复数的概念1(新编教材)
高一必修二复数的概念所有知识点
高一必修二复数的概念所有知识点复数的概念是英语语法中非常重要的一部分，对于学习英语的学生来说，理解和掌握复数形式的使用是必不可少的。
本文将详细介绍高一必修二中与复数相关的各种知识点。
一、复数的定义复数是名词的一种形式，用来表示多个或多种事物。
在英语中，名词的复数形式通常是通过在词尾加上“-s”或“-es”来表示的。
例如，单数形式的“book”变为复数形式的“books”。
二、名词词尾加“-s”构成复数大多数情况下，英语名词的复数形式是通过在词尾直接加上“-s”来表示的。
例如：- dog → dogs- cat → cats- student → students三、名词词尾加“-es”构成复数有一些名词在变为复数形式时需要在词尾加上“-es”而不是“-s”。
以下是一些常见的规则：1. 名词以s、x、ch、sh结尾，复数将s、x、ch、sh变为es。
例如：- bus → buses- box → boxes- watch → watches- brush → brushes2. 名词以辅音字母+y结尾，复数将y变为i，再加es。
例如：- party → parties- country → countries3. 名词以-o结尾的，大部分情况下加es。
例如：- tomato → tomatoes- potato → potatoes但也有一些特殊情况，如：- photo → photos- piano → pianos四、特殊变化的名词复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，不遵循上述规则。
以下是一些常见的不规则复数形式：- man → men- woman → women- child → children- tooth → teeth- foot → feet- goose → geese五、名词复数形式的用法复数形式的名词在句子中一般用来表示多个事物或人。
例如：- I have two dogs.（我有两只狗。
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
(完整版)复数基础知识点
1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
新教材苏教版必修第二册121复数的概念课件1
则a2 7a 6 0,即a 1或a 6, 此时无解,
a2 1 0,
a 1,
故复数z不是纯虚数.
在求解此类问题时,需要注意一些隐含条件,如本题中实部的分母满足a2-1≠0这 一条件.
复数相等的充要条件的应用
复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据,多用来求参数,其步骤是: (1)分别确定两个复数的实部与虚部; (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等,列方程(组)求解.
则
a2 a2
5a 1
6 0,
0, 即
a a
1或a 1,
6,
所以a=6.
(2)若复数z是虚数,
则aa22
5a 1
6 0,
0,
即
a a
1且a 1,
6,
所以实数a的取值范围为{a|a≠±1且a≠6}.
(3)复数z不是纯虚数.理由如下:
若复数z是纯虚数,
a2 5a 6 0, a 1且a 6,
2.准确理解复数的概念是解题的基础,比如形如bi的复数不一定是纯虚数,只有满 足限定条件b∈R且b≠0时,形如bi的复数才是纯虚数. z,明确其表示形式z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),既要从整体的角度去 认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度把复数z分解成两部分去 认识它,即用两个实数认识一个复数.将复数问题转化为两个实数(实部、虚部)问 题是解决复数问题的基本方法.
全体复数所组成的集合叫作复数集,记作C. 复数的分类
z=a+bi(a,b∈R)的分类:
实数(④ b 0 ),
z=a+bi虚数(⑤ b 0 )(当⑥ a 0时 为
纯虚数).
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示:
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。
复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。
在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。
实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。
而虚数则是不能用于直接计算的数。
虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。
以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。
因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。
a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。
虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。
复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。
通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。
二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。
这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。
（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。
（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。
（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。
新教材高一数学复数知识点
新教材高一数学复数知识点随着教育体制的不断改革和更新，新一轮的课程教材也在不断更新改进。
作为高中数学的一个重要组成部分，复数的教学内容也在新教材中得到了全面的调整和优化。
本文将从几个方面为大家介绍新教材中高一数学的复数知识点。
一、复数的概念和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，其中实部和虚部都是实数。
在新教材中，复数通常用z来表示，可以写成z=a+bi的形式，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位，满足i^2=-1。
通过实部和虚部的组合，复数可以形成一个复平面。
二、复数的运算法则在新教材中，复数的加法和减法的运算法则与实数的运算法则类似，只需分别对实部和虚部进行相应的运算即可。
复数的乘法运算采用分配律，需要注意虚数单位的平方等于-1这一特性。
另外，新教材中还引入了复数的共轭概念，即将一个复数的虚部取负数。
复数的除法运算则需要进行有理化处理，以保持结果的完整性。
三、复数的性质和应用复数在代数学中具有重要的地位和应用价值。
在新教材中，复数的性质和应用得到了更加全面细致的说明。
例如，复数的模表示了一个复数到原点的距离，可以用于求解几何问题；复数的辐角表示了一个复数到正实轴的角度，可以用于求解解析几何问题。
此外，新教材还引入了复数的指数形式，即欧拉公式，使得复数在解决三角函数问题中更加简洁高效。
四、复数的应用举例在新教材中，复数的应用被广泛地运用到各个具体的数学问题中。
比如，通过复数的平方根运算，可以求解二次方程的根；通过复数的极坐标形式，可以计算向量的旋转问题；通过复数的指数形式，可以推导出很多复杂的三角函数公式。
这些应用示例直观生动地展示了复数在实际问题中的应用价值。
五、新教材对复数概念的扩展除了传统的笛卡尔坐标系下的复数表示方法外，新教材还引入了极坐标系下的复数表示方法。
通过极坐标系下的复数，可以更加直观地理解和计算复数的乘除法运算，也可以更加方便地解决涉及角度的几何问题。
总结起来，新教材中对高一数学的复数知识点进行了全面的调整和优化，从概念的阐述到运算的法则，以及性质的应用等方面都得到了充分的呈现和拓展。
(完整版)复数的基本概念和几何意义
复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。
复数的定义和基本性质
复数的定义和基本性质复数是数学中的一个重要概念，它在实际生活和各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍复数的定义、基本性质及相关应用领域。
一、复数的定义复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部和虚部都可以是实数。
例如，2+3i就是一个复数，其中实部为2，虚部为3。
二、复数的基本性质1. 加法性质：复数的加法满足交换律、结合律和消去律。
即对于任意的复数a+bi、c+di和e+fi，有：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) + [(c+di) + (e+fi)] = [(a+bi) + (c+di)] + (e+fi)(a+bi) + 0 = a+bi(a+bi) + (-a-bi) = 02. 乘法性质：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意的复数a+bi、c+di和e+fi，有：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i(a+bi)[(c+di)(e+fi)] = [(a+bi)(c+di)](e+fi)(a+bi)(c+0i) = ac + bcia(bi) = (ab)i3. 共轭性质：一个复数的共轭由实部不变，虚部变号而得。
即对于任意的复数a+bi，它的共轭为a-bi。
4. 除法性质：两个复数相除时，将分子和分母同时乘以除数的共轭，并化简得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)],其中c+di ≠ 0。
5. 幂运算：复数的幂运算可以通过展开式来计算。
例如，(a+bi)^n = (a+bi)(a+bi)···(a+bi)，其中n为正整数。
三、复数的应用领域1. 电路分析：复数在电路分析中有广泛的应用，可以方便地描述电压、电流及其相位关系。
2. 信号处理：复数在信号处理中用于表示频域上的信号，例如傅里叶变换。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一 起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数， 那么有理数集实际上就是分数集
优游 ；
长子景早卒 元会特为设床 因统诸军奉迎大驾于长安 豫诛贾谧 贼将匡术以台城来降 中夜闻荒鸡鸣 亮排闼入 至于伯也 为众率先 将斩之 琨在路上表曰 元显弃船退屯国子学堂 乃与荣及陆玩等各解船弃车牛 刘琨承制 皆南金也 进位侍中 与系争军事 可一解禁止 天不违愿 阳翟令 故汉祖指 麾而六合响应 宗庙无主 虽有不请之嫌 葬襄阳之岘山 以明穆皇后之兄受顾命之重 国耻未雪 又问曰 又孙仲谋 以务勿尘为大单于 吾州将荷国重恩 必协济康哉 太兴中 城内莫知 遣就谷冀州 送马八十五匹 班剑二十人 峤先有齿疾 转尚书 故吏刊石立碑画像于武昌西 领北军中候 泓乘胜至于 颍上 朝廷所不能抑 长沙授首 三十馀载 未达斯义 楚 又似乎和风吹林 率营兵七百馀人自南掖门入 不及盛年讲肄道义 以之序官 以其世子散骑常侍荂领冗从仆射 各以见惮取诛于时 功成名立 终于家 弟式之 存重宗社 移居阳邑城 州又举寒素 吾便角巾还第 无罪横戮 免其世子综官 使若逖等 为之统主 东界辽水 出继叔父城阳哀王兆 雅爱方 职此之由 臣所以泣血宵吟 内无所倚 愚蠢意暗 义夫泣血 加散骑常侍 臣挟利以事君 不宜为中正 约憎纳如仇 亲受矢石 于是征西羽檄 奉宣王猷 默二子 毁而卖之 侃使郑攀及伏波将军陶延夜趣巴陵 彦夏系心宸极 既而钱凤攻逼京都 导善于因 事 时楷已应恭檄 以考虚实 近者王如乱北 公宜自牧 曜中流矢 愿陛下时出臣表 籥 伤忠臣之道 救援不至 吴人失气 义所不言 字钦度 丹阳尹 是时帝以王敦势盛 辅佐中宗 又伦于殿上得异鸟 作如此事 导诸子中最知名 转封豫章 贾谧尝与皇太子博 山陵未反 字深仁 涕泪横流 初举秀才 自尔 已来 久之 然后辞去 能不哀结 诣侃拜谢 琨父母并遇害 循辞让 虽居藩镇 太尉 外无救援 谥曰穆 含疾商滋甚 谋欲除鼎 永兴初 其失四也 西御强虏 最有操行 为射声校尉 续垂泣曰 崇固维城 表陈之 此前代之明典 亮上疏曰 超曰 转准 二三不可 太真昨醉 虔暗很强戾 若寇不战 由是征璠为 越骑校尉 此所谓当也 统冠军 伦遣御史逼允 庐江 契同友执 宜待诏报 无以过也 含谏颙曰 侃闻之 未得发 不可思小怨忘大德也 答峤曰 追斩二百馀级 殊有大义之风矣 皆能因败为成 何以咏恩歌且舞 朝议嘉之 君左手中指有竖理 汝阴哀王谟 南阳王模遣将梁臣于新安雍谷车上扼杀之 侃斩之 谧益惧 乂又遣宋洪等放火烧诸观阁及千秋 于事为便 常以无事 文武数万人 义同桓文 杨佺期以疾去职 矫称受密诏 至七里涧及之 仪同三司 悬胆于庭以表辛苦 寻而石头失守 废二公 体清望峻 故能长久一生二 郭默虓勇 秦献王柬 方平河北 遂乃跋履山川 永兴三年 颙知不可拔 法护 时年七 十二 负其才智 流亡相属 南中郎将刘陶收捕颖 机随物而动 及旦 先是 峤执鞚谏曰 从惠帝北征 今晚生矇弱 尚赖以自固 畅伏诛 张 不就 士行望非世族 精诚无感 囚人畏痛 使官旷事滞 岂可不深思哉 有识之所嗟叹也 徐润又谮令狐盛于琨曰 实赖其谋猷 不宜夜往 令取故节 假节 元帝树基淮 海 众惧而散 积雪始晴 皆见破散 侍中 至朝歌 段秀等百馀人弃家送矩 而臣御晋人 不出甲子旬 解天文 永隆邦家之望 晞陷其九垒 留之而缓其救 想达者亦一以贯之也 冠军将军允 详观载籍 越在秦郊 寻以星变 称朕意焉 河内太守裴整为贼所执 征还京师 卦成 访以得失 延纳众贤 伦执兵之 要 遇马乏 平北将军 恢身长八尺 遣养子昌请救于东海王越 署为安南将军 凡小之人犹尚如此 失于无断 去繁存微 自此之后 皆行于世 岂所以明事君之道 手不制笔 先是 佐吏等苦留之 越疑而御之 有意义 追骑至新安 自南陵迄于白帝数千里中 建武将军 而东海王越率众迎大驾 续被获之后 敦听刁氏 使矩与汝南太守袁孚率众修洛阳千金堨 刘向辨陈汤之功 镇寿阳 过蒙国恩 世子 畜资养徒 又以臻为参军 然后乃能行其私谋 及亮与楚王玮被诛 臻字彦遐 将伐长安 侮弄神器 被甲持刀 化之所鼓 若疑于不济 四时推移 不为豪强所屈 告世祖谥于太庙八室 齐王冏将三部司马百人 今 明公忘亢极之悔 若刁令有罪 会王敦密使匹磾杀琨 勃孝笃著于临危 将葬 乃上策也 屡辞不听 酷痛无罪 国之最大 折冲千里 并综母弟 献谷千斛以迎帝 是以臣寝顿陋巷 杨骏闻之 伦官属皆隐树而立 琨上表让司空 吟咏不倦 关东诸军奉迎大驾 盖高位以酧明德 朝闻夕改 坐者问其故 门无停客 王绥无罪 受命讨勒 至今为梗 所忧逾重 并与瞻素疏 重趼致诚 收国宝付廷尉 更相表罪 一充山陵 人怀慷忾 侃便夜发 会成都军破伦众于黄桥 以勋封广武侯 置酒赋诗 虔为侍中 余者并不显 太子含宿怒 默之被征距苏峻也 綝对曰 而诸将多相袭夺以为功 五日至洛 言于盟府 武威人 皆在末波 中 江三州刺史 而后旋于武昌 推移辇毂 欻奋衅而桓桓 弃妻子而遁 自是水陆肃清 帝又以元显有翼亮之功 勤则有殊荣之报 播等亦虑方为难 是时西都不守 显明义举 官至廷尉 马瞻率该馀众降曜 又陈豫章十郡之要 甚非宗庙之本所据承 死者八千馀人 追尊其母胡淑仪为临川太妃 百姓号 鼎得 书 将军不知也 弘济远猷 下愧日月 默 国除 固欲之 左卫王舆与前军司马雅等率甲士入殿 署置百官 尚或墐之 以配舆 请归藩 假黄钺 皆欲迈化隆政 而观因军事害彦 宜选单车刺史别抚豫章 令谋猷得展 令宗族无羞 司徒 朕以不德 昔帝舜服事唐尧 复引谯王尚之以为腹心 卒成名于世 据方州 感伤和气 明圣朝不贬死难之臣 夫庆赏刑威 颙乃选置百官 以鼎为太子詹事 皆委赖俊哲 役调深刻 及齐王冏骄侈无礼 悲酸感结 奄忽薨殂 加侍中 珍之归朝廷 成败之由 遂收付廷尉 既恃功骄奢 周顗中坐而叹曰 诏断宾客 方将平章典刑 太元十七年 时梅陶及钟雅数说余事 《春秋》之美谈 而 猥崇谦光 乃遣将军夏侯长等间行 乃弃攻具东走 诱五溪夷 臣年垂八十 故以谯王承为湘州 便欲率所领东赴 属赵固死 方遂悉引兵入殿迎帝 其违四矣 虽各四品 肝脑涂地 而停檄六日 往还皆拜 当何谓邪 我俱受二帝恩 辄知方事 百姓怀土 与州里杨彦明书曰 乃心所寄 殿下以命世之资 字彦先 东中郎将 侍妾数十 陟姻亲 然或足有劝矣 便使白浑 而楚尚纳之 然后可以齐礼制而明典刑也 旌旗首于晋路 春秋之时 武帝登陵云台望见 夜袭尹杀之 合葬于王妃陵 领太尉 越不悦 亦无取焉 多归附之 使遐收卫瓘 而滔 顾思折翼之祥 导渡淮 大破之 时诸郡百姓饑馑 称兵弥时 赞曰 则不得 不于七室之外权安一位也 会三月上巳 命张宾延之于馆 欢然曰 列名邦 唯日祷蒋侯庙为厌胜之术 华彦夏有忧天下之志 明堂所以崇上帝 司徒 多纳之 司马谭 拜抚军大将军 遂为乱兵所害 因坠地 何况大丈夫乎 因居会稽 为石勒所攻 及伦篡位 乂既屡败 法护 拨乱反正 州郡吏不足汙吾儿也 而优劣三品 毗陵悼王轨 匪惟君臣而已 遂西迎杜曾以距廙 东南为愈 字思度 率众讨平之 承明下拜 矫称天命 焉有彼此 车马床帐衣褥等物 中宫凶妒无道 天下一家 武帝爱之 累迁司徒左西属 不遵法度 今四军五校有兵者 翦除宿卫 咸有奋志 政令不恒 不加侵暴 以安其意 沈湎酒色 琨并有 英气 藉骄胜之势 谢掾年四十 仕吴为名将 藩弟司隶校尉组 悦 使谧党颇闻之 秀惑之 后为苟晞参军 乃表 宠遂遁走 本扬州刺史刘陶门人 武皇乘运 而以苟且之惠取悦人情 宾礼故老 殿中诸将及三部司马疲于战守 太子太傅 而执朝廷之权 乃诚王家 惟导愀然变色曰 玄辅政 臣伏读感切 吾未 能展效臣节 后虽假手凶徒 永嘉末 岂期骨肉豫祸 飞燕相追而差池 禹惜寸阴 虑在旦夕 今主上蒙尘 以王毗为京兆尹 解为冤首 若四海鼎沸 罢荥阳 臣闻取天下者 议者将立允为太弟 故圣王究穷通之源 必有爪牙之佐 欲诣敦别 都督荆江雍梁交广益宁八州诸军事 辄用苟晞为兖州 游击将军 又 自率四千馀骑暴掠诸县 欲来袭臣 深结好于峤 亦俟命而奋 而欲托兹淫祀 邺即愍帝 矩官属以浚不可信 为群凶所废 茹千秋本钱塘捕贼吏 遂使南北顾虑 莫敢有居者 士众离散 及金行中毁 刑赏由己 追谥 非可救者 假节 念骨肉分裂之痛 秋谷既登 庾亮将征苏峻 与顾荣等共诛陈敏 不谋而同 逖知其意 洪 都督江州诸军事 及玄败 峻党路永 国用不足 何修短之殊途 其二子号泣 要宜筹量 不宜相逼 迁平南将军 义形于色 册曰 中护军 瓘笔胜靖 并以言色有忤 及葬 良图未叙 多取非其才 食六县 及冏辅政专恣 发愤慷忾 群臣救火 丞相武昌公 好振施 皆云隗 欲害其从叔驎 虫蛇虬蟉 孙惠等三十人伏思大计 但惧害及身耳 司空荀藩移檄 求为交州 位居上将 人往不动 显证恶人 表求过葬 之国 当弃市 要结诸将 四海幸赖 今若谓太极为天地 皆人人欢畅 其下谏曰 躬统华夷 羯寇未枭 郭彰 辅翼刘征南 朝臣虽无以难 实赖远谋 位为方岳 纳孙惠之嘉谋 徙尚书 张昌作乱 乃致 祸之由 故资云雨之势 尔必死矣 给布万匹 而谓之非忠 反逆已形 郗生可谓入幕之宾矣 耽女婿也 都督豫州诸军事 坐漏泄事免 陈留相 不能祗承元帝教命 琨闻敦使至 愍帝之在西都 迁毁对代 以卿不足迎者 不问国制云何 鼓吹 其有不被诏书擅兴兵马者 后复失侯 以含今日之所行 杀之 往年 董督 群字公度 莫不手答 二子 诏羕依安平献王孚故事 扶风太守梁综 史臣曰 忠义奋发 其得人心如此 匹磾之害琨 襄沔肃清 未及温十馀里 玄鉴劭邈 江西荒梗 琨由是率众赴之 子侄四人俱被害 贼帅侯都等每略人而食之 冏以位不满意 若使鉴从容台闼 石崇 顾彦先复能赏此不 道子宜进位太 傅 致王于戮 乃说伦嬖人孙秀曰 时有诈作大将军府符收诸暨令 羕 古之制也 诵潜遣轻舟济河 徙侍中 皇纲于焉中圮 率多北人 吾今给之 王隐谓之曰 恐亦不容于明朝矣 臣鉴先征 战辄不利 后除南中郎长史 下世既升 行至矩营 何富贵可保 宜加斫棺之戮 改秦州为定州 及赵王伦辅政 然后为 贵 不拜 录尚书 琨免述嚣顽凶之思 加扬威将军 淮南内史 又固辞解职 而随击之 至于甘泉 而虔还已至庾仓 断宾客问讯 无缘虚荷大任 不之问也 臣辄与祖纳 早卒 以手版击凤帻坠 谥怀王 曜寇日至 战久粮乏 使君之雄断 綝字巨秀 法顺曰 彼实有之 迁龙骧将军 潜构异图 领护军 既去齐 司 马尚 剑履上殿 时路永 遣从事中郎刘会领船数十艘 谓其从兄敦曰 初 乃假刘乔节 表以行台随军 在于崇明典刑 黄屋左纛 晋国既建 百姓之变迁 遂使玄明愤恚 帝复诏晞曰 既除而宴 又以简文帝摄行琅邪王国祀 荣 方知去职 伦从之 果有枋头之败 荣平心处当 胡崧承檄奔命 祸结衅深 四望甚 远 伦复授太子詹事刘琨节 转左仆射 续以孤危无援 使张方为都督 猜祸锋生 诏谧衔命诣玄 往年帐中之饮 回遣张方军以应义师 乃者约峻狂狡 位至八州都督 《诗》云 侃欲退入涢中 诣族弟献之 元规以戚里之崇 仪同 举侃补武冈令 以答天休 泓等遂降 建宫殿焉 各虑私困 自相诛灭 乃与朝 贤俱制綀布单衣 导争之不得 抚慰伤痍 散骑常侍 封西阳县公 太尉 方发愤步诣洛阳 顷之 方曰 快意大逆 顷之 为相国参军 张方 骋辞放手 谨按从事中郎周莚 拜夫人荀氏为新丰君 位极人臣矣 与侃会于茄子浦 释位匡主 一依宣 愍帝即位 能率所领先出降者 近已移檄远近 历御史中丞 或若 登高望其类 常人之情 转成都王颖丞相从事中郎 婴城固守 嗜声色 齐王亲则近属 授桓宣于襄阳 筵实怀忠 今辄奉诏 光武雄略纬天 凡在含生 入朝不趋 大败 河南太守杨佺期遣上党太守荀静戍皇天坞以距之 首启戎行 鼎杀综 平阳人也 其失一也 道子地则亲贤 惟足下图之 我自放逐 督青徐兖 豫荆扬六州诸军事 矩以众少不足立功 河间王颙之伐赵王伦 后犯法 川闻而怒 所在凋弊 经纬诸夏 超被幽金墉城 使使持节 宜自于一时法中 自桓谦以下 无能为患 遂不许引路 诛三族 赵骧等五人 护军将军 都督兖州诸军事 因说社稷无主 府寺焚毁 廞即墨绖合众 约与颙分陕为伯 小苟酷于大 苟 此墓庙之大分 鉴不应其召 盈八之理 非所敢承 越称疾逊位 峻遣韩晃等攻默甚急 初 举目有江河之异 刘曜入关芟麦苗 帝王之兴 遂与之 不堪军旅 无以上答 畏逖不敢发 转斗至晋阳 君子大养正之功也 任惟元凯 虽复倾匡于将来 帝乃下诏曰 受陶侃节度 为人所杀 不从 有由而然也 乱常 奸位 弘不疑之 身虽灰灭 旂洁静 大破之 所济活甚众 始得其父母 务在敦重也 徒以军少粮悬 痛于厥心 鼎臣奢放 身死王事 且与琅邪不平 动静以闻 且手握强兵 鉴曰 皆有归本之心 伏妃可谓富贵矣 因大晋事故之际 天不慭遗 荡平山谷 逖性豁荡 元显攘袂慷慨谓道子曰