复数的几何意义课件(公开课)
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复数的几何意义课件
量子力学波函数描述及演化
波函数描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状 态的数学函数，可以用复数表示。波 函数的模平方表示粒子在空间中的概 率分布，波函数的相位表示粒子的动 量等信息。
波函数演化
波函数随时间演化遵循薛定谔方程， 该方程是一个复数微分方程。通过求 解薛定谔方程，可以得到波函数随时 间的演化规律，进而预测粒子的行为 。
复数与矩阵的关系
复数在其他领域的应用
阐述复数与矩阵之间的联系，如矩阵的特 征值、特征向量与复数的关系等。
简要介绍复数在信号处理、量子力学、流 体力学等领域中的应用。
06
课后作业布置及下一讲 预告
课后作业布置
练习题
要求学生完成教材上与复 数几何意义相关的练习题 ，以巩固所学知识。
思考题
布置几道与复数几何意义 相关的思考题，要求学生 进行深入思考，加深对知 识点的理解。
04
典型例题解析及互动环 节
例题一：利用几何意义求解方程根
复数平面上的点表示
将复数表示为平面上的点，便于直观理解复数运算的几何意义。
复数方程根的几何意义
通过复数平面上的点的运算，求解复数方程的根，并理解其几何意 义。
根的分布与稳定性
分析复数根在平面上的分布规律，探讨系统稳定性与根位置的关系 。
例题二：电路分析问题中阻抗匹配
。
Hale Waihona Puke 乘法运算设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i，则 z1×z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i
。
除法运算
设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i且z2≠0，则 z1÷z2=((a1a2+b1b2)/(a
复数的几何意义课件
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
复数的几何意义课件(公开课)
复数的几何意义课件(公 开课)
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
复数是数学中非常重要的概念之一。本课件将介绍复数的几何意义，复数的 运算规则以及在平面直角坐标系中的表示等内容。
什么是复数？
复数是由实数和虚数构成的数。其形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
实数
实数是指可以表示物数是指不能表示物理量的数，其定义为i，其中 i^2=-1。
复数的加法、减法、乘法规则
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的规则。复数的乘法遵循分配律和虚数单位i的平方等于-1。
1
加法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
2
减法
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
3
乘法
(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
1
正弦函数
sin(θ) = 虚部 / 模
余弦函数
2
cos(θ) = 实部 / 模
3
正切函数
tan(θ) = 虚部 / 实部
复数的指数形式表示
复数可以用指数形式来表示，其中e为常数，i为虚数单位，θ为幅角。
1 公式
a+bi = |a+bi| * e^(iθ)
复数的模和共轭
复数的模表示复数到原点的距离，共轭表示虚部符号取相反数。
模
模表示复数的绝对值，记作|a+bi| = √(a^2+b^2)。
共轭
共轭是将复数的虚部取相反数，记作a-bi。
复数在平面直角坐标系中的表 示
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示。实部表示点的横坐标，虚部表示 点的纵坐标。
数学312《复数的几何意义》优质课课件
在交流电路中，两个同频率正弦量之间的相位之差称为相位差，它 反映了两个正弦量在时间上相互超前或滞后的关系。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
相位差与复数的关联
在交流电路中，复数可以用来表示正弦量的振幅和相位，因此相位 差也可以通过复数运算来求解。
应用实例
在电力系统中，相位差的概念对于分析电网的稳定性、计算功率因数 等具有重要意义。
信号处理中频率域分析基础
灵活运用共轭复数
在求解复数问题时，共轭复数往往能起到简化计算的作用。
注意辐角的取值范围
辐角的主值一般取在(-π, π]之间，需要根据具体情况进行调整。
常见问题解答
如何判断两个复数是否相等？答
如何求解复数的模？答
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部 分别相等。
利用模的计算公式进行计算，注意结果应 为非负数。
进行向量的合成来实现。
乘法运算
复数的乘法可以通过向量的旋转 和伸缩来实现，具体地，乘以i相 当于逆时针旋转90度，乘以-i相
当于顺时针旋转90度。
运算性质
复数的运算满足交换律、结合律 和分配律等基本性质，这些性质 在复平面中可以通过向量的运算
来体现。
模长和幅角概念引入
模长定义
复数的模长是指该复数在复平面中对应的向量的长度，记 作|z|。
频率域分析的概念
在信号处理中，将信号从时间域变换到频率域进行分析的方法称 为频率域分析。
复数在频率域分析中的作用
在频率域分析中，复数被用来表示信号的频谱，其中实部表示信号 的幅度谱，虚部表示信号的相位谱。
应用实例
在通信系统中，频率域分析被广泛应用于信号调制、解调、滤波等 处理过程中。
控制系统稳定性判断依据
幅角定义
复数的幅角是指该复数在复平面中对应的向量与正实轴之 间的夹角，记作arg(z)。
2024版复数的几何意义课件公开课
复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
复数的几何意义 课件
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线y＝x上， 则实数m的值为__________.
【解析】1.选B. z＝ 3＋i2＝ 3－1R， ∴z对应的点在实轴上，故选B. 2.选D.∵ < 2<π，∴sin2>0，cos2<0.
2
故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限.故选D.
3.复数z在复平面上对应的点为(m－3,2 m)， ∴m－3＝2 m，即m－2 －m 3＝0. 解得m＝9.
Байду номын сангаас答案：9
【归纳】复数对应的点在曲线上的判断步骤. 提示：复数对应的点在曲线上的判断有三步：(1)确定复数的 实部和虚部；(2)写出复数对应的点；(3)将坐标代入曲线方程， 若满足方程，在曲线上；否则，不在曲线上.
2.复数的几何意义z=a+bi(a，b∈R) (1)复数z=a+bi在复平面内所对应的点是Z(a,b)，而不是 Z(a,bi); (2)复数集的复数z =a+bi与复平面内的向量 OZ 一一对应 (向量起点必须是原点).
3.复数的模 复数的模是一个非负实数，它的几何意义是复平面内复数所对 应的点到原点的距离.
即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆 心，以3为半径的圆. 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆 2.(1)复数z的模等于4，就是说，向量 OZ 的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的 集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.
(2)不等式2<|z|<4可化为不等式组
z z
＜4,
＞不2. 等式|z|<4的解集是
人教A版7.1.2复数的几何意义课件(18张)
4. 复数相等
a bi c di a c,b d a bi 0 a b 0
思考:实数的几何意义是什么？
在几何上，我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
数轴上的点 (形)
思考：类比实数的表示，可以用什么来表示复数？
一个复数由什么唯一确定？
Z=a+bi(a, b∈R)
m6 m2
0 0
得m 32 或m
m
2 பைடு நூலகம்
1
所以m(3, 2) (1, 2)
（2(m）2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴ m=1或m=-2
课堂练习
1.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( B )
A．1
B. 2 C. 3 D．2
2.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
实部! 虚部! 一个复数由它的实部和 虚部唯一确定
1. 复平面定义
y
b
虚轴
O
Z:a＋bi Z(a,b)
ax
实 轴
判断：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（✕ ）
注：实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
课堂练习
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).
原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上 OZ与相等
的向量有无数个.
复数与复平面内向量的关系
【例 1】 向量O→Z1对应的复数是 5－4i，向量O→Z2对应的复数是－5＋4i，则
O→Z1＋O→Z2对应的复数是( ) A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
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课题：3.1.2 复数的几何意义
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实 数?
一一对应
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部! 虚部!
复数的 一般形 式？
一个复数由什 么唯一确定？
3 ∵5＞2，∴|z1|＞|z2|.
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
答案：2个；5和－5
这些复 (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
答案：无数个；图形:以原点为圆心, 半径为5的圆
(3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？ 答案：图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 z=a+bi Z(a,b)
a
OZ
y b
o
x
小结
三.复数的模
z =a + b i Z (a,b)
O
y x
注意：
1.
z 0
| z | = |OZ | a2 b2
练习2、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i对应点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围 [解析] (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或 m＝－1. 2
m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0 －1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量
OZ
一一对应
2 2 a b 3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ |
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本P55,A组第5题，B组第1题。
A |a| = |OA|
O
x
z=a+bi Z(a,b)
y
a(a ≥ 0) a(a 0)
O
|z|=|OZ|
2
x
a b
2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
[例 2]
1 求复数 z1＝3＋4i 及 z2＝－2－ 2i 的模，并
比较它们的模的大小．
[解析] |z2|＝
|z1|＝ 32＋42＝5， 12 3 2 (－2) ＋(－ 2) ＝2，
小结
练习3、 求适合下列条件的复数 z 在复平面上表示 的图形． (1)2≤|z|<3； (2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
小结：我们在本节课里有什么收获？
x轴------实轴 1 .复平面 y轴------虚轴 2 .复数的几何意义 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
新课：复数的几何意义（一）
一一对应
复数z=a+bi （数）
y
有序实数对(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(--实轴 y轴------虚轴
练习1
1．下列命题中的假命题是（D ）
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点 C ）。 在虚轴上”的（ (A)必要不充分 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
2.两个复数的模可以比较大小。 3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平 面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在
复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a
情境导入：思考实数的几何意义
在几何上，我们 用什么来表示实 数?
一一对应
实数可以用数轴 上的点来表示。
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
想一想
类比实数的表示，可以 用什么来表示复数？
Z=a+bi(a, b∈R)
实部! 虚部!
复数的 一般形 式？
一个复数由什 么唯一确定？
3 ∵5＞2，∴|z1|＞|z2|.
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
答案：2个；5和－5
这些复 (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
答案：无数个；图形:以原点为圆心, 半径为5的圆
(3)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在 复平面上将构成怎样的图形？ 答案：图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
∴－1＜m＜1. (3)由已知得 m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
平面向量 z=a+bi Z(a,b)
a
OZ
y b
o
x
小结
三.复数的模
z =a + b i Z (a,b)
O
y x
注意：
1.
z 0
| z | = |OZ | a2 b2
练习2、在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－ 3m＋2)i对应点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限； (3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围 [解析] (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或 m＝－1. 2
m －m－2＜0 (2)由题意得 2 m －3m＋2＞0 －1＜m＜2 ∴ m＞2或m＜1’
直角坐标系中的点Z(a,b)
平面向量
OZ
一一对应
2 2 a b 3.复数的模及其几何意义 | z | = | OZ |
几何意义： 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)
到原点的距离。
课后作业：课本P55,A组第5题，B组第1题。
A |a| = |OA|
O
x
z=a+bi Z(a,b)
y
a(a ≥ 0) a(a 0)
O
|z|=|OZ|
2
x
a b
2
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
[例 2]
1 求复数 z1＝3＋4i 及 z2＝－2－ 2i 的模，并
比较它们的模的大小．
[解析] |z2|＝
|z1|＝ 32＋42＝5， 12 3 2 (－2) ＋(－ 2) ＝2，
小结
练习3、 求适合下列条件的复数 z 在复平面上表示 的图形． (1)2≤|z|<3； (2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.
小结：我们在本节课里有什么收获？
x轴------实轴 1 .复平面 y轴------虚轴 2 .复数的几何意义 复数z=a+bi
一一对应 一一对应
一个复数由它的实 部和 虚部唯一确定
新课：复数的几何意义（一）
一一对应
复数z=a+bi （数）
y
有序实数对(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
z=a+bi Z(--实轴 y轴------虚轴
练习1
1．下列命题中的假命题是（D ）
例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是 实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是 纯虚数。 2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点 C ）。 在虚轴上”的（ (A)必要不充分 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
2.两个复数的模可以比较大小。 3. 复数的模 的几何意义:复数z的模即为z 对应平 面向量 OZ 的模 oz ，也就是复数 z=a+bi在
复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 对应的点 A 到原点 O 的 面上对应的点Z(a,b)到 原点的距离 . 距离. a