们的重数分别为1,,,,21 i t m m m m ，且n m m m t 21，则齐次方程的基本解组为xm m x x e x x y xe x y e x y 11111121)(,,)(,)(x m m m x m x m e x x y xe x y e x y 22212121121)(,,)(,)( ……………………………………………………………x m n x m n x m n t t t t t t e x x y xe x y e x y 121)(,,)(,)( .证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即][11111121x m m x x e x C xe C e C ][22212121121x m m m x m x m e x C xe C e C 0][121 x m n x m n x m n t t t t t t e x C xe C e C . 整理可得：x m m e x C x C C 111][121 x m m m m m e x C x C C 222111][121 0][121 x m n m n m n t t t t e x C x C C . 即x m e x P 11)( x m e x P 22)( 0)( x m t t e x P .假设n C C C ,,,21 至少有一个不为零，则)(,),(),(21x P x P x P t m m m 中至少有一个不是零多项式，不妨假定)(x P t m 不恒为零.而)1,,2,1)(( t i x P i m 至多为1 i m 次多项式，在x m e x P 11)( x m e x P 22)( 0)( x m t t e x P .两边同时乘以x e 1 得)(1x P m x m e x P )(122)( 0)()(1 x m t t e x P .对上式关于x 求1m 次导数，这时有0))(()(11 m m x Px m m x m e x P e x P )()1()()(1221122)())(( ………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()1()()(111)())(( （其中)()1(x P im 是与)(x P i m 同次数的多项式),,2(t i ） 所以，上式化为0)()()()1()()1(1122 x m x m t te x P e x P 再在两边同时乘以x e )(21 得0)()()()1()1(22 x m m t te x P x P 对上式关于x 求2m 次导数，这时有0))(()(22 m m x P………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()2()()()1(222)())(( 所以上式化为0)(0)()2(2 x m t te x P 序行此法，最后可得0)()()1(1 x t m t t te x P 而0)(1 x t t e ，所以0)()1( x P t m t，故0)( x P t m ，这与)(x P t m 不恒为零矛盾.因此假设不成立，即n C C C ,,,21 全为零.所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组.由定理3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为][)(11111121x m m x x e x C xe C e C x y x m x m xe C e C 212121[ ][]12112221x m n x m n x m n x m m m t t t t t t e x C xe C e C e x C .如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如bi a 1 是1m 重的特征根，则与其共轭的复数bi a 2 也是1m 重的特征根，这一对共轭的特征根会对应12m 个复解;,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e.,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e将这12m 个复解实数化，得到12m 个实解;cos ,,cos ,cos 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax .sin ,,sin ,sin 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax由定理3.12知，替换后的函数组仍是基本解组.对于其它复数根，也可以采用同样的处理方法，最后就可以得到方程的n 个线性无关的实解. 例5 求方程096 y y y的通解.解 特征方程为0962即0)3(2从而，特征根为32,1基本解组为x x xe x y e x y 3231)(,)(因此方程的通解为x x xe C e C x y 3231)(其中21,C C 是任意常数. 例6 求方程0412136)4()5( y y y y y的通解.解 特征方程为0412*******即0)2()1(22从而，特征根为2,1,05,43,21基本解组为x x x x xe x y e x y xe x y e x y x y 2524321)(,)(,)(,)(,1)(因此方程的通解为x x x x xe C e C xe C e C C x y 2524321)(其中54321,,,,C C C C C 是任意常数. 例7 求方程08126 y y y y的通解.解 特征方程为0812623即0)2(3从而，特征根为23,2,1基本解组为x x x e x x y xe x y e x y 2232221)(,)(,)(因此方程的通解为)()(23212x C x C C e x y x其中321,,C C C 是任意常数. 例8 求方程04454)4( y y y y y的通解.解 特征方程为04454234即0)1()2(22从而，特征根为i 4,32,1,2基本解组为x x y x x y xe x y e x y x x sin )(,cos )(,)(,)(432221因此方程的通解为x C x C x C C e x y x sin cos )()(43212其中4321,,,C C C C 是任意常数.例9 求方程0168)4( y y的通解.解 特征方程为016824即0)4(22从而，特征根为i i 2,24,32,1基本解组为x x x y x x y x x x y x x y 2sin )(,2sin )(,2cos )(,2cos )(4321因此方程的通解为x x C x C x x C x C x y 2sin 2sin 2cos 2cos )(4321其中4321,,,C C C C 是任意常数.。
常微分方程第四、第五章部分习题参考答案
常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。
第四章常微分方程参考答案(1)
爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案：应选（C ）解析：原方程写成23e 0+'+=yxyy ，分离变量有23e d =e d y x y y x --，积分得232e 3e --=x y C ，其中C 为任意常数.4.2答案：应填sin e=C xy ，其中C 为任意常数.解析：原方程分离变量，有d cos d ln sin =y xx y y x，积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ，通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ，其中C 为任意常数.4.3答案：应填()2112e-=x y x 解析：原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-，即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为：()2112e-=x y x .4.4答案：应选（B ）解析：原方程求导得()2()'=f x f x ，即()2()'=f x f x ，积分得2()e =x f x C ，又(0)ln 2=f ，故ln 2=C ，从而2()e ln 2=x f x .故应选（B ）.4.5解：曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ，令0=X ，得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ，即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程，于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ，两边积分有1ln ||ln =-y C x x ，得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=，故1=C ，于是曲线方程为e =xx y .4.6解：22d d 11+y y y x x x x =∆=+，得2d d 1=+y y x x ，变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π，则C =π.所以arctan πexy =，()πarctan141πeπe y ==.4.7解：令=yu x，即=y ux ，则y u x u ''=+，又由题给表达式可得2y u u '=，即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ，两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+，即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案：应填2(ln ||)=+x y y C 解析：将x 看成未知函数，原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程，令2=z x ，有d 1d -=z z y y ，得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为：2(ln ||)=+x y y C ，其中C 为任意常数.4.9答案：应填()cos +x C x解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为：()cos +x C x ，其中C 为任意常数.4.10答案：应填1爱启航在线考研解析：()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时，1=-y ，则0=C .可得21=-y x ，则()11=y .故答案为1.4.11答案：应填1解析：由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程，故应有()()()β+=a Q x Q x ，即1αβ+=.故答案为1.4.12解：()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =，故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解：2d 1d 2y x x y =-，则2d 2d x x y y =-，即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解：令=tx u ，则u t x d d =，则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰，可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++，则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解：将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-，并令1z y =，则21z y y ''=-，且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰，其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰，故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-，即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案：应选（C ）解析：因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数（可求出通解为3126++x C C x ）；特解中不含有任意常数（3*6=x y 为特解）；36+x Cx 满足原方程，为原方程的解，故选项（A ），（B ），（C ）都不对，应选（C ）.4.17解：（1）令y p '=，则d d p y x ''=，从而2d 1d pp x=+，则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+，故()1d tan d yp x C x=+=，则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰，得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.（2）()10xy xy C '''=⇒=，即1y xC '=，故12ln y C x C =+.4.18解：由21e x y =，得212e x y x '=，()22124e x y x ''=+；由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数，故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案：应选（A ）解析：根据高阶线性微分方程根的形式可知，选（A ）.4.20答案：应选（B ）解析：由题意可知，-1是特征方程二重特征根，1是特征方程的特征根，故特征方程为()()2110+-=r r ，即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选（B ）.4.21答案：应选（C ）解析：：特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ，解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=，i 1i w ±=-±λ是特征根，故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案：应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析：特征方程为220-=r r ，特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ，10λ=是特征根，所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =，22λ=也是特征根，故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解：所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ，特征根为12=-r ,23=-r .于是，对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程，可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而，所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++，其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案：应选（C ）解析：将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=，得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案：应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析：所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ，从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +，设特解为e x A ，代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=，即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。
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习 题 4—11．求解下列微分方程1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =解 利用微分法得 0)1)(2(=++dx dp p x 当 10dp dx+=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解22242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩或消参数P ，得通解 )2(2122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -=2）2()y pxlnx xp =+； ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭当0=+p dxdp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：2()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4y lnx =- 3）()21p p x y ++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法，得x dx p p p -=+++2211 两边积分得 ()c x P P P =+++2211由此得原方程以P 为参数形式的通解：21(p p x y ++= ，().11222c x p p p =+++或消去P 得通解222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程1）45222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为 221542=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y令y t =dy t dx = 由此可推出11)22cos dx dy d t t t ===从而得 c t x +=25因此方程的通解为x c =+，y t = 消去参数t ，得通解)y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ，0=dxdy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。
2）223()1dy x dx-= 解：令u x csc =，u dx dy cot 31-= 又令tan 2u t = 则t t u x 21sin 12+==du u u u dy 322sin cos 31cot 31== dt t t t t t 22222123121131+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= dt tt t )12(3413+-=积分得，2211(2ln )22y t t c t =--+2214ln )t t C t =--+ 由此得微分方程的通解为t t x 212+=，2214ln )y t t c t =--+ 3）dxdy dx dy x 4)(33=+ 解：令xt dx dy = 则t x t x x 23334=+ 解得 314t t x += 又 333223332)1()21(16)1()21(414t t t t t t t dt dx dx dy dt dy +-=+-•+=•=du u u t u dt t t 333333)1(21316)1()621(316+-=+-= 2331(332)1(16u du u du +-+= 228321(1)31y C u u∴=-++++3238321(1)31C t t∴=-++++ 由此得微分方程的通解为314t t x +=， 3238321(1)31y C t t =-++++。
习题4—21．得用P —判别式求下列方程的奇解：2）2)(dxdy x y dx dy+= 解：方程的P —判别式为2,20y xp p x p =++=消去p ，得42xy -= 经验证可知42xy -=是方程的解。
令2),,(p xp y p y x F --=则有2'(,,)142yx x F x --=，2"(,,)242pp x x F x --=- 和2'(,,)042px x F x --= 因此，由定理4.2可知，241x y -= 是方程的奇解。
2）2)(2dxdy dx dy x y += 解：方程的P —判别式为22p xp y +=，0=+p x消去P ，得 2x y -=，而2x y -=不是方程的解，故2x y -=不是方程的奇解。
3）y qdx dy y 4)()1(22=- 解：方程的P —判别式为94)1(22=-p y ，0)1(22=-p y 消去P ，得0=y ，显然0=y 是方程的解，令y p y p y x F 94)1(),,(22--=则有 '4(,0,0)9y F x =- "(,0,0)2pp F x = 和'(,0,0)0p F x =因此，由定理4.2知，0=y 是方程的奇解。
2．举例说明，在定理4.2的条件''(,(),())0y F x x x x x ≠"'(,(),())0pp F x x x x x ≠中的两个不等式是缺一不可的， 解：考虑方程0)(22=-y dxdy 方程（1）的P —判别式为022=-y p 02=p 消去P ，得0)(==x x y令22),,(y p p y x F -=，于是有'(,,)2p F x y p y =- '(,,)2p F x y p p =- "(,,)2pp F x y p =因此虽然有 "(,,)20pp F x y p =≠和'(,0,0)0p F x =但是'(,0,0)0y F x =又0=y 虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为x y xe ±=因此容易验证0=y 却不是奇解。
因此由此例可看出。
定理 4.2中的条件''((),())0y F x x x x ≠是不可缺少的。
又考虑方程 y dxdy y =)sin( 方程（2）的P —判别式为 y yp =)sin( ()0ycos yp =消去P ，得0=y 。
令y yp p y x F -=)sin(),,(于是有'(,,)()1y F x y p pcos yp =-，'(,,)()p F x y p ycos yp = "2(,,)sin()pp F x y p y yp = 因此，虽然有'(,0,0)10y F x =-≠和'(,0,0)0p F x =但"(,0,0)0pp F x =，而经检验知0=y 是方程（2）的解，但不是奇解。
因此由此例可看出定理4.2中的条件"'(,(),())0pp F x x x x x ≠是不可缺少的。
3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件''(,(),())0p F x x x x x =是不可缺少的''312()3y x y y =+- 解：方程的P —判别式为3312p p x y -+= 012=-p 消去P ，得 322±=x y 检验知 322+=x y 不是解，故不是奇解，而322-=x y 虽然是解，但不是奇解。
令3312),,(p p x y p y x F +--= '(,,)1y F x y p =， '2(,,)1p F x y p p =-+"(,,)2pp F x y p p =， 所以虽有'2(,2,2)103y F x x ±=≠ "2(,2,2)403pp F x x ±=≠ 但是'2(,2,2)303p F x x ±=≠ 因此此例说明定理4.2的条件''(,(),()0p F x x x x x =是不可缺少的。
习题4——31．试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程 )(p f xp y += )(dx dy p =（1） 其中"()0f p ≠。
对方程（1）求导值0))('(=+dx dp p f x 由0=dxdp 即c p =时 代入（1）得（1）的通解 )(c f cx y += （2）它的C —判别式为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++=0)(')(c f x c f cx y 由此得 :'())()x f c c ϕΛ=-=， '()()()y cf c f c c ψ=-+=令 (,,)()V x y c cx f c y =+- 故'((),(),)x V c c c c ϕψ= '((),(),)1y v c c c ϕψ=-所以''(,)(0,0)x y V V ≠ 又('(),'())("(),"())(0,0)c c f c cf c ϕψ=--≠ （由于0)("≠c f ）因此Λ满足定理4.5相应的非蜕化性条件。
故Λ是积分曲线族（2）的一支包络。
课外补充1．求下列给定曲线族的包络。
1）4)()(22=-+-c y c x解：由相应的C —判别式22(,,)()()40V x y c x c y c =-+--=(,,)2()2()0c V x y c x c y c =----=消去C 得C —判别曲线 8)(2=-y x它的两支曲线的参数表示式为1Λ： c x +-=2 ，c y +=22Λ：c x +=2 ，c y +-=2对1Λ，我们有('(),'())(1,1)(0,0)c c ϕψ=≠'((),(),)2()x V c c c c c ϕψ=-=-'((),(),))y V c c c c c ϕψ=-=∴''(((),(),),((),(),))(0,0)x y V c c c v V c c c ϕψϕψ≠因此1Λ满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2Λ也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1Λ，2Λ是曲线族的两支包络线。
2．c y c x 4)(22=+-解：由相应的C —判别式22(,,)()40V x y c x c y c =-+-=(,,)2()40c V x y c x c =---=消去C 得C —判别曲线 )1(42+=x y 它的两支曲线的参数表示式为1:2x c Λ=-+ ，12-=c y2:2x c Λ=-+ ，12--=c y对1Λ，我们有('(),'())(0,0)c c ϕψ=≠''(((),(),),((),(),))((0.0)x y V c c c v V c c c ϕψϕψ=-≠因此1Λ满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2Λ也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1Λ，2Λ是曲线族的两支包络线。