导数的几何意义优秀教学设计
导数的几何意义的教学设计
导数的几何意义【教学目标】1. 理解切线的定义2. 理解导数的几何意义3. 学会应用导数的几何意义。
【教学重点与难点】重点:理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义。
割线 --------- ►切线------ 逼近 ------------【教学过程】教学过程设计意图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：(1)已知y=f(x)= y f (x) X2，求f" (1)老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下冋：①f (1)表示什么意思面探究导数的几何意义②求导数的步骤有哪几步？也是依据导数概念的形生：第一步：求平均变化率y f X。
x f(X。
)；成，寻求解决问题的途X X径。
第二步：求瞬时变化率f (X0) lim f X。
X f(X o).X。
X【知识狂图】（即x 0 ,平均变化率趋近.于的确定常数就是该点导数）⑵类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数y f（x）的图象，平均变化率y f X。
x f（x。
）的几何意义是什么？X X生：平均变化率表示的是割线PF n的斜率二、引导探究、获得新知1.得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究X 0，割线的变化趋势，♦多媒体显示：曲线上点F处的切线FT和割线PF n，演示点P从右边沿着曲线逼近点F ,即X 0，割线PP n的变化趋势。
教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？生：先观察后发现，当X 0 ,随着点P n沿着曲线逼近点P,割用逼近的方法体会割线逼近切线。
教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。
突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。
同时引出本节课的研究问题一一导数几何意义是什么？以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住X 0 的联系，在图形上从割线入手来研究问题。
高中数学《导数的几何意义》教案
导数的几何意义
教学目标
1. 了解一般曲线的切线的定义，理解导数的几何意义。
2. 经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
3. 领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受数学与生活的联系。
教学重点
理解导数的几何意义
教学难点
理解切线新定义
教学过程
（一）导入新课
介绍导数的产生源于解决两类问题：
①力学中的速度、加速度问题；
②几何学中曲线的切线问题。
上节课以物理为背景，从“数”的角度研究导数，本节课则从“形”的角度探索导数。
2.发现导数的几何意义
1）从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程，应该如何用数量关系来表示这种变化呢？生：直线方程的变化。
2）怎样求割线方程？（小组讨论）生1：已知两个点坐标，因此选用两点式。
（三）巩固提升
课件中的练习题：判断下图中直线与曲线的位置关系。
生：图1相切；图2相切，有两个交点；图3相交。
（四）课堂小结
知识：导数的几何意义思想：“逼近”和“极限”的思想方法（五）作业设计必做题：导学案练习题。
选做题：导学案提高题
板书设计。
导数的几何意义课程设计
导数的几何意义课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解导数的定义，掌握导数的计算方法；2. 掌握导数的几何意义，能够运用导数解释曲线的切线斜率和函数的增减性；3. 了解导数与函数图像之间的关系，能够分析导数对函数图像的影响。
技能目标：1. 能够准确地计算给定函数在某一点的导数；2. 能够运用导数的几何意义分析曲线的切线斜率和函数的单调性；3. 能够通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的的兴趣，激发他们对导数几何意义的探索欲望；2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，使他们能够运用导数解决实际问题；3. 培养学生的团队合作意识，在小组讨论和交流中互相学习，共同提高。
课程性质：本课程为高中数学选修课程，旨在帮助学生深入理解导数的概念，掌握导数的计算方法，并运用导数的几何意义分析曲线和函数的性质。
学生特点：学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备一定的数学分析能力，但对导数的理解可能还不够深入。
教学要求：通过讲解、例题分析、小组讨论和课后练习等多种教学手段，使学生能够全面理解和掌握导数的几何意义，并能够灵活运用。
在教学过程中，注重培养学生的动手能力和实际问题解决能力，提高他们的数学素养。
二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 导数的定义及其计算方法：回顾导数的概念，强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率；讲解导数的计算规则，包括幂函数、指数函数、对数函数的导数计算。
2. 导数的几何意义：阐述导数与曲线切线斜率之间的关系，解释导数表示曲线在某一点的切线斜率；通过实例分析，让学生理解导数在几何图形中的应用。
3. 函数图像与导数的关系：介绍函数图像的凹凸性、拐点与导数之间的关系；指导学生通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
4. 导数在实际问题中的应用：举例说明导数在物理、经济等领域的应用，让学生了解导数在解决实际问题中的重要性。
教学内容依据教材章节进行安排，具体包括：1. 教材第二章第五节：导数的定义及其计算方法；2. 教材第二章第六节：导数的几何意义；3. 教材第二章第七节：函数图像与导数的关系；4. 教材第二章第八节：导数在实际问题中的应用。
《3.1.3导数的几何意义》教学案3
《导数的几何意义》导学案教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义.教学过程：情景导入：如图，曲线C 是函数y =f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的任意一点，Q (x 0+Δx ，y 0+Δy )为P 邻近一点，PQ 为C 的割线，PM //x 轴，QM //y 轴，β为PQ 的倾斜角. .tan ,,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则合作探究：探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？y x∆∆请问：是割线PQ 的什么?新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =____________.当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 精讲精练：例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例2 如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的函数图象.根据图象，估计t =0.2，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).有效训练练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数.反思总结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆.。
导数的几何意义-教案(详案)
教 学 过 程设 计 意 图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们初步了解了一些微积分背景知识，对有“微积分之父”之称的牛顿和莱布尼慈，也相识了（幽默：同时知道当爹的不易），之后重点学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化．．．．率．。
那么： 提问：(1) 求导数0()f x '的步骤有哪几步? 生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）： 第一步：求增量y ∆第二步：求平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆；第三步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2)观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆在图形中表示什么？生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率.师：这就是平均变化率．．．．．(．y x ∆∆)．的几何意义．．．．．，那么瞬时变化率(0lim x yx∆→∆∆)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。
板书老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。
教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。
突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。
同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？（复习引入 用时约3分钟）二、引导探究、获得新知1.动画类比，得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ∆→，割线的变化趋势．．．．．．．，看下面的动画。
◆多媒体显示【动画1】：圆上点P 处的切线PT 和割线PPn ，演示点Pn 从右边沿着圆逼近点P ,然后再从左边沿着圆逼近点P ，即0x ∆→，割线PPn 的变化趋势。
导数的几何意义优秀公开课教案(后附教学反思)
导数的几何意义教案一、【教学目标】 1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。
（数形结合），即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。
2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。
培养学生学数学，用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义 二、【教学过程】（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。
（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。
（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？ （教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。
要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。
导数的几何意义优秀教学设计
《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。
导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法。
教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法，通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线，获得导数的几何意义。
通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，渗透数形结合、以直代曲的思想方法，体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。
【教学目标】知识与技能：了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。
利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观：通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式，培养学生的合作意识及竞争意识，提高学生的积极性。
体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。
【教学重点与难点】教学重点：导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
教学难点：发现、理解导数的几何意义，进一步理解导数的概念，渗透以直代曲的思想方法。
【指导思想】树立以学生发展为本的思想。
通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，为学生提供自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程，从而解决问题。
【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线，对具体的由浅入深的问题进行分析引导，依据建构主义教学原理，从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系，用形象直观的“逼近”方法，通过类比、从特殊到一般，逐步渗透从有限到无限，量变到质变，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。
【学法指导】在本节课中，学生对具体的问题进行逐步解决，经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神，并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。
1.1.3导数的几何意义教学设计
教学课题 选修2-2第一章1.1.3导数的几何意义课标要求 一、知识与技能：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；4．理解导函数二、过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
三、情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。
培养学生学数学，用数学的意识。
识记 理解 应用 综合 知识点1平均变化率与割线斜率的关系∨ 知识点2曲线切线的概念∨ 知识点3导数的几何意义∨ 知识点4导函数的概念 ∨目标设计1.通过作函数)x (f 图像上过点))x (f ,x (P 00的割线和切线直观感受由割线过渡到切线的变化过程 2.掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义 3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程（注意在某一点处和过该点的切线方程的区别）情境一：如图，观察图中当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n 沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势问题1：当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 逐渐趋近于哪个位置？这个位置有什么特点？（得出切线定义）问题2：这个切线的定义与以前我们学过的切线定义有何不同？（可引导学生从交点个数上进行分析）问题3：割线n PP 的斜率n k 如何表达？切线PT 的斜率k 如何表知识点认知层次达，它们有何关系？（容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ）情境二：联系上节课我们所学的平均变化率和瞬时变化率，与这节课的割线斜率和切线斜率进行类比，从而发现知识间的相互关系再进一步得到导数的几何意义平均变化率0x ∆→−−−→瞬时变化率割线的斜率0x ∆→−−−→切线的斜率问题1：已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆， 求：(1)结合两点坐标，割线n PP 的斜率n k 可表示为什么？（()00()n f x x f x k x+∆-=∆） （2）结合0x ∆→，割线n PP →切线PT ，则切线PT 的斜率k 可表示为什么？（()000()lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆） 问题2：你能发现导数的几何意义吗？ 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 情境三 典例探究（课本例2）如右图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．问题1：用图形体现3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义。
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2．求曲线 y x3 2x 在点（－1，－1）处的切线的倾斜角．
答：1． k 4,4x y 16 0.B : k 0, y 4 ；2． 3 . 4
思考题：
若在点
f (x) 或 y ．即 f (x) y lim y lim f (x x) f (x) .
x x0
x0
x
（3）函数 y f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) 就是导函数 f (x) 在 x x0 处的函数值
f (x0 ) f (x) . xx0
．
例 1 求 y x2 在 x 1 处的导数．
解：见教科书．
例2
求函数
y
4 x2
的导数．
解： y
4 (x x)2
4 x2
4x(2x x) x2 (x x)2
y x
4
2x x2(x
x x)2
∴
y
8 x3
.
lim x0
y x
(x0 ,
f
(x0 )) 处切线
PT
的倾斜角为
2
，求切线的方程．
解：因为这时切线平行于 y 轴，而导数不存在，不能用上面方法求切线方程，根据切
线定义可直接得切线方程 x x0 ．
3
3
P 处的切线方程． 解见教科书．
例 4 已知曲线 y x2 1 5 上一点 P 2, 19 ，求点 P 处的切线方程．
x
2
解见教科书． 由以上两例，归纳出求切线方程的两个步骤：
（1）先求出函数 y f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) ．
（2）根据直线方程的点斜式，得切线方程为
y y0 f (x0 )(x x0 ) ．
3．课堂练习
（1）求曲线 y x2 4 在点 M（1，3）处的切线方程．
（2）求曲线 y 9 在点 M（3，3）处的切线的斜率及倾斜角． x
答：（1） 2x y 1 0 ；（2） k 1 ，倾斜角＝135°．
4．课堂小结 （1）导数的定义． （2）求导数的一般步骤． （3）“函数的某一点的导数”、“导函数”、“导数”的区别和联系． （4）导数的几何意义． 五、布置作业：
y
f (x0
x)
y f (x0 ) ，比值 x
叫做函数 y
f (x) 在 x0 到 x0
x 之间的平均变化
y
率，即
f (x0 x)
f (x0 ) ．
x
x
如果当 x 0 时，
y x
有极限，我们就说函数
y
(x) 在点 x0 处可导，并把这个极
限叫做 f (x) 在 x0 处的导数，记作 f (x0 ) 或 y xx0 ．即
（4）求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值．
练习：已知 y x ，求 y ．
解见教科书例 2．点评时应强调，求 y
x x
x
的极限，要作如下变形（分
x
x
子有理化）： x x x
1
x
x x x
2．导数的几何意义
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切
限，它是一个数值，不是变数．
（2）如果函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点处都可导，就说 f (x) 在开区间 (a, b) 内
可导．这时对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f (x0 ) ，这样
就在开区间 (a, b) 内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f (x) 的导函数，记作
线的斜率，也就是说，曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率是 f (x0 ) ．相应
地，切线方程为
y y0 f (x0 )(x x0 )
例 3 已知曲线 y 1 x3 上一点 P 2, 8 ．求：（1）点 P 处的切线的斜率；（2）点
导数的概念与几何意义 （第二课时）
一、教学目标： 1．了解导数的概念． 2．掌握用导数的定义求导数的一般方法． 3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解． 二、教学重点：求导数的方法及其几何意义；
教学难点：导数概念的理解． 三、教学用具：投影仪或多媒体 四、教学过程： 1．导数的定义
考虑函数 y f (x) ，如果自变量 x 在 x0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量
lim
x0
4
2x x2(x
x x)2
8 x3
引导学生分析这两例的异同，弄清“函数 f (x) 在点 x0 处的导数”、“导函数”、“导
数”它们之间的区别和联系，学生思考后，教师归纳以下几点： （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极
零．
由导数的定义可知，求函数 y f (x) 在 x0 处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量 y f (x0 x) f (x0 ) ；
y
（2）求平均变化率
f (x0 x)
f (x0 ) ；
x
x
（3）取极限，得导数
f
(x0 )
lim
x0
y x
f (x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
请学生先看书，自学导数定义，教师边复述边板书．
说明：
（1）函数
f
(x)
在点
x0 处可导，是指 x
0 时，
y x
有极限．如果
y x
不存在极
限，就说函数在点 x0 处不可导，或说无导数．
（2） x 是自变量 x 在 x0 处的改变量， x 0 ，而 y 是函数值的改变量，可以是