常微分方程第四章考试卷
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常微分方程第四章考试卷2
常微分方程第四章测试卷(2)班级 姓名 学号 得分一、 填空题（20分）1、由定义在区间b t a ≤≤上的k 个可微k-1次的函数)(),(),(21t x t x t x n 的伏朗斯基行列式为-----------------------------。
2、若)(),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性相关的充要条件是----------------。
3、在通解结构定理中，如果)(),(),(21t x t x t x n 是方程的n 个线性相关的解，则方程的通解可表示为------------------------（其中n c c c ,,21是任意常数）。
4、设)(t x 和)(t y 是区间b t a ≤≤的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间b t a ≤≤上--------------（填“线性相关”或“线性无关”。
5、 设线性无关的函数)(),(),(321x y x y x y 均是二阶非齐次线性方程)()()(////x f y x q y x p y =++的解, 21,c c 为任意常数,则该齐次方程的通解是---------------.6、设βαi K +=是任一复数，这里βα,是实数，而t 是实变量,则t i Kt e e )(βα+==-----------.7、欧拉方程的形式为------------------------------------------------------------------------------------------.8、设01≠=x x 是二阶齐线性方程0)()(22=++x t q dt dxx p dtx d 的解，则它的通解为------------------------------------------.9、n 阶贝塞尔函数是--------------------------------------------------------.10、设)(,),(),(21x x t x t x n 为方程0)()()(1111=++++---x t a dt dxt a dt x d t a dt x d n n n n n n 的基本解组，而)(t x -是方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- 的某一解，则方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- 的通解可表示为----------------------------------------------------.二、计算题（60分）1、求方程tx x cos 1//=+的通解，已知对应齐线性方程的基本解组为 t t sin ,cos2、已知方程022=-x dt xd 有基本解组t te e -,.试求此方程适合初始条件0)0(,1)0(/==x x 及1)0(,0)0(/==x x 的基本解组（称为标准基本解组，即有W(0)=1）,并由此求出方程的适合初始条件/0/0)0(,)0(x x x x ==的解。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
常微分方程知到章节答案智慧树2023年齐鲁师范学院
常微分方程知到章节测试答案智慧树2023年最新齐鲁师范学院第一章测试1.二阶微分方程的含有两个任意常数的解一定是通解。
（）参考答案:错2.满足初值条件的解称为是微分方程的特解。
（）参考答案:对3.一阶微分方程的通解表示平面上的一条曲线。
( )参考答案:错4.不是线性微分方程的方程一定是非线性微分方程。
( )参考答案:对5.函数为任意常数是方程的通解。
( )参考答案:对第二章测试1.一阶非齐次线性微分方程的任意两个解之差必为相应的齐次线性微分方程的解。
（）参考答案:对2.微分方程（）参考答案:二阶线性微分方程3.微分方程的满足的特解为（）参考答案:4.微分方程的通解为（）参考答案:5.若一阶微分方程有积分因子，则积分因子一定是唯一的。
（）参考答案:错第三章测试1.所有的微分方程都可以通过初等积分法求得其通解。
（）参考答案:错2.要求得一阶微分方程的特解，应该给定一个初值条件。
（）参考答案:对3.李普希兹条件是一阶微分方程初值问题解存在唯一的充要条件。
（）参考答案:错4.存在唯一性定理中解的存在区间是唯一的。
（）参考答案:错5.微分方程初值问题的解只要存在就一定唯一。
（）参考答案:错第四章测试1.若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。
（）参考答案:错2.如果方程的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即（）参考答案:对3.由n阶齐线性方程的n个解构成的伏朗斯基行列式或者恒等于零。
( )参考答案:对4.n阶齐线性方程可以有n+1个线性无关的解。
（）参考答案:错5.是方程的通解。
（）参考答案:对第五章测试1.如果矩阵，维列向量是可微的，则（）参考答案:对2.向量是初值问题在区间上的解。
（）参考答案:对3.设是矩阵，则。
（）参考答案:对4.如果向量函数在区间线性相关，则它们的伏朗斯基行列式，。
( )参考答案:对5.如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上。
(整理)《常微分方程》试题.
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ．二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分）求下列方程的通解或通积分：11. y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3．xxx e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分）通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C yx （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx =-⎰⎰020d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解
0 q3
2
3
y
2．用参数法求解下列微分方程：
y
y
y)
y
dq dy
3 2
x
ln x 2x
p
1)
0.
2xp
)]2
y
dy dx
2 cos y( sin y) 2q2
cos y sin y q2
cos2 q3
sin
cos2 q3
y
dq
( dy
y)
q tan
2
3
cos3 y sin y
y
x C
22t2 t 2t 1
C
dt
25
5
2
cos t,
2 cos[ 2 (x C)] 5
2t1
C
2
2
dv v
p
2 sin tdt
2 5 sin t
5
2t 1 22t2 t
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
常微分方程第四、第五章部分习题参考答案
常微分方程习题4.2 2、解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t te c e c e c e c --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x a x a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-(4)0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t e c t ec xt t 23sin 23cos 212211--+=(5) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atat e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=atat e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t (6) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解形如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (7) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解形如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (8)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解形如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(9) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 221-+因为+-2i 不是特征根取特解形如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=tte c e c 221-+t t 2sin 562cos 52--（10）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（11）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t t te c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++, 当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at at te c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （12）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=t te c ec 521--++te 2211 （13）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i 故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos 21+=+t e t t --)sin 414cos 415( (14) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+= 对于t x x sin =+'',=1λi,是方程的解， 设)sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得A=21-B=0 故t t x cos 21~-=对于t x x 2cos -=+'' ，设t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+ 15）1442++=+'-''ttee x x x解：0442=+-λλ，22,1=λ，齐次方程的通解为)()(212t C C e t x t +=。
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常微分方程第四章测试试卷(3)班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分）1．——————称为n 阶齐线性微分方程。
2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里()t a 1和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2是方程解的冲要条件是―——————。
３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。
４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。
５．若方程()()022=++y x q dx dyx p dxy d 中满足————条件，则方程有形如∑∞==0n n n x a y 的特解。
６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。
７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________.１０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.二． 计算（30分）１． 求通解yy y 2'1''2+=２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+⎰x tdt t x x xφφ，求()x φ 四．证明题（20分）1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。
常微分方程第四章测试试卷(3)参考答案 一．填空１．()()()01111=++++---x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n ，其中()()n i t a i ,2,1 =在区间上连续２．[][]0,,'21121=+x x w a x x w３．()t m m m m m k e B t B t B t B t B t x λ+++++=---∧122110 ４．()n n n n a a a F ++++=--λλλλ111５．()x p 和()x q 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为R x < ６．３７．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dt e x c c x x dt t a 121111８．常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法，幂级数解法。
９、∑==ni i i x c x 1 其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数１０、()t x x c x ni i i +=∑=1其中()n i c i ,,2,1 =为任意常数二． 计算１．解：方程不显含x代入方程得；解得y C P 121=+,,dydPP y P y =''='令,212yP dy dP P +=故方程的通解为２．解：特征方程 特征根对应齐线性方程的通解为 设原方程的特解为原方程的一个特解为 故原方程的通解为(),11'=y ()16/5221=-+∴e C C,11-±=∴y C P ,11-±=y C dxdy即.12211C x y C C +±=-,0122=+-r r ,121==r r .)(21x e x C C Y +=,)(2*xe b ax x y +=,]2)3([)(23*xe bx x b a ax y +++='则,]2)46()6([)(23*xe b x b a x b a ax y +++++=''代入原方程比较系数得将)(,)(,***'''y y y ,21,61-==b a ,2623*xx e x e x y -=.26)(2321x x x e x e x e x C C y -++=,1)1(=y ,1)31(21=-+∴e C C ,]6)1()([3221x e x x C C C y +-+=',31121+=+e C C ,651221+=+e C C 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,121,61221e C e C所以原方程的特解为３．解：由解的结构知非齐两解之差为相应齐方程的解 故 x y y sin 12=- x y y cos 13=-是齐方程的两解 且线性无关 则齐通解为x C x C Y sin cos 21+= 非齐x x C x C Y ++=sin cos 21４．解：由观察可得一特解为xe y =又因为0≠x ，故方程可变为()()0/2/12''=+++-x x x y x y为二阶齐线性方程，()x p 为()x x /12+- 则由刘维尔公式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+=⎰-dx e y c c y y dxx p 21111得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2313c x c e y x５．解：令原方程化为.26])121(612[23x x x e x e x e x e e y -+-+-=,ln x t e x t ==或,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--,332223t e Dy y D y D =--所对应的齐方程为其特征方程为特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为22bx be y t ==*代入原方程得21-=b ，即22x y -=*所给欧拉方程的通解为６解：设方程的解为∑∞==0n n n x a y则∑∞=-=01'n n n x na y.33222233t e dtdydt y d dt y d =+-,0322233=+-dtdydt y d dt y d ,03223=--r r r .3,1,0321=-==r r r .33213321x C xC C e C e C C Y t t ++=+=-.2123321x x C x C C y -++=21)1(-∞=∑-=''n n n x a n n y ,0,,=-'-'''''y y x y y y y 带入将,00=-∑∞=nn nx a1-∞=∑-n n n x na x nn n x a n n ∑∞=+++02)1)(2(,0])1()1)(2[(02≡+-++∑∞=+nn n n x a n a n n三、1.解：由题意可得：()()()()x x y x dt t t y xcos 1sin 20-+=⎰两边对x 求导得 ()()()()()()[]x x y x x y x x y sin cos '1sin 2--= 即 ()()()()x x y x x y cos '1sin -=()()()()x x yctg x x y dx dy sin 1sin cos 1+-=-= 为一阶线性方程 ()()x ctg x p -= ()()x x Q sin 1= ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x e y dx x ctg dxx ctg sin 1 即 ()()c x x y +=sin 12.证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数n c c c ,,,21 使得b t a x c x c x c n n ≤≤≡+++,02211 （1）依次对t 微分此恒等式，得到()()()0'''2211≡+++t x c t x c t x c n n ()()()0''''''2211≡+++t x c t x c t x c n n,22+=+n a a n n,2,1,0=n ,313a a =,1515a a =,!)!12(112+=+k a a k ,202a a =,804a a = ,2!02kk k a a =,3,2,1=k ∑∑∞=+∞=++=0121020!)!12(!2n n n n n n x a n x a y()()()()()()01212111≡+++---t x c t x c t x c n n n n n （2）把（1）和（2）看成关于n c c c ,,,21 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是()()()[]t x t x t x w n ,,,21 ，于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()()b t a t w ≤≤≡0 证毕。
2 .证明:设()()()12,,,n x t x t x t 为对应的齐线性方程的一个基本解组,()x t 是非齐的一个解,则()()()()()()()12,,,,n x t x t x t x t x t x t x t +++均为非齐的解,同时也是线性无关的.事实上,假设存在常数()()()()()()()1211122111,,:0n n n i i c c c c x t x t c x t x t c x t c +++=+++++==∑使得即否则:若110n i i c +==∑,则有:()()111ni i n i ii cx t x t c+===∑∑ (2)(2)的左端为非齐线性方程的解,而右端为齐线性方程的解,所以矛盾.从而有()10ni i i c x t ==∑,又()()1,2,,i x t i n =是齐线性方程的基本解组,故有120n c c c ====,进而有10n c +=.即(1)是线性无关的.再证明最多存在n+1个线性无关解.事实上:若()x t 是t 的任一解,则由通解结构定理,存在常数()1,2,,i c i n =使得()x t =()()1ni i i c x t x t =+∑即()x t =()()()()()()()1111()1nnni i i i i n i i i c x t x t c x t c x t x t c x t +===⎛⎫++-=++ ⎪⎝⎭∑∑∑其中111nn i i c c +==-∑为常数故得证.。