高阶微分方程的解法及应用
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对高阶线性微分方程的定义、解法以及应用进行探讨。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$ 的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 表示 $y$ 的$n$ 阶导数，$a_i(i=0,1,\cdots,n-1)$ 为常数项，$f(x)$ 为已知函数。
二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于齐次线性微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=0$，我们可以先求其特征方程 $r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0$ 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$，然后根据根的性质得到通解 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$，其中 $C_1,C_2,\cdots,C_n$ 为待定常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于非齐次线性微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1y'+a_0y=f(x)$，我们首先求其对应的齐次线性微分方程的通解 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots+C_ne^{r_nx}$。
然后，我们需要根据待定系数法，假设特解形式为 $y^*=P(x)e^{mx}$，其中$P(x)$ 为多项式，$m$ 为特征方程的根的重数。
将特解 $y^*$ 代入原方程，确定多项式的系数，进而求得特解。
最后，将齐次解和非齐次解相加，即得到原方程的通解。
三、高阶线性微分方程的应用高阶线性微分方程在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
举例来说，振动系统可以通过高阶线性微分方程进行建模。
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。
它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。
因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。
首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。
其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。
最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。
为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。
根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。
此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。
总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。
通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法高阶常微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自变量以及其各阶导数之间的关系。
解决这类方程对于理解自然科学以及工程应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的高阶常微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解决一阶常微分方程常用的方法，对于高阶常微分方程也同样适用。
首先，我们需要将方程重写为关于各阶导数的方程。
例如，考虑一个形如 $y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0$ 的二阶常微分方程。
我们可以将其表示为 $D^2y + pDy + qy = 0$，其中 $D =\frac{d}{dx}$ 是微分算子。
接下来，我们可以假设解为 $y(x) =u(x)v(x)$ 的形式，通过代入原方程并合并同类项，可以得到一阶关于$u$ 和 $v$ 的方程组。
然后我们利用这个方程组进行求解，最终得到$y$ 的解。
二、特征方程法特征方程法常用于线性常系数齐次高阶常微分方程的求解。
这类方程的特点是方程中仅包含自变量 $x$ 及其各阶导数，没有出现 $y$ 和它的导数。
我们以二阶方程 $y''(x) + py'(x) + qy(x) = 0$ 为例，首先使用代数技巧将方程转化为特征方程 $r^2 + pr + q = 0$。
通过求解特征方程得到两个根 $r_1$ 和 $r_2$，从而得到方程的通解形式 $y(x) =C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是常数。
三、常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次高阶常微分方程的解法。
对于方程$D^ny = f(x)$，我们可以先求解对应的齐次方程 $D^ny = 0$ 的通解$y_c(x)$，接着我们假设非齐次方程的解为 $y_p(x)$，通过代入原方程并解得非齐次方程的特解 $y_p(x)$，最终得到原方程的通解 $y(x) =y_c(x) + y_p(x)$。
常微分方程高阶方程解法
常微分方程高阶方程解法高阶常微分方程的解法是一种重要的数学工具，它在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍高阶常微分方程的基本概念、解法和一些应用实例，给读者提供一个全面的了解和学习的机会。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的方程。
它包含一个或多个未知函数，以及这些未知函数的导数。
我们将常微分方程分为初值问题和边值问题两类。
初值问题是在给定初始条件的情况下求解常微分方程，例如x'(t)=f(t, x(t))，x(t0)=x0，其中 x(t) 是未知函数，t0 是给定的初值点。
边值问题是在给定边界条件的情况下求解常微分方程，例如x''(t)+g(t,x(t))=h(t)，x(a)=x0，x(b)=xb，其中 x(t) 是未知函数，a 和 b 是给定的边界点。
高阶常微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数超过一阶的方程。
例如，一个二阶常微分方程可以写成y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=r(t)，其中 y(t) 是未知函数，p(t), q(t), r(t) 是给定的函数。
二、高阶常微分方程的解法高阶常微分方程的解法主要有两种方法：直接法和换元法。
1. 直接法直接法是一种基于微分方程阶数递减的解法。
首先将高阶常微分方程转化为多个一阶常微分方程，然后求解这些一阶方程得到通解，最后通过给定的初始条件确定满足特定条件的特解。
以二阶常微分方程为例，假设 y(t) 是未知函数，可以引入新的变量 z(t)=y'(t)，得到一阶方程组：y'(t)=z(t)z'(t)=r(t)-p(t)z(t)-q(t)y(t)这是一个与原方程等价的方程组。
可以使用一阶常微分方程的解法来求解这个方程组的解，从而得到原方程的解。
2. 换元法换元法是一种基于代数变换的解法。
通过对未知函数或导数进行适当的代换，将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程，从而方便求解。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
14
已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高阶微分方程的解法及应用
本科毕业论文(设计)题目：高阶微分方程的解法及应用毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解**学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：指导教师签名：日期：日期：注意事项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。
3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订3）其它目 录摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15)3.1 形如()n n d yf x dx=的高阶方程 (15)3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=的高阶方程 (16)3.3 形如()(,,,)0n F y y y '=的高阶方程 (17)3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)摘 要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名刘晓辉学号09031212指导教师徐亚兰职称副教授2013年6月1日哈尔滨学院本科毕业论文（设计）目 录摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15)3.1 形如()n n d yf x dx=的高阶方程 (15)3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '=L 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)摘 要本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。
进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线 性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方 程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常数变易法。
其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如()n n d yf x dx =，()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L ，()(,,,)0n F y y y '=L ，恰当导数方程和Euler 方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。
最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。
关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法AbstractThis paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce higher-order homogeneous linear differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses the comparison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more complex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described.Key words:Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。
它的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。
常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。
常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。
目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以运用常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法进行求解。
而对于可以降阶的高阶微分方程，我们通常采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶微分方程求解的问题转化成低阶微分方程的求解问题。
本篇论文我总结了形如()n n d yf x dx=，()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L ，()(,,,)0n F y y y '=L ，恰当导数方程和Euler 方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题，进而介绍此类问题在科学技术中的应用。