3.2.2复数加减法的几何意义
3.2.2复数代数形式的乘除运算
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1： 复数代数形式的乘法运算 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结 合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.
复数的加减运算及几何意义
§3.2复数代数形式的四则运算§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：掌握复数的加法运算及意义教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 b Z(a ，b)a oy x8.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =9. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲解新课：一．复数代数形式的加减运算１．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .2. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.4.结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ， ∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z = ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为 A.32 B.22 C.2 D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值.10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学情分析】：学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体.【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.（2）过程与方法：从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。
培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。
（3）情感态度与价值观：通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。
【教学重点】：复数代数形式的加减运算及其几何意义。
【教学难点】：复数代数形式的加减运算几何意义。
【课前准备】：powerpoint课件边形12oz zz ，根据向量的加法法则，对角线oz ，正是两个复数之和12z z +所则，类似地，向量i。
分析：复数的加减法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复对应的复数。
意义知：向量28z-=-+解：①62i-1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ）A.1B. i -C. 52i +D. 1- i 解：Ａ2．已知复数33,z z i i z +-=-满足则＝（ ）A ．0B 。
2iC 。
6D 。
62i - 解：Ｄ3．|(32)(4)|i i +--等于（ ）A B C ．2 D ．13i -+ 解：Ｂ4．若||1,z z =则复数对应的点的轨迹是（ ）.A. 一个点B. 两个点C. 四个点D. 一个圆 解：Ｄ5．|(32)(1)|i i +-+表示（ ）.A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离B. 点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离C. 点（3，2）到原点的距离D.以上都不对 解：Ａ6．在复平面上复数1,0,32i i -++所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线BD 的长为 。
复数加减法的几何意义 PPT
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即： 对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。
3.2.2复数的乘法与乘方(1)
2
（ac bd ) (bc ad )i
(2) 把
说明:(1) 两个复数的积仍然是一个复数；
i
2
换成－1，然后实、虚部分别合并.
(3) 即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
,
( z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ),
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
一讲一练1：
复平面内点A、B分别对应复数 zA=2-3i 和
zB=－3+2i ，则向量 BA 对应的复数是
5 - 5i
分析： BA OA OB ( 2, 3 ) ( 3,2 ) ( 5, 5 )
另解：其对应复数 (2－3i) －(－3+2i)= 5－5i
0
课堂练习：
已知 求
z1 1 i , z2 2 i
z1 ,
6
( z1 z 2 )
2
应用举例
8) 的值，观 例3、计算 i (n 1,2,3,， 察运算结果并找出规律
n
解：i i
1
i 1 i i
2 3
i 1
4
i i
5
i 1 i i
6 7
i 1
应用举例
例1、计算 （ 1 ） （ 1 i） (3 2i) 3 3i 2i 2i 2
1 5i
（2） (a bi) a 2abi b i
2
2
2 2
a 2abi b 2 2 a b 2abi
2
2
例2
设 1 3 i ，求证：
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的乘法
24
22
(x 1 3 i)(x 1 3 i)
22
22
解(2)
x3 1 (x 1)(x2 x 1) (x 1)[(x 1)2 3] 24
(x 1)[(x 1)2 ( 3 )2 ] 22
(x 1)(x 1 3 i)(x 1 3 i)
22
22
课堂小结
一. 数学知识：(1)复数乘法运算 (2)复数乘方运算
不能比较大小 模可以比较大小
与复平面的 点一一对应
(a bi)(c di) (a c) (b d)i
(a bi)(c di) (a c) (b d)i
讲解新课
1.复数的乘法：z1 a bi, z2 c di(a,b, c, d R) z1 z2
z1=a+bi z2=c+di
复数复数的乘法运算复数的除法负数的乘法复数乘法复数的乘法公式复数的乘除法复数的平方
3.2.2复数的乘法
知识回顾
1.复数加减法的运算：
z1 z2 (a c) (b dy )i
2.复数加减法运算的几何意义：
z1
z
复数对应向量满足平行四边形法则
3.两个复数相减的模|z1-z2|的应用o
z2 x
a 2 b2 (a bi)(a bi)
结论：两个共轭复数 的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模 的平方。
例2计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=（11-2i)(-2+i) =-20+15i .
练习：计算 －2i(4 7i)(1 1 i) 24Biblioteka 例3 设 1 3 i ，求证：
第三章3.2-3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是
不能颠倒的．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)复数与向量一一对应．( ) (2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2 ＋z3)可能不成立．( ) (3)若复数 z1，z2 满足 z1－z2>0，则 z1>z2.( )
＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
法二：设 O 为坐标原点，z1，z2，z1＋z2 对应的点分 别为 A，B，C.
因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， 所以△OAB 是边长为 1 的正三角形， 又以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB， 所以四边形 OACB 是一个边长为 1 的菱形， 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长， 所以|z1＋z2|＝|O→C|
类型 2 复数加减法的几何意义(互动探究) [典例 2] 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O、 A、C 对应复数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求：
(1)A→O所表示的复数，B→C所表示的复数； (2)对角线C→A所表示的复数． 解：(1)A→O＝－O→A，所以A→O所表示的复数为－3－2i. 因为B→C＝A→O，所以B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
3．掌握以下常用结论． 在复平面内，z1，z2 对应的点分别为 A，B，z1＋z2 对 应的点为 C，O 为坐标原点，则： (1)四边形 OACB 为平行四边形； (2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
复数加减及其几何意义
知识回顾
1、复数的概念：形如_a__+_b__i(_a_，__b__∈__R的) 数叫做复数， a，b分别叫做它的_____实___部__和__虚_。部
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件
课堂小结
1.复数代数形式的加减运算: 复数可以求和差，虚实各自相加减。
2.复数加减运算的几何意义:
一一对应
复数加减
复平面的点坐标运算
一一对应 平面向量加减 一一对应
（数）
一一对应
（形）
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
一一对应
z=a+bi Z(a,b)
y
建立了平面直角坐标系来
表示复数的平面------复数平面
(简称复平面)
b x轴------实轴
y轴------虚轴
a
ox
二、复数加法与减法运算的几何意义
一一对应
复数z=a+bi
是a1=a2， _b__1_=_b__2_____小_。数
正分数
有理数 分数 零
实数 a (b=0)
负分数
复数z = a+bi
无理数 无限不循环小数
(a、bR)
虚数
a+bi (b0)
纯虚数bi (a 0，b 0) 非纯虚数a+bi(a 0，b 0)
3、复数的几何意义是什么？
3、复数的几何意义是什么？
结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行,复数的 和对应向量的和。
问题探索
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
归纳总结
二、复数加法与减法运算的几何意义
0
x
• 复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
y Z Z2
Z1
0
x
(1)
y
Z2
Z1
0
x
(2)
复数的和对应向量的和 复数的差对应向量的差
几何意义运用
练习、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
z
x
o１
几何意义运用
变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数.
解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图.
y
在平行四边形 AOBC中,
C A
0
OC OA OB
B
OC (3,2) (2,1) (1,3)
x ∴ 点C对应的复数是 -1+3i
转化推广
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
?由此出发探讨复 数加法的几何意义
a
ox
问题探索
1.复数加法运算的几何意义?
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
y
Z(a+c,b+d)
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
x
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
转化推广
复平面内两点间距离
设Z1= a+ bi , Z 2 =c+di 它们在复平面内分别对应于 点Z1 ,Z2 Nhomakorabeay
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2