复数加减法的几何意义 PPT

3.2.1 复数代数形式的加、减运算 及其几何意义
1.
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
一一对应 向量 OZ
一一对应
2.复数与其相对应的向量的模相等，即： 对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi在复
平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
(5). z 1
点( x, y)到点(0,1)的距离
练习：
1.若复数z满足z 1 z 1 ,求z 1的最小值。
z 1 min 1
2.若z1 1, z2 2,求z1 z2 的最值。
z1 z2 max 3, z1 z2 min 1
y
(x, y)
B
y
2
1
A
(1,0) o (1,0) x
1.复数加、减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与 实部,虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有
所以
| z | = a2 b2
问题： 复数的模为一实数。则复数的模可以
进行加、减、乘、除四则运算。 那么，复数本身是否也可以进行加、
减、乘、除四则运算呢？
1.复数代数形式的加、减法运算法则，即：
z1+z2=？
z1-z2=？
2.复数代数形式的加、减运算的几何意义；
3.特别的：z1 z2 的几何意义。
2 1 o
12
C
x
1
2
3.若纯虚数z满足z 1 i 3,求z.Байду номын сангаас
解析：由z 1 i z (1 i)，
如图所示可得 z (2 2 1)i或z (2 2 1)i
y Z(0, y)
B 1
A(1,1)
o Z(0, y)
x
1. (1)复数加、减法的运算法则：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
由平面向量的坐标运算 得
OZ 1 OZ 2 (a c , b d ).
说明两个向量 OZ1,OZ2的和就是与
y
Z
复数(a c) (b d )i 对应的向量。 Z2(c,d )
因此，复数的加法可以按照向量的加 法来进行（如右图所示）。
这就是复数加法的几何意义。
Z1(a, b)
o
x
图3.2 1
类似地,复数减法:
y
Z2(c,d) OZ1-OZ2
Z1(a,b)
O
x
Z
OZ1 OZ2 (a c,b d )
z1 z2 (a c) (b d )i 这就是复数减法的几何意义.
z1 z2
表示复数 z1 , z2 所对应点之间的距离。
设z1 x1 y1i, z2 x2 y2i,则： z1 z2 （x1 x2） ( y1 y2 )i （x1 x2）2 ( y1 y2 )2
5
（2）5 (3 2i) （3）(3 4i) (2 i) (1 5i)
（4） (2 i) (2 3i) 4i
2 2i
2 2i
0
（1）复数加法的几何意义：
设 OZ 1 , OZ 2 分别与复数 z1 a bi , z 2 c di 对应 ,
则有 OZ 1 (a , b ), OZ 2 (c , d ) ,
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i) (2 i) (3 4 i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习：计算下列各式
（1）(2 4i) (3 4i)
例2. 设z x yi,( x, y R)
下列各式表示的几何意义。
(1). z (1 2i) 点( x, y)到点(1,2)的距离 (2).(3 4i) (1 2i) 点(3,4)到点(1,2)的距离
(3). z 1
点( x, y)到点(1,0)的距离
(4). z i
点( x, y)到点(0,1)的距离
(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何
z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数加、减法的几何意义
y
Z2 (c, d )
o
Z
Z1 (a, b) x
y
Z2(c,d) OZ1-OZ2
Z1(a,b)
O
x
Z
z1 z2
表示复数 z1 , z2 所对应点之间的距离。