第四章 微分方程模型
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
第四章 微分方程模型
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i ( s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
t dt, 年龄[r dr 1, r dr 1 dr]人数
dt dr1 死亡人数
p(r , t )dr p(r dr 1 , t dt)dr (r , t ) p(r , t )drdt
[ p(r dr1 , t dt) p(r , t dt)] [ p(r , t dt) p(r , t )] (r , t ) p(r , t )dt, dt dr1
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
第四章微分方程模型
• t→∞, x(t)→∞, 按指数规律无限增长.
?
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直接用人口数据和线性最小二乘法.
rt
x(t ) x0e
1790年 (t=0) 至2000年美国人口数据 最小二乘法 MATLAB编程
r =0.2743/10年，x0 =4.1884
3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合)
x2(t)~原方程的一个特解 由f(t)用待定常数法解出.
(0) x 0 确定任意常数c1, c2 用初始值 x(0) x0 , x
5. 微分方程组 • 包含2个(2个以上)未知函数及其导数. x f ( x, y, t )
g ( x, y, t ) y
• 独立方程的个数等于未知函数个数.
• 通解含2个任意常数,由初始值x(0) x0 , y(0) y0 确定. • 方程组通过求导和代数运算转化为高阶方程.
• 高阶方程通过设置变量转化为方程组.
px qx f (t ) x
y x p(t ) x q(t ) x f (t ) y
年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 年 人口(百万) 增长率/10年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 0.2949 0.3113 0.2986 0.2969 0.2907 0.3012 0.3082 0.2452 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 105.7 122.8 131.7 0.2435 0.2420 0.2051 0.1914 0.1614 0.1457 0.1059 0.1059 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 150.7 179.3 203.2 226.5 248.7 281.4 308.7 0.1579 0.1464 0.1161 0.1004 0.1104 0.1349
江南大学博士课程数学建模（精品）
第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。
利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。
事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。
而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。
问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。
纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。
又经过100年即1930年，人口总数达20亿。
30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。
问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。
⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。
模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。
模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。
第四章 微分方程数学模型
3)、若s0
1
, 则i(t )先增加，当 s
1
1
时，i(t )达到最大
im 1
(1 ln s0 ), 然后减小趋于0, s(t ) s
若s0
1
, 则i(t )单调趋于0，(i)单调趋于s s
i0
i0
1
i
1
i
1
O
1
1
1
t
i0
O
t
O
t
1 1 i ( ) 0 1
1 1
1 ~ 阈值
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 i(t )按S曲线增长 健康人数不超过病人数
直接求解方程，亦可得到上述结果
di i (1 i ) i dt i (0) i0
时
i0 i (t ) i0 t 1
1
时
1 ( ) t e i(t ) i 0
x s0
i0小， 0 1 s
x x ln(1 ) 0 s0 1
x x2 x ( 2)0 s0 2 s 0 1
x 2s0 ( s0
1
)
令 s0 1 , 又 较小, s0 1)
x 2
模型检验 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广 义上理解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康 复还是死亡对模型并无影响。
代数方程组 f ( x, y ) 0, g ( x, y ) 0. 的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
第四章 微分方程模型
第四章微分方程模型一、微分方程模型的建立在实际问题中经常需要寻求某个变量y 随另一变量t 的变化规律：y=y(t)，然而常常不能直接求出。
有时容易建立包含变量及导数在内的关系式，即建立变量能满足的微分方程。
通过求解微分方程对所研究的问题进行解释说明。
因此，微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程模型应用也十分广泛。
建立微分方程模型时，经常会遇到一些关键词，比如“速率”、“增长”“衰变”，“边际”等，常涉及到导数，再结合问题所涉及的基本规律就可以得到相应的微分方程。
常用微分方程建立数学模型的方法有：（1）按规律直接列方程例1一个较热的物体置于室温为1800c 的房间内，该物体最初的温度是6000c ，3分钟以后降到5000c .想知道它的温度降到3000c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？模型建立：根据牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。
设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差，成正比与即m T dtdT−。
建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT(4.1)其中参数k >0，m =18.求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,或,0,≥+=−t ce m T kt代入条件，求得c=42，k=－2116ln 31,最后得().0,42182116ln 31≥+=t et T t (4.2)结果：（1）该物体温度降至3000c 需要8.17分钟。
（2）10分钟以后它的温度是()102116ln 31421810e T +==25.870c（2）微元分析法该方法的基本思想是通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,寻求一些微元之间的关系式。
例2一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米模型建立：首先对孔口的流速做两条假设：(1)t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t )。
第四章微分方程模型
第四章微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。
建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。
事实上在微分方程课程中，我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由落下，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。
”又如“容器内有盐水100L，内含盐10kg,今以3 L/min 的速度从一管放进净水，以2 L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。
”这些问题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。
而本章要讨论的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。
作出不同的假设，就得到不同的方程，所以事先是没有答案的。
求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
人口增长模型人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。
统计数据显示：年1625 1830 1930 1960 1974 19871999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60可以看出，世界人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。
长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。
只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
用微分方程来研究人口增长规律，基本上采用的是模拟近似的方法。
微分方程模型
0.26
读乐谱的妇人
10.3
0.3
弹曼陀林的妇人
8.2
0.17
做花边的人
1.5
1.4
欢笑的女孩
5.2
6.0
---------------
若第一幅画是真品， t t0 300
y0 y(t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1]
y(t)e300 r[e300 1]
死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂
变规律衰减。
建模
设 t 为死后年数， y(t) xc14 (t) xc12 (t)
c c 则t 0时, y y0 ,即活体中 14 与 12 数量的比例.
dxc14 xc14
dt
8000
dy y dt 8000
t
y Ce 8000
g
F浮
cv
dt
mm
v(0) 0
可解得：
v(t) G F浮 [1 ect/m ] c
极限速度为：
v
G F浮 c
713.86英尺/ 秒
---------------
将速度 v 看成位置 y 的函数 v(y) ，由于
dv dv dy v dv dt dy dt dy
三 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所
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在t时刻，铅球的位置在M(x,y)点，则由力学 定律知，铅球运动的两个微分方程是：
0 x m m mg y x (0) 0 y (0) h (0) v cos y (0) v sin x
10
解之得
x vt cos 1 2 y gt vt sin h 2
1 t ln (a b) ( ) w C 42000
(3 1)
( 3 2)
1 C ln (a b) ( ) w0
( ) t 42000
从而得
a b a b ( )w0 w e
解 建立模型
设 x(t ) 表示 t 时刻血液中酒精的浓度，则由平
衡原理，在 [t , t t ] 时间段内，酒精浓度的改
变量 得
x(t t ) x(t ) kx(t )t
(2)某人以脂肪形式储存的热量是百分之百地有 效，而1千克脂肪含热量是42000焦耳。 19
(3)设体重W是时间t的连续可微函数，即W＝W(t)。 数学建模： 每天：体重的变化＝输入－输出 输入：指扣除了新陈代谢之外的净吸收量。
输出：就是进行工作、生活以及体育锻炼的总耗量。 ab 于是每天净吸收量＝ 42000 w 每天净输出量＝ 42000 所以在t到t＋ t 时间内体重的变化：
所以铅球的运动轨迹为
g 2 y 2 x x tan h 2 2v cos
令y=0 ，铅球落地的距离为
2 2 1 2
(2 1)
v v 2h 2 x cos sin ( 2 sin ) v cos g g g
(2 2)
它描述了铅球投掷的距离与投掷时的出手 速度和投掷角度的关系，这也是我们所要的铅球 投掷模型。 11
第四章 微分方程模型
a、微分方程建模的对象 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动 ”、“追赶”、“逃跑”、、、等等词语的确 定性连续问题。 b、微分方程建模的基本手段 微元法 等。
c、微分方程建模的基本规则
1 、寻找改变量 一般说来微分方程问题都 遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。 2、对问题中的特征进行数学刻画。
*
o
x 11.4米
*
12
模型2——铅球投掷模型
下面将考虑铅球的投掷过程建立铅球投掷模型。
关于铅球的投掷过程我们假设：
1、滑步阶段为水平运动，铅球随人的身体产生 一个水平的初速度 v 0 。
2、在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到 铅球出手有一段时间 t 。 0 3、在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球 上的推力大小F是不变的，力的方向与铅球的出手 角度 相同。 用这三个假设代替模型1中的假设3来进一步组 建铅球的投掷模型。
17
进一步分析铅球投掷模型2，我们还可以得到铅球 投掷存在一个最佳出手角度，它要小于模型1所给出 的最佳角度。对模型2还可以给出类似于模型1的全 部分析，这些我们留给读者去完成。
18
第二节 减肥的数学模型
问题：如何建立减肥的数学模型？
问题分析： “肥胖者”从某种意义下说就是脂肪过多以至 超过标准，数学建模就要由此入手。 模型假设： (1)设某人每天从食物中摄取的热量是a焦耳，其中 b焦耳用于新陈代谢（即自动消耗），而从事工作、 生活每天每千克体重必须消耗α焦耳的热量，从事体 育锻炼每千克体重消耗β焦耳的热量。
>0，
dw ２、若a－b<( )w0 ，即净吸收小于总消耗， <0， dt 则体重减少。 dw ３、若a－b＝ ( )w0 ，即净吸收等于总消耗， =0 ， dt 则体重不变。 ４、当t→＋∞时，由(3-3)式知
a b W (t )
22
这表明只要适当控制a（进食）、b（新陈代 谢）、 （工作、生活）、 （体育锻炼），要使体 重等于多少是“可能”的.
F2 2F 2F 2 2 ( 2 g g sin )t0 v 0 t0v0 cos m m m
(2 4)
式中 t 0 是推铅球时力的作用时间。 将(2-4)与(2-2)合并就得到了铅球掷远的数学模型。
16
v v 2h 2 x cos sin ( 2 sin ) v cos g g g
F2 2F 2F 2 2 v ( 2 g g sin )t0 v 0 t 0v0 cos m m m
2
2
1 2
(2 2)
(2 4)
分析出手速度模型(2-4)，不难看出v随着F和 t 0 的增加而增大，显然v随着 v 0 的增加而增大。这与 0 我们的常识也是一致的。由于 ，由(2-4)式 2 还可以看出v将随着 的增加而减少。因此，当 推力F和作用时间 t 0 不变时，运动员要提高铅球 的出手角度 ，就必须以降低出手速度为代价， 所以对于铅球投掷来说，模型1所给出的“最佳出 手角度”不一定是最佳的。
3、用微元法建立微分方程； 4、确定微分方程的定解条件（初边值条件； 5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 6、模型和结果的讨论与分析。
第一节 微分方程的简单应用
一、物体在液面上的浮沉振动问题 问题：一个边长为3米的立方体浮于水面上， 已知立方体上下振动的周期为2秒，试求物体沉浮 振动的规律和质量。 问题的分析：设水的密度为1000kg／ m 3 ，当 物体侵入水中时，它受到一个向上的浮力，由阿 基米德原理知：浮力的大小等于与物体侵入水中 的那部分同体积的水的重量。
5
二、液体的浓度稀释问题
问题：有两只桶内各装100升的盐水，其浓度为 0.5克／升。现用管子将净水以2升／分钟的速度输送 到第一只桶内，搅拌均匀后，混合液又由管子以2升 ／分钟的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅 拌均匀，然后用管子以1升／分钟的速度输出，问在t 时刻从第二只桶流出的盐水浓度是多少？ 解： 设y1 y1 (t )、
解一阶线性微分方程得
y2 (t ) dy2 1 y1 (t ) dt 50 100 t t y2 (0) 50
所以t时刻从第二只桶内流出的盐水的浓度为
1 y2 y2 (t ) [12500 50(150 t )e 100 t
t 50
t 50
]
y2 12500 150 t 50 e （克／升） 2 2 100 t (100 t ) (100 t )
8
三、 铅球掷远的数学模型
问题、设铅球初始速度为V,出手高度为h，出 手角度为 （与地面的夹角），建立投掷距离与 V、h、 的关系式，并在V、h一定的条件下求最 佳出手角度和最远距离。
y2 y2 ( t )
分别表示t时刻第一只和第二只桶内盐的数量，单 位为克，
6
第一只桶在t到t＋t 内盐的改变量为
y1 (t ) y1 (t t ) y1 (t ) 0 2t 2t 100
y1 (t ) dy1 dt 50 y1 (0) 50
根据假设2，令t=0时运动员开始用力推球， t t0 时铅球出手，在区间 (0, t 0 )上积分（2-3）可得
14
mx(t ) F cos my(t ) F sin mg
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3)
F x(t 0 ) t 0 cos C1 m F y (t 0 ) t 0 sin gt 0 C 2 m 其中C1 , C 2 分别是t=0时铅球的水平与垂直的初速度。
由假设1，有
C1 v0 , C2 0
F x (t 0 ) t 0 cos v 0 m
y(t 0 ) F t 0 sin gt 0 m
于是我们得到
由此可以得到铅球的合速度，即铅球的出手速度
v x(t 0 ) 2 y(t 0 ) 2 ( F F 2 t 0 cos v0 ) ( t 0 sin gt 0 ) 2 m m 15
正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、 工作和锻炼的习惯，即要适当控制a、α＋β。对于 少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代 谢的改变也是必要的。
23
思考题：
某人每天由饮食获取10500焦耳的热量，其中 5040焦耳用于新陈代谢。此外每千克体重需支付 67.2焦耳热量作为运动消耗。其余热量则转化为脂 肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问 此人的体重如何随时间变化？
a b w (t t ) w (t ) t w (t )t 42000 42000
20
体重变化的数学模型：
dw (a b) ( ) w 42000 dt w (0) w0 应用分离变量法，解方程(3-1)得
利用初始条件得
由（2-1），关系式（2-2）可表示为
x g 2v cos (h x tan )
2 2 2
dx 得最佳出手角度为 由 0， d v *
arcsin
2(v gh)
2
投掷的最远距离
v 2 x v 2 gh g
*
设h=1.5米，v=10米/秒 ，则
41.4
24
第三节 推断醉驾与凶杀案发生时间的数学模型
例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为 不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小 时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个 小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发 生时,司机是否违反了酒精含量的规定?
13
模型(2-2)很好地描述了铅球出手以后的运动状况， 因此模型2主要在于建立描述铅球出手速度的形成过 程以得到出手速度与出手角度之间的依赖关系。 若记x(t),y(t)为开始用力后铅球运动轨迹的水平和 铅垂方向的坐标。则根据牛顿第二运动定理，由假 设3我们有