第四章 高阶微分方程1.2
常微分线性微分方程的一般理论
)
0
0t 1
0 1 t 0 x2 (t) t 2 0 t 1
t2 0
0 1 t 0
W
x1(t),
x2 (t)
2t 0
0
0 t2
0 2t
0t 1
c1
x1
(t
)
c2
x2
(t
)
cc11t20cc22t02
无关的解，则方程（4.2）的通解可表为
x c1 x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) （4.11）
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数，且通解（4.11）
包括方程（4.2）的所有解。
例 已知方程 x" x 0 ，求它的基本解组？并写 出它的通解。
（4.9）
c1
x1(
n1)
(t0
)
பைடு நூலகம்
c2
x ( n 1) 2
(t0
)
cn
x ( n 1) n
(t0
)
0
其系数行列式 W (t0 ) 0 ，故（4.9）有非零解 c~1, c~2 ,, c~n 构造函数 x(t) c~1x1(t) c~2 x2 (t) c~n xn (t) a t b 根据叠加原理， x(t) 是方程（4.2）的解，且满足初始条件
an1(t)
dx dt
an (t)x
f
(t)
(4.1)
其中 ai (t)(i 1,2,, n) 及f (t)是区间 a t b 上的连续函数。
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
第四章 高阶微分方程
2t
c3e
3t
lim[1 (t ) 2 (t )] 存在。
t
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例6、求解方程
dy 1 y y2 0 dt t
0 ，又令 z y 1
dz 1 1 z dt t
因此，求解并还原变量得到原方程的解: ex 如果 y
c2 (t c1 )
2
0 ，得到原方程的一个解为： x c
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
x 5x 6 x f (t ) ，其中 f (t )在 t 上连续，设 1 (t ), 2 (t ) 是上述方程的两个解，证明极限 lim[1 (t ) 2 (t )]
Laplace变换法
四、例题选讲
d 2x dx 例1、求方程 2 4 4 x 4 cos 2t 的通解。 dt dt
分析：
1、分析得知原方程是一个线性常系数非齐次微分方程。其求 解方法为先求对应齐线性微分方程的通解。方法：特征根方法。 2、再利用比较系数方法求原方程的一个特解。（分析函数f(t) 的特点！）
于是，令 x '
2、原方程变为：
3、求解新方程
4、变量还原，有通解为：
内江师范学院数学与信息科学学院 吴源自腾 制作dp dx dp x" p dx dt dx 2 dp 2p 1 dx 2 3 p x c2 3 2 3 9( x c2 ) 4(t c1 )
例3、一个物体在大气中降落，初速度为零，空气阻力与速 度的平方成正比例，求该物体的运动规律。（应用题！）
三、主要方法
特征根方法、常数变易法和幂级数解法。同时注意不同的方 法用于求解不同形式的方程。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分中重要的研究对象。
它的研究内容涉及到高等数学、物理学、工程学等学科领域。
在这篇文章中，我们将对高阶微分方程的定义、求解方法及其应用进行全面介绍。
一、高阶微分方程的定义高阶微分方程是指包含导数的方程中，导数的阶数高于一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(x\) 是自变量，\(y = y(x)\) 是因变量，\(y', y'', ..., y^{(n)}\) 分别表示\(y\) 相对于\(x\) 的各阶导数。
二、高阶微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的自变量和因变量分别放在方程两侧，并进行积分求解的方法。
这种方法适用于一些具有特殊形式的高阶微分方程。
2. 常系数线性微分方程的特征方程法对于常系数线性微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先，假设原微分方程的解为指数函数形式，然后将其代入方程中，得到一个关于未知常数的方程，通过求解这个特征方程即可得到原方程的通解。
3. 常数变易法常数变易法是指假设微分方程的特解形式为常数乘以一个已知的函数形式。
通过求解这个常数变易方程，可以得到特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
4. 线性非齐次微分方程的待定系数法对于线性非齐次微分方程，可以通过待定系数法求解。
假设非齐次方程的解为线性组合形式，将其代入方程中，得到关于未知系数的代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到方程的特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、高阶微分方程的应用高阶微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用示例：1. 振动方程振动方程描述了各种振动系统的运动规律。
例如，弹簧振子的运动可以由高阶微分方程进行建模。
2. 电路方程电路方程可以描述电子电路中电流和电压的关系。
第四章 高阶微分方程
齐次线性方程
基本解组
非齐次线性方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特解
非齐次线性方程的通解 常数变易法 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组,因而
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
为(2)的通解.
设 x c1 ( t ) x 1 (t ) c2 ( t ) x2 (t ) cn ( t ) xn ( t ) 为(1)的解.
x ( t ) x( t ) 也是方程(1)的解.
性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 定理7 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组, x ( t ) 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解为
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) x (t ), (4) 其中 c1 , c2 , , cn 是任意常数,且通解(4)包括了方程(1)的
(10)
x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) 0 1 2 2 n n 1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t ) 0 ( n 2) ( n 2) ( n 2) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c (t ) 0 1 1 2 2 n n x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) f ( t ) 1 2 2 n n 1
《高阶微分方程》PPT课件
16
2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理4 设 y( x) 是方程(1)的一个特解,
yc ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y yc y .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
这样比代入原方程要简便得多.
26
例7 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解,
其中 为实数.
解 特征方程 2 4 4 0 , 特征根 1,2 2 ，
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e2x .
1）若 2 , 则设特解为 y Ax 2e2x ,
对应齐次方程通解 yc (C1 C2 x)e3x .
因为 r 3 是二重特征根,
所以设特解为 y x2 ( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
(2)
线性非齐次微分方程的解的结构
定理2 如果 y( x) 是 n 阶非齐次线性方程(1)的一个特 解, yc ( x) 是对应齐次方程(2)的通解，则(1)的通解为
y(x) yc(x) y(x) .
5
二、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数. 若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
只讨论 f (x) 的两种类型.
用待定系数法求解.
《高阶微分方程》课件
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通 过示例进行解释。
应用实例
1
高阶微分方程在物理学中的应用
探索高阶微分方程在物理学领域的重要应用，如运动学和波动理论。
2
高阶微分方程在工程学中的应用
揭示高阶微分方程在工程学中的实际应用案用领域
二阶微分方程的解法
1
常系数二阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数二阶齐次微分方程，并提供实际案例。
2
非齐次线性微分方程的解法
介绍常数变易法来求解非齐次线性微分方程，并通过示例进行说明。
n阶微分方程的解法
常系数n阶齐次微分方程的解法
使用特征方程法解决常系数n阶齐次微分方程，并提 供实例证明。
概述高阶微分方程对数学和科学领域的重要性，以及它们在解决实际问题中的广泛应用。
引导学生继续深入学习高等数学相关课程
鼓励学生进一步学习高等数学中与微分方程相关的更高级和复杂的主题和技巧。
《高阶微分方程》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将探讨高阶微分方程的基础知识，包括二阶微分方 程的定义、常系数二阶齐次微分方程和非齐次线性微分方程等。
导言
二阶微分方程的定义
介绍二阶微分方程的基本概 念和特点。
常系数二阶齐次微分方 程
介绍常系数二阶齐次微分方 程的解法和示例。
非齐次线性微分方程
探讨非齐次线性微分方程的 求解方法和相关应用。
(整理)常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
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常数变易法
设x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）为方程的基本解组，
x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）
x(t) c1(t)x（1 t）+c2 (t)x（2 t）+L cn (t)x（n t）
c1(t)x（1 t）+c2(t)x（2 t）+L cn(t)x（n t）=0
当k n时,c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）
(4.4)
函数的线性无关与线性相关
定义1
函数x（1 t），x（2 t），L ，x（k t），a t b 如果存在不全为零的数c1,c2,L , ck，使得恒等式
c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t） 0,t (a,b)
例2 求方程tx x t2于域上的所有解
小结
1 齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数是n 2 齐次线性微分方程的通解就是所有解 3 非齐次方程的通解可通过齐次方程的基本解组得出 4 研究线性微分方程的解就是去找到齐次方程的基本解组
怎么找？
❖P131 1,
作业
4.2.1复值函数与复值解
❖ 复值函数的定义
z(t) (t) i (t), a t b,其中(t), (t)是实函数
❖ 复值函数的极限
lim z(t) lim(t) i lim (t),
t t0
t t0
t t0
❖ 复值函数的连续
lim
t t0Βιβλιοθήκη z(t)z(t0)
❖ 复值函数的导数
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0 )
dt
)
x ( n 1) 0
(4.3)
注：
(1)初值条件唯一地确定了方程的解
(2)解的存在区间为a t b
4.2.2 齐次线性微分方程解的性质与结构
定理2（叠加原理）
如果x（1 t），x（2 t），L ，x（k t）是方程（4.2）k的解， 则c1x（1 t） c2x（2 t）L ck x（k t）亦是方程（4.2）解，
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
L
an 1 (t )
dx dt
an
(t)x
0,
(4.2)
（4.2）称为n阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程
（4.1）称为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程
（4.2）称为对应方程（4.1）的齐次线性微分方程.
解的存在唯一性定理
定理1
则称这些函数是线性相关的，否则就称为线性无关
朗斯基行列式
定义2 x（1 t），x（2 t），L ，x（k t） C k [a,b]
x1 (t )
x2 (t) L
W (t) x1(t) M
x2(t) L M
x1(k1) (t) x2(k1) (t) L
xk (t)
xk(t) 称为这些函数的朗斯基行列式 M
第四章 高阶微分方程
§4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 引言
n阶线性微分方程的一般形式:
dnx
d n1x
dx
dtn a1(t) dtn1 L an1(t) dt an (t)x f (t),
(4.1)
其中ai (t)(i 1, 2,L , n)及f (t)都是在区间a t b上的连续函数 若f (t) 0，则方程（4.1）变为:
定理5
n阶齐次微分方程4.2一定存在n个线性无关解
定理6
若x（1 t），x（2 t）,L ，x（n t）是方程4.2的n个线性无关解
则方程（4.2）的通解可表为： x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t）, c1,L , cn是任意常数 并且通解包含所有解
4.1.3 非齐次线性微分方程与常数变易法
这n个方程组成一个代数方程组，其系数行列式就是w[t] 0，
ci(t) i (t),i 1, 2,L , n.
n
n
x(t) ci x（i t）+ x（i t）i (t)dt
i 1
i 1
例1 求方程x x 1 的通解，已知它对应的齐次线性微分方程的基本解组为cost,sin t cos t
性质2：方程（4.1）任意两个解之差必为方程（4.2）的解
定理7 设x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）为方程的基本解组，而是（x%t）方程（4.1）的某一解
则方程（4.1）的通解可表示为：
x(t) c1x（1 t） c2x（2 t）L cn x（n t） x%(t), c1,L , cn是任意常数
dnx dt n
a1 (t )
d n1x dt n1
L
an 1 (t )
dx dt
an
(t)
x
f (t),
dnx
d n1x
dx
dt n a1(t) dt n1 L an1(t) dt an (t)x 0,
解的结构：
(4.1) (4.2)
性质1：如果x%(t)是方程（4.1）的解，而x(t)是方程（4.2）的解 则x%(t) x(t)也是方程（4.1）的解
c1(t)x1（ t） c2(t)x2（ t）L cn(t)xn（ t） 0
c1(t)x1（ t） c2(t)x2（ t）L cn(t)xn（ t） 0
M
M
c1(t)x1(n2（) t） c2 (t)x2(n2（) t）L cn(t)xn(n2（) t） 0
c1(t)x1(n（ 1) t） c2(t)x2(n（ 1) t）L cn(t)xn(n（ 1) t） f (t)
dt
dt
复值函数导数的性质
d dt
( z (t1 )
z(t2 ))
dz(t1) dt
dz(t2 ) dt
若ai (t)(i 1, 2,L , n)及f (t)都是区间a t b上的连续函数，
则对于任一t0 [a, b]及任意的x0，x0(1) ,L , x0(n1)方程存在唯一解， 定义于区间a t b上，且满足初值条件
(t0 )
x0
,
d (t0
dt
)
x(1) 0
,L
,
d
n1 (t0
dt n1
xk (k 1) (t)
定理3
若函数x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）在区间a t b上线性相关，
则它们的朗斯基行列式W (t) 0，t [a,b]
定理4
若4.2的解x（1 t），x（2 t），L ，x（n t）在区间a t b上线性无关，
则它们的朗斯基行列式W (t) 0，t [a,b]