7.1 复数的概念(精练)(解析版)

7.1 复数的概念（精练）【题组一 实部虚部辨析】1．（2020·江西抚州市）若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-，所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-. 故选：C.2．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（ ） A ．5- B ．5i -C ．5D ．5i【答案】C【解析】复数55z i =-的实部为5.故选：C.3．（2020·广西桂林市）复数3z i =-的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -【答案】C【解析】由复数虚部的定义得复数3z i =-的虚部是1-.故选：C4．（2020·四川省成都市新都一中高二期中）复数24i z =--的虚部是（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】因为24i z =--，所以由复数定义可知虚部是4-，故选：C.5．（2020·江苏宿迁市·高二期中）已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】因为1z i =-，则虚部为1-.故选：C. 【题组二 复数的分类】1．（2021·江西景德镇市）已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】()()()1i 1i 11i z m m m =--+=--+，因为z 为纯虚数且m 为实数，故1010m m -=⎧⎨+≠⎩，故1m =，故选：D2．（2021·甘肃兰州市·兰州一中）i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.3．（2021·江西南昌市）设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.4．（2020·贵州毕节市）已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．4iC ．2±D ．4【答案】D【解析】2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，∴24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，即2a =．∴复数z 的虚部为4． 故选：D ．5．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高二期末）已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-2或2【答案】B【解析】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=-故选：B6．（2020·北京市八一中学高二期中）若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 【答案】-1【解析】复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则1020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以1m =-. 故答案为：-17．（2019·河南洛阳市·高二期中（文））已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________ 【答案】1-【解析】由题意，复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则满足223030m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-，即实数m 的值为1-.故答案为：1-.8．（2020·林芝市第二高级中学）实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？【答案】（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =. 【解析】（1）若22150m m --=，则z 为实数，此时3m =-或者5m =. （2）若22150m m --≠，则z 为虚数，此时3m ≠-且5m ≠.（3）若2302150m m m -=⎧⎨--≠⎩ ，则z 为纯虚数，此时3m =.9．（2020·辽源市田家炳高级中学校）已知复数()()11z m m i m R =++-∈. （1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =-【解析】（1）复数()()11z m m i m R =++-∈，若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．（2021·江西上饶市）已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-.【解析】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-， 直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>，解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-. 【题组三 复数的几何意义--复平面】1．（2019·重庆市江津第六中学校高二期中）在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题,1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,在第二象限,故选:B2．（2020·甘肃省岷县第二中学）若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限 D．在第四象限【答案】D【解析】因为()2245210a a a -+=-+>，()2226150b b b -+-=---<， 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D3．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈的实部()2lg 2a x -=+、虚部()221x x b -=-+-.因为()22221lg 20x x +≥>⇒+>,所以0a <. 因为21122202x x x x --≥-+⇒≥>+,所以0b <. 所以复数z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C4．（2020·朔州市朔城区第一中学校）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --【答案】B 【解析】12z i =+，1z ∴在复平面内对应点的坐标为(2,1)，由复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)-，22z i ∴=-+，故选：B ．5．（2020·重庆高二期中）已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____. 【答案】(),2-∞-【解析】()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点()21,4m m +-在第二象限，所以21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-，即实数m 的取值范围是(),2-∞-.故答案为：(),2-∞-6．（2020·浙江台州市·高二期中）已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.【答案】3- 21m <<+【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．z对应点在第二象限，则22lg(2)0230m m m m ⎧-<⎨+->⎩，解得21m <<．故答案为：3-；21m <<+7（2021·宁夏长庆高级中学）在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________． 【答案】()()2,12,--+∞【解析】根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．【题组四 复数的几何意义--模长】1．（2021·浙江高二期末）已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【解析】因为a R ∈所以a i -==，即215a +=，解得2a =±，故选：C2．（2020·辽宁沈阳市·高二期中）设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______. 【答案】22(1)1y x +-=【解析】由题意，设复数(,)z x yi x y R =+∈，因为1z i -=1=，整理得22(1)1y x +-=，即复数z 在复平面内对应的点为(),x y 则,x y 满足的关系式为22(1)1y x +-=.故答案为：22(1)1y x +-=.3．（2021·江苏高二）已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______.【答案】3- 【解析】∵()123ai b a i +=++∴123ba a =⎧⎨=+⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，则333a bi i +=-+===故答案为：（1）3-；（2）4．（2020·北京人大附中高二月考）已知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 【答案】2【解析】根据复数模的计算公式得：22212+222z z i i i -=+--=.故答案为：25．（2020·上海市通河中学高二期中）若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________． 【答案】[]3,7【解析】342z i ++≤的几何意义为复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离，∵||5OA ==，5252z ∴-≤≤+.∴z 的取值范围为[]3,7． 故答案为：[]3,7． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）（2020·江苏泰州市·高二期末）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【解析】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确. 故选：BCD.2．（2020·重庆高二期末）若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 【答案】D【解析】复数12z i =+（i 为虚数单位）显然不是纯虚数，12z i =+的实部是1，z 的共轭复数为12i -，z =D 正确，故选：D.3．（2020·山东聊城市·高二期末）已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数 【答案】D【解析】由题意可得，1z i =-+，则1z i +=为纯虚数，12z i i +=-+是虚数，但不是纯虚数， 故选：D ．4．（2020·咸阳百灵学校）关于复数3－4i 的说法正确的是（ ） ①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④【答案】C【解析】复数3－4i 的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确；在复平面内对应的点为(3,4)-在第四象限，③正确；复数3－4i 的共轭复数为3+4i ，④正确.故选：C.。