复数的几何意义课件
合集下载
3.1.2复数的几何意义课件人教新课标
)
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围. m 3 m 2或1 m 2
选做作业:
若复数 (m2 m 2) (m2 3m 2)i(m R) 在复平面
（数）
（形）
y
一一对应
z=a+bi
b
Z(a,b)
平面向量 OZ
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
0
a
的模,记作 z 或 a bi .
x
易知 z a2 b2
这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值
| z | = a2 b2
| z || z | a2 b2
| z |2 | z |2 z z
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义
上节课,我们大胆假设存在一个新数 i (叫 做虚数单位).
规定:① i2 1 ; ② i 可以和实数进行运算,且原有的运算律仍成立.
1.复数 z a bi(a,b R)
a ─ 实部
b ─ 虚部
2.复数相等 (a, b, c, d R)
z=a+bi Z (a,b)
y Ox
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离.
a
OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
5.1复数的概念及其几何意义课件高一下学期数学北师大版2
思考四：能否通过适当的变换，使它们具有共同的结构？
x b i 2a 2a
深入 探究
思考五：你能对复数进行分类吗？
应用 新知
【例1】下列复数哪些是虚数？哪些是纯虚数？分别指出其实部与虚部
数系
扩充
Z=a+bi
是否 是否 是否 是否纯 实部
虚部
复数 实数 虚数 虚数 （Re Z） （Im Z）
初步 探究
引入算术引平入方新根数使i使得得所负有数非能负开数方都能开方
深入
探究
归纳有新理数数系形式
有实理数数系系扩扩充充到到新实数数系系
应用 新知
新实数数系分分类类 探究实新数数的系几的何几意何义意义
运算以及运算律
数系 扩充
当 b2 4ac 0时
b x1，2 2a
b 2a
i 2a
初步 探究
因式分解 x3 15x 4 得： x 4 x2 4x 1 0
解得 x1 4，x2 2 3，x3 2 3
121 11 1
9 3 1 36 6 1 3 3 1
思考一：在实数范围内，负数无法开方的问题，如何解决？
数系
扩充
引入新数 i 称作虚数单位
i2 1
初步
探究
实数与它进行四则运算时，原有的关于加法与
（2）求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.
初步
探究
共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 深入 这两个复数叫做互为共轭复数。
探究
互为共轭复数，在复平面内对应的点
应用 （或向量）关于x轴对称。
新知
数系 【例2】已知 (2x 1) i y (3 y)i ,其中 x, y R ， 求 x 与 y .
复数的几何意义课件
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
苏教版高中数学必修第二册12.3_复数的几何意义_课件
例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别
对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
解 因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义，知O→A与O→C表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i. 因为A→O＝－O→A，所以A→O表示的复数为－3－2i.
的对角线OZ所对应的向量
→ OZ
就是
与复数z1＋z2对应的向量
复数减法的几 何意义
从向量
→ OZ2
的终点指向向量
O→Z1的
终点的向量 -Z-2-Z→1 就是复数z1－z2对
应的向量
2 题型探究
PART TWO
题型探究
一、复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的 点Z在： (1)第三象限；
题型探究
跟踪训练1 求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－ 28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限；
m2－8m＋15>0，
m<3或m>5，
解 由题意，知m2＋3m－28<0， 解得－7<m<4.
即－7<m<3.
故当－7<m<3时，复数z的对应点位于第四象限.
知识梳理
2.复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为O→Z，则向量 O→Z 的模叫作复数z＝ a＋bi的模(或绝对值)，记作 |z| 或 |a＋bi| .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi| ＝ a2＋b2 .
知识梳理
知识点三 复数加、减法的几何意义
复数加法的几 何意义
以 O→Z1，O→Z2 为邻边的平行四边形
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
复数的几何意义 课件
所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．
复数的几何意义课件
复数的几何意义课件
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应a,b)
b
a
ox
小结
三.复数的模
y z=a+bi
Z (a,b)
x
O
注意：
| z | = |OZ | a2 b2
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定
① i 2=-1；i4k1 i i4k2 1 i4k3 i i4k4 1
②可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘运算律不变.
0i 0 0 i i 0 i i
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的实部 、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数 b=0、z为纯虚数 b 0
F
O
E
X
D
B
H
练习
1．下列命题中的假命题是（D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的 数都是纯 虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
2 -i =
；-2i =
；5=
；0=
；
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
实数的几何意义
在几何上，我们用什 么来表示实数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的这z些值复有几个数？对应的点在
1. z 0
2.两个复数的模可以比较大小。
3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平
面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在复平
面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆
（3） 满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样的图形？
y 5
3
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
小结
判断正误（1）在复平面内对应
复平面上构成怎样的图形？ (3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？
小结
解(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？2个：5
（2）满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样的图形？ y
设z=x+yi(x,y∈R)
5
| z | x2 y2 5 –5
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式 1 ：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点为Z，若点Z的位置分别
m 满足下列要求，求实数 满足的条件
（1）不在实轴上； （2）在虚轴上； （3）在实轴下方；
（4）在直线 x 3y 0上；
解：（1）m 2 且m 1 （2） m 2 且 m 3
（3） 2 m 1
（4）m 0或 m 2
变式2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.复数与点的对应(每个小正方格的边长为1)
（１） ２+５i ； （２） －３+２i； （３） ２－４i； （４)－３－５i； （５） ５；
（６） －３i；
Y
１
２ O
５
X
６
３
４
变式1：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C
一一对应
几何意义：复 到数 原点z=的a+距bi离在。复平面上对应的点Z(a,b)
虚轴上”的（ ）C。
(A)必要不充分 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m32或m m2 1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
1
.复平面yx轴轴------------虚实轴轴
于纯虚数的点都虚轴上；（对）
（2）在复平面内，虚轴上的点 所对应的 数都是纯虚数。（错）
2 .复数的几何意义
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ| a2 b2
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 OZ
一一对应a,b)
b
a
ox
小结
三.复数的模
y z=a+bi
Z (a,b)
x
O
注意：
| z | = |OZ | a2 b2
课前复习
1. 对 虚数单位i 的规定
① i 2=-1；i4k1 i i4k2 1 i4k3 i i4k4 1
②可以与实数一起进行四则运算，并且加、乘运算律不变.
0i 0 0 i i 0 i i
2. 复数z=a+bi(其中a、bR)中a叫z 的实部 、 b叫z的 虚部 .
a 0
z为实数 b=0、z为纯虚数 b 0
F
O
E
X
D
B
H
练习
1．下列命题中的假命题是（D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的 数都是纯 虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在
.
练习:把下列运算的结果都化为 a+bi（a、bR）的形式.
2 -i =
；-2i =
；5=
；0=
；
3. a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
实数的几何意义
在几何上，我们用什 么来表示实数?
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
距离. a OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
a(a ≥ 0) a(a 0)
Ox
|z|=|OZ| a2 b2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的这z些值复有几个数？对应的点在
1. z 0
2.两个复数的模可以比较大小。
3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平
面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在复平
面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心, 半径为5的圆
（3） 满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样的图形？
y 5
3
–5 –3
5
设z=x+yi(x,y∈R)
O
3 x2 y2 5
9 x2 y2 25
–3
–5
35
x
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
小结
判断正误（1）在复平面内对应
复平面上构成怎样的图形？ (3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？
小结
解(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？2个：5
（2）满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样的图形？ y
设z=x+yi(x,y∈R)
5
| z | x2 y2 5 –5
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式 1 ：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点为Z，若点Z的位置分别
m 满足下列要求，求实数 满足的条件
（1）不在实轴上； （2）在虚轴上； （3）在实轴下方；
（4）在直线 x 3y 0上；
解：（1）m 2 且m 1 （2） m 2 且 m 3
（3） 2 m 1
（4）m 0或 m 2
变式2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
(简称复平面)
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
例1.复数与点的对应(每个小正方格的边长为1)
（１） ２+５i ； （２） －３+２i； （３） ２－４i； （４)－３－５i； （５） ５；
（６） －３i；
Y
１
２ O
５
X
６
３
４
变式1：点与复数的对应(每个小正方格的边长为1) Y
G
A C
一一对应
几何意义：复 到数 原点z=的a+距bi离在。复平面上对应的点Z(a,b)
虚轴上”的（ ）C。
(A)必要不充分 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m32或m m2 1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
1
.复平面yx轴轴------------虚实轴轴
于纯虚数的点都虚轴上；（对）
（2）在复平面内，虚轴上的点 所对应的 数都是纯虚数。（错）
2 .复数的几何意义
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应 平面向量 OZ
3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ| a2 b2
复数的 一般形 式？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
一个复数由什 么唯一确定？
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面