常微分方程第4章习题答案
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
王高雄《常微分方程》(第版)【章节题库】第1章~第4章【圣才出品】
由上式与曲线族可消去 a、b 得
9．求与方程为
曲线族满足的微分方程为
解之得
所以与曲线族
正交的
这就是所求曲线族方程．
10．求二次曲线族
（c 是参数）的微分方程，并以微分方程本身证明这
曲线族是自正交曲线族，即这曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必正交．
图 1-1 （2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图 1-4 所示
图 1-2 （3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图 1-3 所示
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（4）所求的方向场及过点
图 1-3 的积分曲线如图 1-4 所示
解：对曲线
，两端关于 t 求导得
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消去 c 得
这就是所要求的方程． 若这曲线族中任何两条曲线相交于（t，x）处，由方程本身知道：该方程是关于 的
二次方程，且关于 的二根积等于－1，这说明了在（t，x）处，两切线斜率乘积等于－1， 因而这两曲线正交．
2．求下列两个微分方程的公共解：
解：两方程的公共解满足条件 即
所以
或
代入检验可知
不符合．所以两方程的公共解为
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3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图 1-1 所示
应满足什么条件？
的等倾线
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
高数第4章第5节——二阶常系数线性微分方程
例3 已知 y = x 及 y = sinx 为某二阶齐次线性 微分 方程的解 , 求该方程 .
解
例4
解
(1)
由题设可得：
2 2
p( x)2x
0, 1
x3
p( x)( ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
线性相关
存在不全为 0 的
使
线性无关
常数
思考:
中有一个恒为 0, 则 必线性 相关
例如 y y 0, 有解 y1 cos x, y2 sin x,
复习: 一阶线性方程 通解:
齐次方程通解Y 非齐次方程特解
2.二阶非齐次线性微分方程解的结构
定理 4.5.3
是二阶非齐次方程 ①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 ②
的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.
二阶常系数齐次线性方程解法
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
特征根
(1) 特征方程有两个不相等的实根
特征根为r1 p
6Ax 2B x,
A 1,B0, 6
原方程通解为
例13
解 对应齐次方程为 特征方程为 r 2 2r 1 0,
特征根为 r1 r2 1, 故对应齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x)e x . 1 是特征方程二重根, 可设 y x2( Ax B)e x ,
代入原方程, 得 6Ax 2B x 1, A 1 , B 1 ,
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案形考任务6常微分方程学习活动6第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。
一、填空题1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间 不能 与x 轴相交．2．方程组n x x xR Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于n + 1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于零 ．6．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 21的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-=． 7．二阶方程02=+'+''y x y x y 的等价方程组是⎪⎩⎪⎨⎧--='='y x xy y y y 2111． 8．若)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点．9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ．10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为N 个．11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上可以与x 轴横截相交．12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是e ,e x x x --．13．线性方程0y y ''+=的基本解组是 cos ,sin x x ．14．方程02=+'+''y x y x y 的所有解构成一个 2 维线性空间．15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．二、计算题1．将下列方程式化为一阶方程组（1）0)()(=++x g x x f x &&&（2）0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y。
常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
0 q3
2
3
y
2．用参数法求解下列微分方程：
y
y
y)
y
dq dy
3 2
x
ln x 2x
p
1)
0.
2xp
)]2
y
dy dx
2 cos y( sin y) 2q2
cos y sin y q2
cos2 q3
sin
cos2 q3
y
dq
( dy
y)
q tan
2
3
cos3 y sin y
y
x C
22t2 t 2t 1
C
dt
25
5
2
cos t,
2 cos[ 2 (x C)] 5
2t1
C
2
2
dv v
p
2 sin tdt
2 5 sin t
5
2t 1 22t2 t
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程第四、第五章部分习题参考答案
常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。
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习 题 4—1
1．求解下列微分方程
1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =
解 利用微分法得 0)1)(
2(=++dx dp p x
解 利用微分法，得
x dx p p p -
=+++22
11 两边积分得 ()
c x P P P =+++2211
由此得原方程以P 为参数形式的通解：
21(p p x y ++= ，()
.11222c x p p p =+++
或消去P 得通解
222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程
解：令u x csc =，
u dx dy cot 31-= 又令tan 2
u t = 则t t u x 21sin 12+==
du u u u dy 322
sin cos 31cot 31== dt t t t t t 22222
12312113
1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
23
31(332)1(16u du u du +-+= 228321(1)31y C u u
∴=-++++
3238321(1)31C t t
∴=-++++ 由此得微分方程的通解为
3
14t t x +=， 3238321(1)31y C t t =-++++。
3）y q
dx dy y 4)()1(22=- 解：方程的P —判别式为
9
4)1(22=-p y ，0)1(22=-p y 消去P ，得0=y ，显然0=y 是方程的解，
令y p y p y x F 9
4)1(),,(22--=则有 '4(,0,0)9
y F x =- "(,0,0)2pp F x = 和'(,0,0)0p F x =
因此，由定理4.2知，0=y 是方程的奇解。
p pp '(,0,0)10y F x =-≠和'(,0,0)0p F x =但"(,0,0)0pp F x =，而经检验知0=y 是方程（2）
的解，但不是奇解。
因此由此例可看出定理4.2中的条件"'(,(),())0pp F x x x x x ≠是
不可缺少的。
3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件''(,(),())0p F x x x x x =是不可缺少的
''312()3
y x y y =+- 解：方程的P —判别式为
33
12p p x y -
+= 012=-p 消去P ，得 3
22±=x y
)(c f cx y += （2）
它的C —判别式为 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=++=0)(')(c f x c f cx y 由此得 :'())()x f c c ϕΛ=-=， '()()()y cf c f c c ψ=-+=
令 (,,)()V x y c cx f c y =+- 故
'((),(),)x V c c c c ϕψ= '
((),(),)1y v c c c ϕψ=-
所以''(,)(0,0)x y V V ≠ 又
('(),'())("(),"())(0,0)c c f c cf c ϕψ=--≠ （由于0)("≠c f ）
12应的非蜕化条件，故1Λ，2Λ是曲线族的两支包络线。
2．c y c x 4)(22=+-
解：由相应的C —判别式
22(,,)()40V x y c x c y c =-+-=
(,,)2()40c V x y c x c =---=
消去C 得C —判别曲线 )1(42+=x y 它的两支曲线的参数表示式为
1:2x c Λ=-+ ，12-=c y
2:2x c Λ=-+ ，12--=c y。