3.1.2 复数的几何意义
选2-2 3.1.2复数的几何意义
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin 2 cos2 2 1 sin 2 2 . 4
故|
z1
z2
| 的最大值为
3 2
,
最小值为
ax
点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复
数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x
轴叫做实轴，y
轴叫做虚轴 新疆 王新敞
奎屯
实轴上的点都表示实数 新疆 王新敞 奎屯
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.
理解复数与从原点出发的向量的对应关系
过程与方法：
能够类比实数的几何意义
能够说出共轭复数的概念
本节内容 学情分析
学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意 义。
教学重点 复数的几何意义以及复数的模
教学难点 复数的几何意义及模的综合应用
2.
例 3．（2004 北京理科）满足条件 |z i||3 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 解：选 C.
B. 两条直线 C. 圆
D. 椭圆
巩固练习：
1．（2000 广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数 3 3i 对 应的向量按顺时钟方向旋转 ，所得向量对应的复数是：（ B ）
乌鲁木齐市实验学校 2014-2015 学年第二学期 高中数学学科电子教案
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
人教a版数学【选修2-2】练习：3.1.2复数的几何意义(含答案)
选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3[答案] C[解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2| [答案] D[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42， ∴|z 1|<|z 2|. 故选D.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i [答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i [答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2| [答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3) [答案] C[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1. 由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5.∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)． 故选C. 二、填空题15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，∴tan θ＝12.三、解答题17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0. *18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．[解析] 由已知得，|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ， |z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－22，所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π2，k ∈Z .所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π2]，k ∈Z .。
3.1.2复数的几何意义
【教学设计】3.1.2《复数的几何意义》福建省福清华侨中学王莺教学目标：1.知识与技能：了解复数的几何意义和复数模的几何意义，并能适当应用。
2.过程与方法：通过类比实数的几何意义来学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：复数的几何意义以及复数的模。
教学难点：复数的几何意义及模的综合应用。
教学方法：主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比向量的模探究出复数的模。
教学过程：一、复习引入上节课引入了复数，学习了复数的定义，从而把数系由实数系扩充到了复数系，请同学们回忆：（1）复数是如何定义的？把形如z=a+bi的数叫做复数，其中a，b都是实数。
a叫实部，b叫虚部，i叫虚部单位。
i又是什么特点？（2）复数z=a+bi (a,b∈R )表示实数的条件是？表示虚数的条件是？表示纯虚数的条件是？（3）两个复数相等的充要条件是什么？我们上节课知道了，对于一般的两个复数是不能比较大小的，那么为什么不能比较大小？复数的本质是什么？又有什么意义呢？这节课我们从形的角度研究复数，学习复数的几何意义。
二、新课讲解1.复数的几何意义（1）师：在几何上，我们可以用什么来表示实数呢？------数轴上的点！师：实数与数轴上的点有着怎样的对应关系？-------一一对应！师：也就是说实数与数轴上的点，在数与形上是一一对应的，因此，在几何上，我们可以用数轴上的点来表示实数。
类比实数的表示，在几何上，我们可以用什么来表示复数呢？师：一个复数是由哪两部分唯一确定的？------由实部a与虚部b共同唯一确定的！师：若将实部a与虚部b构成一个有序实数对(a,b)，那么复数z=a+bi (a,b∈R )与有序实数对(a,b)之间有怎样的对应关系呢？------一一对应！师：而有序实数对(a,b)又与直角坐标系中的点(a,b)是一一对应的。
3.1.2 复数的几何意义
|a+bi|(a,b∈R).
(2)求法:|z|=|������������|= ������2 + ������2(a,b∈R).
(3)模的几何意义:复数 z 的模就是复数 z=a+bi(a,b∈R)所对应
的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
名师点拨 1.实数 0 与零向量对应,故复数 0 的模为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
数形结合思想在复数中的应用(1) 典例 已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
解:法一:∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|= 32 + ������2,
由已知得 32+a2<42,
∴a2<7, ∴a∈(- 7, 7).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
所以������������=(1,7),������������=(2,3),
由平行四边形的性质得������������ = ������������ + ������������=(3,10),而������������=(0,-3),
于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
3.1.2 复数的几何意义
-1-
学习目标
思维脉络
1.了解复平面的概念,理解复数的 几何意义. 2.理解复数、复平面内的点、复
平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的 模.
课前篇自主预习
1.复平面 (1)复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; (2)实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数; (3)虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示 纯虚数. 2.复数的几何意义 (1)复数与复平面内的点一一对应:
第五章复数的几何意义【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
由 = ,得(x-1,y-3)=(2,2),
即 x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,
故点 D(3,5),其对应的复数为 3+5i.
(2)因为 B(0,-1),C(2,1),
所以直线 BC 的方程为 x-y-1=0,
|1-3-1|
所以点 A 到直线 BC 的距离 d=
上,故选ABC.
答案ABC
微练习2
若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互为共轭复数,则x=
,y=
.
解析由题意,可得
答案-1
1
-2 = 3,
= -1,
故
= 1,
= 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数与点的对应关系
例1求实数a分别取何值时,复数
下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
=(3,10),而=(0,-3),于是 D(3,7).
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得
.
=(a,b).
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对
激趣诱思
知识点拨
例1求实数a分别取何值时,复数
四、共轭复数
+(a2-2a-15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件:
复数z=a+bi(a,b∈R)用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而非(a,bi).
这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第3章 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．[基础·初探]教材整理1 复平面与复数的几何意义 阅读教材P 104～P 105的内容，完成下列问题． 1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→平面向量OZ →.在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( ) A ．(1，i) B ．(1，－i) C ．(1,1)D ．(1，－1)【解析】 复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)． 【答案】 D教材整理2 复数的模阅读教材P 105“右侧”，完成下列问题． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ→，则向量OZ →的模叫做复数a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a2＋b2(r ≥0，r ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]当实数m (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解 (2)根据实部小于0，虚部等于0求解． (3)根据虚部大于或等于0求解．【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需 ⎩⎨⎧ m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m<3或m>5，－7<m<4，解得－7<m <3.∴当－7<m <3时复数z 对应的点在第四象限． (2)要使点位于x 轴负半轴上，需 ⎩⎨⎧m2－8m ＋15<0，m2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，得m ＝4.∴当m ＝4时复数z 对应的点在x 轴负半轴上． (3)要使点位于上半平面(含实轴)，需 m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.∴当m ≥4或m ≤－7时，复数z 对应的点在上半平面(含实轴)．解答此类问题的一般思路：(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[再练一题]1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． (1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x2＋x －6＜0，x2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎨⎧x2＋x －6＞0，x2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上.(1)向量OZ1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ→2对应的复数是()A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.【导学号：62952101】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ1→，OZ →2的坐标，再求出OZ →1＋OZ →2的坐标． (2)利用AB →＝OB →－OA →，求出向量AB →的坐标，从而确定AB →表示的复数．【自主解答】 (1)因为向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 (1)C (2)－6－8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．[再练一题]2．上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB →表示的复数．【解】 由上例(2)的解析知AB →＝(－6，－8)， ∴－12AB →＝(3,4)，所以向量－12AB →表示的复数是3＋4i.[探究共研型]探1若复数z 满足|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是什么图形？若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是什么图形．【提示】 若|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆．若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，3为半径的圆及其内部．探究2 若z ＋|z |＝1＋2i ，那么如何求复数z .【提示】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x2＋y2， 从而x ＋y i ＋x2＋y2＝1＋2i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x2＋y2＝1，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝2，∴z ＝－32＋2i.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝错误!＝错误!. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.【导学号：62952102】【解析】 (1)∵|z |＝3，∴错误!＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a2，由已知得32＋a2<4， ∴a 2<7， ∴a ∈(－7，7)．1．复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由－1＜0,2 017＞0得复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝错误!＝错误!. 【答案】 D3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴错误!＝2错误!， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a2＋b2， 代入方程得，a ＋b i ＋a2＋b2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.。
复数的几何意义及其应用
复数的几何意义及其应用
复数的几何意义是什么
1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应
2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)
1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z 为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。