复数的几何意义(教学设计)
复数的几何意义教案
3.1.3 复数的几何意义1．复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x 轴叫做实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R) 复平面内的点 Z(a ，b) ；②复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)平面向量____OZ →＝(a ，b)_____． 2．复数的模复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|＝_a 2＋b 2_____.3．共轭复数当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋bi ，那么z ＝a －bi ，当复数z ＝a ＋bi 的虚部b ＝0时，有__ z ＝z __，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)的模就是向量OZ →＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|.|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离．例2 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围．解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a<7.小结 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．跟踪训练3 设z∈C，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.解 方法一 (1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ →的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z|≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部．方法二 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)．(1)|z|＝2，∴x 2＋y 2＝4，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．(2)|z|≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑． 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)对角线CA →表示的复数；(3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋yi(x ，y∈R)，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ＋yi)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x－1)＋(y －2)i ＝1－3i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， (a －c)2＋(b －d)2＝1 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c 2＋b ＋d 2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C.∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长，∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3.小结 (1)设出复数z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋bi)(c ＋di)＝____(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ____________.2．复数乘法的运算律3设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(c ＋di≠0)，则z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝__ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i _______________.探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(4)①z·z ＝|z|2＝|z |2；②z 2＝z 2；③z 1·z 2＝z 1·z 2.例2 已知复数z 满足|z|＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则z ＝a －bi 且|z|＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋bi)＝(3a －4b)＋(3b ＋4a)i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a≠0. ② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i. 小结 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.。
复数的几何意义 精品教案
复数的几何意义【教学目标】1．知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系。
2．过程与方法：了解复数的几何意义。
3．情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。
【教学重点】复数与从原点出发的向量的对应关系。
【教学难点】复数的几何意义。
【教学过程】一、新课引入复数z=a+bi(A ．b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(A ．b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定。
学生探究过程：1．若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =；2．若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OB -=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)二、讲授新课： 复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(A ．b ∈R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(A ．b ∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b)惟一确定，如z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】第一章：复数的概念1.1 实数与虚数实数：所有形如a+0i的数，其中a是实数。
虚数：所有形如a+bi的数，其中a、b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.2 复数的表示字母表示法：用a+bi表示一个复数。
括号表示法：用(a,b)表示一个复数，其中a是实部，b是虚部。
1.3 复数的相等两个复数a+bi和c+di相等，当且仅当a=c且b=d。
第二章：复数的运算2.1 复数的加法两个复数a+bi和c+di相加，得到(a+c)+(b+d)i。
2.2 复数的减法两个复数a+bi和c+di相减，得到(a-c)+(b-d)i。
2.3 复数的乘法两个复数a+bi和c+di相乘，得到(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.4 复数的除法两个复数a+bi和c+di相除，先求它们的乘积，再用乘积的实部和虚部分别除以被除数的模的平方。
第三章：复数的模3.1 复数的模的定义复数a+bi的模定义为|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)。
3.2 复数的模的性质模是非负实数。
模与复数的实部和虚部有关，而与它们的比例无关。
3.3 复数的模的几何意义复数的模表示复平面上点到原点的距离。
第四章：复数的共轭4.1 复数的共轭定义复数a+bi的共轭定义为a-bi。
4.2 复数的共轭的性质两个共轭复数的模相等。
两个共轭复数的乘积的模是它们的模的平方。
4.3 复数的共轭的几何意义复数的共轭表示复平面上与原点关于实轴对称的点。
第五章：复数的几何表示5.1 复数与复平面复数可以表示为复平面上的点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
5.2 复数的四则运算在复平面上的表示加法、减法、乘法、除法可以通过在复平面上相应操作点的几何意义来表示。
5.3 复数的模和共轭在复平面上的表示模表示点到原点的距离，共轭表示点关于实轴的对称点。
第六章：复数与复平面上的图形6.1 复数的圆表示复平面上的点可以绕原点旋转，形成圆。
单位圆：半径为1的圆，其上的点表示模为1的复数。
复数的几何意义教学设计
复数的几何意义教学设计《复数的几何意义教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容复数的几何意义【学习目标】1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、复数的模等概念3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法【要点探究】要点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做.显然，实轴上的点都表示_________;除了_______外，虚轴上的点都表示______.2.复数的几何意义①按照上述表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点，这是复数的一种几何意义.②在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定;反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量________，这是复数的另一种几何意义.则有右图:要点2复数的模如图所示，向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a+bi|.即=______________.显然的几何意义是___________________________[思考]已知,则的几何意义是什么?【典型例析】例1.在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、三象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的值(取值范围)变式1.(1)复平面内，复数z=i+2i2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i例2.(1)已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.(2)已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是,求z变式2.(1)复数z1=a+2i，z2=-2+i，如果|z1|<|z2|，那么实数a 的取值范围是.例3.满足下列条件的复数z对应的点构成的集合是什么图形?(1)|z|=2;(2)|z|≤3;(3)|z-i|=1变式3.已知z1=2(1-i)，且|z|=1，则|z-z1|的最大值是______,最小值是________.复数的几何意义教学设计这篇文章共3124字。
复数的几何意义教案
复数的几何意义教案【最新精选】一、教学目标：1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的代数表示方法。
2. 引导学生了解复数的几何意义，能够将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：复数的概念，复数的代数表示方法，复数的几何意义。
2. 难点：复数与复平面上的点的对应关系，复数的运算规则。
三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解复数的基本概念和运算规则。
2. 运用直观演示法，通过示例让学生了解复数的几何意义。
3. 采用练习法，让学生在实践中掌握复数的运算方法和几何意义。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，展示复数的相关概念和图形。
2. 准备黑板，用于板书关键知识点。
3. 准备练习题，巩固学生对复数的理解和运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习实数的概念，引入复数的概念。
2. 讲解复数的基本概念：讲解复数的定义，阐述复数的代数表示方法。
3. 展示复数的几何意义：介绍复平面，讲解复数与复平面上的点的对应关系。
4. 复数的运算规则：讲解复数的加减乘除运算方法，并通过示例进行演示。
5. 练习与巩固：让学生在课堂上完成练习题，检验对复数的理解和运用。
6. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调重点知识点。
7. 布置作业：布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学拓展：1. 引导学生了解复数的分类，包括实数、虚数、纯虚数和零数。
2. 讲解复数在实际应用中的例子，如电子电路中的信号处理、物理学中的振动分析等。
七、课堂互动：1. 设置小组讨论环节，让学生探讨复数在实际问题中的应用。
2. 组织学生进行复数运算竞赛，提高学生的运算速度和准确性。
八、教学评估：1. 课后收集学生的练习作业，评估学生对复数的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行简短的复数知识测试，了解学生的学习效果。
九、教学反馈与调整：1. 根据学生的作业和测试情况，及时给予反馈，指出学生的错误和不足。
《复数的几何意义》教案、导学案、课后作业
《7.1.2 复数的几何意义》教案【教材分析】复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.【教学重点和难点】重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【教学过程】一、情景导入提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本70-72页，思考并完成以下问题1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点Z (a ，b ) .(2)复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )平面向量OZ ―→. [规律总结] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．3．复数的模(1)定义：向量OZ ―→的 模 r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．四、典例分析、举一反三题型一 复数与复平面内的对应关系例1求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x 轴上方.【答案】(1) a ＜－3. (2)a ＞5或a ＜－3.【解析】(1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧ a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧ a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤）(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练一1、实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于直线x －y －3＝0上【答案】(1)－3<x <2． (2) x ＝－2．【解析】因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．题型二 复数与平面向量的对应关系例2已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→对应的复数是 ( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i【答案】B ． 【解析】 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，根据复数的几何意义，可得向量OA ―→＝(2，－3)，OB ―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA ―→对应的复数是5－5i.解题技巧： (复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练二1、在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数；（2）若ABCD 为平行四边形，求D 对应的复数．【答案】（1）AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）D 对应的复数为－2＋i.【解析】 （1）设O 为坐标原点，由复数的几何意义知：OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，所以AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.（2）因为ABCD 为平行四边形，所以AD ―→＝BC ―→＝(－3,1)，OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D 对应的复数为－2＋i.题型三 复数模的计算与应用例3 设复数．（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．【答案】 （1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．【解析】（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．所以．1243,43z i z i =+=-12,z z 12,z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 15z =25z =12=z z 12,z z 12,Z Z 1OZ 2OZ 1|43|5z i =+==2|43|5z i =-==12=z z例4 设，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）；（2）．【答案】 （1）以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆．（2）不等式可化为不等式 不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z 的集合．容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a ＋b i|＝a 2＋b 2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z |＝|OZ ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两z C ∈||1z =1||2z <<||1z =OZ ||1z=1||2z <<2,1.z z ⎧<⎪⎨>⎪⎩||2z <||2z =||1z >||1z =1||2z <<点的距离)的问题解决．跟踪训练三1、已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于 ( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i【答案】A.【解析】由题意得⎩⎨⎧ a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.【教学反思】本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容比较抽象，学生理解起来有一定难度。
(完整版)复数的几何意义(教学设计)
§3.1.2复数的几何意义（教学设计）备课组：*****数学组主备人：***** 审核人：*****授课类型：新授课授课教师：*** 授课时间：****年**月**日复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
1.知识与技能目标理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模.2.过程与方法目标通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.3.情感与态度价值观目标通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.重点：复数的几何意义以及复数的模；难点：复数的几何意义及模的综合应用.教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式.学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式.：三角板、多媒体等教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境1.复数的代数形式为z a bi=+，a为实部，b为虚部。
2.复数),(Rbabiaz∈+=是实数、虚数、纯虚数所满足的条件分别是？针对上述问题，学生进行讨论。
学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。
新知探究一：复数的几何意义思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存在，这个点的形式是什么？问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关系吗？思考2：平面向量OZ的坐标为),(ba,由此你能得出复数的另一个几何意义吗？教师提出问题学生思考，进行小组讨论。
复数的几何意义教案2
复数的几何意义教案【最新精选】章节一：复数的概念1.1 了解复数的概念：复数是由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1.2 掌握复数的分类：纯虚数、实数和一般复数。
1.3 理解复数在数学中的地位和作用。
章节二：复数的几何表示2.1 了解复平面：将实数轴和虚数轴组成的平面称为复平面，简称C平面。
2.2 学会在复平面上表示复数：将复数a+bi对应的点记作(a,b)。
2.3 掌握复数的四则运算在复平面上的表示。
章节三：复数的几何性质3.1 了解复数的模：复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上的距离原点的远近。
3.2 掌握复数的辐角：复数a+bi的辐角定义为θ= arctan(b/a)，表示复数在复平面上的旋转角度。
3.3 理解复数的几何性质：复数的模和辐角与其在复平面上的位置有关。
章节四：复数的三角表示4.1 了解复数的三角表示：将复数a+bi表示为a(cosθ+isinθ)的形式。
4.2 学会利用三角函数表示复数的模和辐角。
4.3 掌握复数的三角运算：利用三角函数进行复数的四则运算。
章节五：复数的应用5.1 了解复数在电路分析中的应用：交流电的运算。
5.2 学会利用复数解决实际问题：如复数在信号处理、流体力学等领域的应用。
5.3 掌握复数在数学竞赛和科学研究中的重要性。
教学目标：通过本章学习，使学生掌握复数的基本概念、几何表示、几何性质、三角表示及其应用，培养学生在复平面上的空间想象能力和解决实际问题的能力。
复数的几何意义教案【最新精选】章节六：复数的乘法与除法6.1 理解复数乘法的几何意义：两个复数相乘，相当于在复平面上旋转一个角度，并放大或缩小。
6.2 学会复数乘法的三角表示：利用三角函数进行复数乘法运算。
6.3 掌握复数除法的几何意义：将除法转化为乘法，并在复平面上求解。
章节七：复数的加法与减法7.1 理解复数加法的几何意义：两个复数相加，相当于在复平面上平移。
复数的几何意义教学设计
第2课时复数的几何意义（一）教学内容复数的几何意义（二）教学目标1.理解复数的代数表示和几何意义；2.掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念；3.通过运用复数的几何意义求模及轨迹形状问题，提升直观想象素养；4.通过构造平面向量将复数问题转化为图形问题解决，提升数学建模素养．（三）教学重点与难点重点：复数的几何意义．难点：复数的向量表示．（四）教学过程设计一、情境引入我们知道，在引入了新数“i”之后，我们对数的认知也扩充到了复数，复数都可以表示为z=a+b i（a，b∈R）的形式，其中，当b=0时，z为实数，也就是说，实数是复数中的一部分．我们又知道，实数从形的角度来说，它与数轴上的点一一对应，那么一个自然的问题就是：复数从几何角度又有什么意义呢？二、新知探究问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+b i都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？回答：因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+b i与有序实数对（a，b）是一一对应的．而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+b i可用点Z（a，b）表示．设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．例如，复数2+3i可用点（2，3）表示，复数1-i可用点（1，-1）表示；点（-2,1）表示复数-2+i，点（-3,-2）表示复数-3-2i．追问：你能说一说两条坐标轴上的点都代表什么数吗？答案：实轴上点的坐标都（a，0）的形式，所表示的复数虚部为0，都是实数，即实轴上的点都表示实数．虚轴上的点，除原点外，其他坐标都是（0，b）（b≠0）这样的形式，所表示的复数实部为0，虚部不为0，为纯虚数，所以虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．例如，复平面内的原点（0，0）表示实数0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示复数-2+3i等．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系．这就是复数的一种几何意义．设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面．问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？答案：如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+b i，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即：这是复数的另一种几何意义．为了方便，我们常把复数z=a+b i说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一复数．问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？答案：数轴上表示数a 的点到原点的距离，就叫做这个数a 的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模．类比可以得到，复数z =a +b i （a ，b ∈R ）的模：|z |=|a +bi |=√a 2+b 2（a ，b ∈R ）， 从几何上来看复数z =a +b i （a ，b ∈R ）的模表示点（a ，b ）到原点的距离．设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想．三、典例应用例1 设复数z 1=4+3i ，z 2=4-3i ．(1)在复平面内画出复数z 1，z 2对应的点和向量；(2)求复数z 1，z 2的模，并比较它们的模的大小．解：(1)如图，复数z 1，z 2对应的点分别为Z 1，Z 2对应的向量分别为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (2) |z 1|=|4+3i |=√42+32=5，|z 2|=|4−3i |=√42+(−3)2=5．所以|z 1|=|z 2|．问题4：点Z 1，Z 2有怎样的关系？答案：点Z 1，Z 2的实部相等，虚部互为相反数．一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z =a +b i ，那么z̅=a -b i ．追问：若z 1，z 2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？答案：若z 1，z 2是共轭复数，在复平面内它们所对应的点关于实轴对称．例2 设z ∈C ，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？(1)|z |=1；(2)1<|z |<2．解：(1)由|z |=1得，向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模等于1，所以满足条件|z |=1的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆．(2)不等式1<|z |<2可化为不等式{|z|<2|z|>1， 不等式|z |<2的解集是圆||z |=2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z |=1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z |<2的点Z 的集合，容易看出，所求的集合是以原点O 为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．设计意图：加深对复数几何意义的理解．四、梳理小结原点外的虚轴上的点都表示纯虚数OZ OZ的模||OZ叫做复数bi，,a b∈R2|=-为z a bi互为共轭复数的复数对应的点关于。
复数的几何意义(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的几何意义．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节第二课时的内容．通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑。
因此，本节课具有承上启下的作用。
同时对加深学生对数形结合思想的认识，发展学生的思维能力具有重要意义。
二、目标和目标解析目标：（1）理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．（2）掌握实轴、虚轴、模等概念．（3）掌握用向量的模来表示复数的模的方法．目标解析：（1）复数的几何意义，沟通了复数与平面向量、有序等知识的联系，为解决平面向量、三角函数和平面几何问题提供了一种重要途径，实现了数与形，代数与几何之间的沟通.（2）本节内容突出了复数的几何意义，体现了形与数的融合，此外，本节的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决、某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等，再有，本节在研究过程中也运用了类比的研究方法，运用好本节的相关知识素材，让学生体会这些数学思想方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，掌握用向量的模来表示复数的模的方法．三、教学问题诊断分析教学问题一：在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念，但研究复数的几何意义，从思维角度看学生还缺乏经验；因此，在研究其几何意义，探究复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应时有一定难度.解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量的相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量的联系性，这是突破难点的一个重要举措．教学问题二：复数模的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：复习初中学过的圆的定义，距离的定义，将模与距离，与向量的模相类比，从而突破这一难点．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、类比得到复数的几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数几何意义的探究，让学生体会类比推理的基本过程，同时，复数模的几何意义是数形结合的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计与点Z 有什么关系？2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.3.复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值.(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.典例分析，举一反三例1.在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.例2.设O 是原点，向量教师8：完成例1.学生7：复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2mm ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.教师9：完成例2通过例题进一步巩固复数的几何意义，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。
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§3.1.2复数的几何意义（教学设计）备课组：*****数学组主备人：***** 审核人：*****
授课类型：新授课授课教师：*** 授课时间：****年**月**日
复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要基础，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
1.知识与技能目标
理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模.
2.过程与方法目标
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力.
3.情感与态度价值观目标
通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣.
重点：复数的几何意义以及复数的模；
难点：复数的几何意义及模的综合应用.
教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式.
学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式.
：三角板、多媒体等
教学过程
教学
环节
教师活动学生活动设计意图
创设情境1.复数的代数形式为z a bi
=+，a为实部，b为虚
部。
2.复数)
,
(R
b
a
bi
a
z∈
+
=是实数、虚数、纯虚数所满
足的条件分别是？
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生进行讨
论。
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面一个问
题，但在
回答后面
一个问题
时会发现
问题，从
而引起认
知冲突。
新知探究一：复数的几何意义
思考1: 实数与数轴上的点的对应关系是什么？
类比实数的表示，是否也存在一个点与之对应？若存
在，这个点的形式是什么？
问：你能找出复数与有序实数对、坐标点的对应关
系吗？
思考2：平面向量OZ的坐标为)
,
(b
a,由此你能得
出复数的另一个几何意义吗？
教师提出
问题
学生思考，
进行小组
讨论。
学生回答，
并总结
师生共同
总结
通过类
比，找出
复数与有
序实数
对、坐标
点的一一
对应关
系。
从而
找到复数
的几何意
义
通过思考
2，让学生
能够把复
数和向量
相结合，
从而推导
复数的另
一个几何
意义。
认识复平
面
作业1 P54第1、2 （2）（4）（6）
作业2 （链接高考）在复平面内，复数z sin2cos2i =+对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限 C 第三象限 D 第四象限。