复数的概念与几何意义
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
复数概念及其几何意义课件
复数概念及其几何意义课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版数学教材八年级上册第四章“复数”的第二节“复数的概念及其几何意义”。
这部分内容主要包括复数的基本概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的分类。
二、教学目标1. 理解复数的基本概念，掌握复数的代数表示法。
2. 能够运用复数的几何意义解决实际问题。
3. 培养学生对数学知识的兴趣，提高学生的数学思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：复数的几何意义及其应用。
2. 教学重点：复数的概念、代数表示法及其几何意义。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、彩色笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个实际问题：“在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点Q的坐标是多少？”让学生思考，引导学生发现解决问题需要引入一个新的数学概念——复数。
2. 复数的基本概念：教师通过讲解，引导学生掌握复数的概念：复数是实数的拓展，用字母a+bi（a、b为实数，i为虚数单位，i²=1）表示。
3. 复数的代数表示法：教师通过示例，让学生学会用复数的代数表示法表示各种形式的复数，如2+3i、12i等。
4. 复数的几何意义：教师通过几何图形，让学生理解复数的几何意义：在平面直角坐标系中，复数a+bi对应的点位于以原点为中心，半径为|a|的圆上，且与实轴的夹角为θ（θ=arctan(b/a)）。
5. 复数的分类：教师讲解复数的分类：实数、虚数、纯虚数、共轭复数等。
6. 例题讲解：教师通过讲解例题，让学生掌握复数的运算规则，如加、减、乘、除等。
7. 随堂练习：教师给出随堂练习题，让学生运用所学知识解决问题，如计算复数的加减乘除、判断复数的类型等。
8. 作业布置：教师布置作业，让学生进一步巩固所学知识，如绘制复数的几何图形、解决实际问题等。
六、板书设计1. 复数的基本概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何意义4. 复数的分类七、作业设计1. 绘制复数2+3i和12i在平面直角坐标系中的几何图形。
5.1复数的概念及其几何意义-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
O 1 2
x
的圆(如图(1)).
|z|=2
图(1)
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2；
(2) 2≤|z|≤3.
解： (2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
|z|≤3，
|z|≥2.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
y
b
Z
O
a x
课文精讲
➢ 复数的几何意义
虽然两个复数一般不能比较大小，
但它们的模是非负实数，可以比较大小.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2；
(2) 2≤|z|≤3.
解： (1)复数z的模等于2表明，向量的
模等于2，即点Z到原点O的距离等于2，
y
因此满足条件|z|=2的点Z的集合
典型例题
例2：设x，y∈R，(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，
求x，y的值.
解： 由复数相等的定义，得
x+2=-3y
-2x=y-1
解这个方程组，得
x=1
y=-1
课文精讲
➢ 复数的几何意义
问题提出
我们知道，实数与数轴上的点一一对
应，可以用数轴上的点来表示实数.复数
z=a+bi(a，b∈R)由实部a和虚部b两个实
故答案为：1+i.
本课小结
复数的概念
复数的概念及其
几何意义
复数的几何意义
再 见
它是实数.
课文精讲
➢ 复数的概念
两个复数a+bi 与c+di (a，b，c ， d∈R)相等
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
数学中的复数及其几何意义
数学中的复数及其几何意义在数学中，复数是一种比实数更为普遍的数。
一般来说，一个复数由实部和虚部组成，它们分别是实数。
复数的定义最初是为了解决方程$x^{2}+1=0$，因为$1$不等于$-1$的时候，该方程无解，但当我们引入复数$i$时，就可以得到该方程的解$x=i$。
复数在解决方程方面有着很大的用处，但它们的重要性远不止于此。
复数还具有在几何学中描述旋转的图形的能力。
如果我们将复数看作一个有序对$(a,b)$，其中$a$是实部，$b$是虚部，那么在坐标系中，每个复数都可以用一个点表示。
可以将实轴设置为$x$轴，虚轴设置为$y$轴，以原点为中心，建立一个平面直角坐标系。
在这个坐标系中，复数$a+bi$可以表示为点$(a,b)$。
现在，我们考虑一下复数的乘法。
如果$a+ib$与$c+id$相乘，我们可以通过将它们展开并合并相同项来得到：$$(a+ib)·(c+id)$$$$=ac+iad+ibc+i^{2}bd$$由于$i^{2}=-1$，所以：$$=ac+i(ad+bc)+(-1)bd$$$$=ac-bd+i(ad+bc)$$由此可以看出，复数的乘法满足分配律、交换律和结合律。
从几何角度来看，复数的乘法可以用于表示旋转。
假设我们有一个向量$z=(a,b)$，可以将它看作点$(a,b)$到原点的线段。
我们可以通过将该向量乘以一个复数$t=s+ti$来将它转换为另一个向量。
这个复数$t$在坐标系中的表示形式为$(s,t)$，我们可以将它看作一个点。
当我们将向量$z$乘以$t$时，可以将$z$绕原点旋转一个角度，这个角度由点$t$的位置决定。
具体来说，设$z=(a,b)$，$t=(s,t)$。
那么向量$zt$的坐标可以表示为：$$zt=(as-bt,at+bs)$$可以看出，向量$zt$的长度与向量$z$的长度相同，只是方向不同。
如果$t$是一个单位长度的复数，那么$zt$的长度和$z$的长度相同，只是方向不同。
人教版普通高中数学B版必修第四册 第十章 10.1.1复数的概念及几何意义
例题示范
例 1．说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，
并指出复数的实部与虚部．
2 7， 0．618， 2 i ， i2 ， 7
i(1 3) ，
3-9 2i .
例题示范
例 2（课本 P27 页）
分别求实数 x 的取值，使得复数 z=(x 2)+(x+3)i
（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
新知探究
思考 3：设 3+i 与 3-i 在复平面内对应的点分别为 A 与 B， 则 A，B 两点位置关系怎样？
一般地，当 a，bR 时，复数 a+bi 与 a-bi 在复平面内对应 的点有什么位置关系？
活动 2:共轭复数：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数， 则称这两个复数互为共轭复数．
称 y 轴为虚轴．
新知探究
思考1：下列命题中的假命题是（ D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．
思考 2：“a=0”是“复数 a+bi (a ， b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ C ）．
复数定义：一般的，当 a 与 b 都是实数时，称 a+bi 为复数．
复数一般用小写字母 z 表示即 z=a+bi（ a,b R ）
其中 a 称为 z 的实部，b 称为 z 的虚部，分别记作 Re(z)=a，Im(z)=b．
所有复数组成的集合称为复数集，用大写字母 C 表示，即 C={z|z=a+bi, a,b R } ．
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
高中数学人教A版选修第章复数的概念与几何意义课件
变式2:复数
当实数m= 时
变式1:当m为何实数时，复数
是
复数相等的 我们把 i 叫做虚数单位，并且规定：
解:（1）当m-1 =0 ，即m=1 时，复数z 是实数．
转化
∴当 或 时，z是纯虚数．
问题 如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值).
若z1，z2为实数时，则具有大小关系
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。
（3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数。
0 例3：下列命题中的假命题是（ ）
可用下图表示出他们彼此的关系： (2)z2=-3+4i
整数
若z1，z2为实数时，则具有大小关系
把实数a与实数b与i相乘的结果相加，结果记作：a+bi；
由模的定义可知： |z|= |a+bi|=r=
(r 0,
).
分数
实数
当a= 0 且b ≠0时，则z为纯虚数
复数的实质是一对有序实数对！
（2）向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|。 例4：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x+y+4=0上，求实数m的值。
是
由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
即
时，复数z 是
实数一一对应数轴上的点 （3）若a为实数，则z= a 一定不是虚数。
若z1，z2为实数时，则具有大小关系
求x，y
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百度文库 - 让每个人平等地提升自我
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第三章第一节 数系的扩充与复数的概念
学习目标
1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。
2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。
自学探究
问题1. 在实数集中方程x2-1=0是什么？ 方程x2+1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能
设想一种方法，使这个方程有解吗？
问题2.复数的概念是什么？
问题3.若复数a+bi=c+di，则实数a、b、c、d满足什么条件？
问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。
练习题：
（一）完成课本104页1，2，3
（二）1.实数m取何值时，复数z=m+1+(m-1)i是实数？虚数？纯虚数？
2.已知i是虚数单位，复数Z=(m2-4)+(m+2)i，当m取何实数时，Z是：（1）实数 （2）纯虚数
3. 如果222(32)zaaaai为实数,求实数a的值。
4.若(32)(5)172xyxyii，则,xy的值是？
5.已知复数abi与3(4)ki相等，且abi的实部、虚部分别是方程x2-4x+3=0的两根，试求：,,abk的
值。
[思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？
第三章第二节 复数的几何意义
学习目标
1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想；
2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。
自学探究
问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？
问题2.复数Z= (,)abiabR（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？
问题3.怎样求一个复数的模？
练习题：
（一）完成课本105页1，2，3；106页A组全做
（二） 1.若复数12zi，求z的模。
2.若复数22(34)(56)Zmmmmi表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z的模。
3.在复平面内指出与复数112zi，223zi，332zi，42zi对应的点1Z，2Z，3Z，4Z. 试
判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义
1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义；
2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。
自学探究
问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？
复数加法的几何意义呢？
问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。
问题3.若复数z1+z2=z3,你能否用z2和z3表示出z1 ？请画图说明。
你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？
练习题：
（一）完成课本109页1，2
（二）计算 （1）(56)(2)(34)iii （2）5i-(-2+3i)+(4-7i)
2 . 已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，32i，24i，试求：
（1）AO表示的复数； （2）CA表示的复数； （3）B点对应的复数.
3.ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是13,,2iii，求点D对应的复数.
4. 当213m时，复数(3)(2)mii在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第三章第四节 复数代数形式的乘除运算
学习目标
1. 理解共轭复数的概念；
2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。
自学探究
问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=?
问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。
问题3.复数34i与3-4i有何关系？abi的共轭复数是什么？bi的共轭复数是什么？
思考：若12,zz是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？
（2）12zz是一个怎样的数？有何特征？
问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i）Z =4+3i中的复数Z =？
你能得出复数除法运算法则吗？
练习题：
（一）完成课本111页1，2，3；112页A组1至6题;116页A组全做，B组1，2题。
（二）1. 复数52i的共轭复数是（ ）
A．2i B．2i C．2i D．2i
2.如果复数212bii的实部和虚部互为相反数，那么实数b的值为（ ）
A．2 B．2 C．23 D．23
3. 若12zi，则22zz的值为
4. 计算
（1）13()(1)22ii； （2）3113()()2222ii
5. 若复数z满足11ziz，则|1|z的值为
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课）
1. 设134zi，223zi，则12zz在复平面内对应的点（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 2(1)ii等于（ ）
A．22i B．22i C．2 D．2
3. 复数21(1)i的值是（ ）
A．2i B．2i C．2 D．2
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4.复数21i的实部是 ，虚部是
5. (158)(12)ii的值是
6. .在复平面内，复数1ii对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.复数3(1)i的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2
8.已知niminmniim是虚数单位，则是实数，，，其中11
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
9.复数2i321i的值是_________.
10.设,xy为实数，且511213xyiii，则xy 。
11.若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ．
12.已知(12)43izi，求Z及zz.
13.若122,34zaizi，且12zz为纯虚数，求实数a的值.
14.已知mR，复数2(2)(23)1mmzmmim，当m为何值时，
（1）zR？
（2）z是纯虚数？
（3）z对应的点位于复平面第二象限？
（4）z对应的点在直线30xy上？