7.1.2 复数的几何意义
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第七章 复数 知识点汇总及解题规律方法提炼
第七章 复数7．1.1 数系的扩充和复数的概念1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1． (2)复数集全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集． (3)复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．典型应用1 复数的概念下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【解析】 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质． 典型应用2 复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 典型应用3 复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________． 【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎨⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎨⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2. 【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．7．1.2 复数的几何意义1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨(1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.(2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数．(3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|■名师点拨如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数(1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．(3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ． ■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．典型应用1复数与复平面内的点已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限．【解】 (1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎨⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.[变条件]本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值． 解：若z 对应的点(a 2－1，2a －1)在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．典型应用2复数与复平面内的向量在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．【解】 法一：由复数的几何意义得A (0，1)，B (1，0)，C (4，2)，则AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为(3，3)，所以点D 对应的复数为3＋3i. 法二：由已知得OA→＝(0，1)，OB →＝(1，0)，OC →＝(4，2)， 所以BA→＝(－1，1)，BC →＝(3，2)， 所以BD→＝BA →＋BC →＝(2，3)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3，3)， 即点D 对应的复数为3＋3i.复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．典型应用3 复数的模(1)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0(2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是( )A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆【解析】 (1)由题意得a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5(a ∈R )，所以－1<a <1.(2)由题意知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1， 因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆． 【答案】 (1)A (2)A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．7．2 复数的四则运算7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 (1)加、减法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ．(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． ■名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加，虚部与虚部相加．对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形．2．复数加、减法的几何意义如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.典型应用1复数的加、减法运算(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2. 【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i ＝－1＋10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．典型应用2复数加、减法的几何意义已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.(1)求AO→表示的复数； (2)求CA→表示的复数． 【解】 (1)因为AO→＝－OA →，所以AO→表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为CA→＝OA →－OC →，所以CA→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.1．[变问法]若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．解：因为OB→＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B 所对应的复数为1＋6i.2．[变问法]若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数． 解：由题意知，点M 为OB 的中点，则OM →＝12OB →，由互动探究1中知点B 的坐标为(1，6)，得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以点M 对应的复数为12＋3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．7．2.2 复数的乘、除运算1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有对复数乘法的两点说明(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i 2换成－1)．(2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． 2．复数除法的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．■名师点拨对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 典型应用1 复数的乘法运算(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝( )A ．1＋3iB ．－1＋3i C.3＋iD ．－3＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i(3)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选B.(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得，(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的条件知， 解得a ＝2，b ＝1，所以z＝2＋i.复数乘法运算法则的应用复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋b i)2＝a2＋2ab i＋b2i2＝a2－b2＋2ab i，(a＋b i)3＝a3＋3a2b i＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i.典型应用2复数的除法运算计算：(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i；(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i.【解】(1)（1＋2i）2＋3（1－i）2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i（2－i）5＝15＋25i.(2)（1－4i）（1＋i）＋2＋4i3＋4i＝5－3i＋2＋4i3＋4i＝7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝21－28i＋3i＋425＝25－25i25＝1－i.复数除法运算法则的应用复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．典型应用3i的运算性质(1)复数z＝1－i1＋i，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1 B．－1C ．iD ．－i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019等于________． 【解析】 (1)z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 019＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝1504·(－i)＝－i.【答案】 (1)B (2)－i(1)i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i. ③1i ＝－i.典型应用4在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程．(1)x 2＋5＝0；(2)x 2＋4x ＋6＝0.【解】 (1)因为x 2＋5＝0，所以x 2＝－5，又因为(5i)2＝(－5i)2＝－5，所以x ＝±5i ，所以方程x 2＋5＝0的根为±5i.(2)法一：因为x 2＋4x ＋6＝0，所以(x ＋2)2＝－2，因为(2i)2＝(－2i)2＝－2，所以x ＋2＝2i 或x ＋2＝－2i ，即x ＝－2＋2i 或x ＝－2－2i ，所以方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.法二：由x 2＋4x ＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0，所以方程x 2＋4x ＋6＝0无实数根．在复数范围内，设方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， 则(a ＋b i)2＋4(a ＋b i)＋6＝0，所以a 2＋2ab i －b 2＋4a ＋4b i ＋6＝0，整理得(a 2－b 2＋4a ＋6)＋(2ab ＋4b )i ＝0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2ab ＋4b ＝0，又因为b ≠0，所以⎩⎨⎧a 2－b 2＋4a ＋6＝0，2a ＋4＝0，解得a ＝－2，b ＝± 2.所以x ＝－2±2i ，即方程x 2＋4x ＋6＝0的根为x ＝－2±2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求解方法(1)求根公式法①当Δ≥0时，x ＝－b ±b 2－4ac 2a. ②当Δ<0时，x ＝－b ±－（b 2－4ac ）i 2a. (2)利用复数相等的定义求解设方程的根为x ＝m ＋n i(m ，n ∈R )，将此代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．7．3* 复数的三角表示1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos θ＋isin θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线(射线OZ →)为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z .r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．■名师点拨(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z ，且0≤arg z ＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．2．复数三角形式的乘、除运算若复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则(1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)z 1z 2＝r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．典型应用1复数的代数形式与三角形式的互化角度一 代数形式化为三角形式把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限，所以cos θ＝32，即θ＝π6，所以3＋i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6.(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝22，又因为2－2i 对应的点位于第四象限，所以θ＝7π4.所以2－2i ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos 7π4＋isin 7π4.复数的代数形式化三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求出复数的三角形式．[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．角度二 三角形式化为代数形式分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6； (2)32(cos 60°＋isin 60°)；(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6. 4⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6 ＝4×32＋4×12i ＝23＋2i. (2)32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝32，辐角的主值为θ＝60°.32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i＝34＋34i.(3)2⎝⎛⎭⎪⎫cos π3－isin π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＋isin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π. 所以复数的模r ＝2，辐角的主值为53π.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32i ＝1－3i.复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．典型应用2复数三角形式的乘、除运算计算：(1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π； (2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 43π＋isin 43π×4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 56π＋isin 56π ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋56π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i ＝163＋16i.(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝62(cos 75°＋isin 75°)＝62⎝ ⎛⎭⎪⎫6－24＋6＋24i ＝6－238＋6＋238i＝3－34＋3＋34i.(3)4÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4(cos 0＋isin 0)÷⎝⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝22－22i.(1)乘法法则：模相乘，辐角相加．(2)除法法则：模相除，辐角相减．(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．典型应用3复数三角形式乘、除运算的几何意义在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．【解】 因为3－3i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π所以23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 136π＋isin 136π ＝23⎝⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6 ＝3＋3i ， 23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 116π＋isin 116π×⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－π3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π＋isin 32π ＝－23i.故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π3得到的复数为－23i.两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ→，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.。
高中数学 必修2(人教版)7.1.2复数的几何意义
题型二 复数的模的计算——自主完成 例3 (1)已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则| z |＝________.
解析：(方法一)因为复数z＝3＋4i，所以 z ＝3－4i，故| z |＝ 32＋－42＝5.
(方法二)：| z |＝|z|＝ 32＋42＝5. 答案：5
(2)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi| ＝( )
方法归纳
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点 在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复 数对应的点确定后，从原引出的指向该点的有向线段，即为复 数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复 平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之 间的转化．
跟踪训练1 (1)已知a为实数，若复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i 为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵复数z＝a2－3a－4＋(a－4)i为纯虚数 ∴aa2－－43≠a－0 4＝0 ∴aa＝ ≠44或a＝－1 ∴a＝－1 ∴z＝a－ai＝－1＋i在复平面内对应的点的坐标为(－1,1)，位 于第二象限． 答案：B
4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：由z＝1＋2i得|z|＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
题型一 复数的几何意义——微点探究
微点1 复数与复平面内点的位置关系
例1
(1)当
2 3
<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对
应的点所在象限为( )
7.1.2 复数的几何意义
人教A版高中数学必修第二册练习：7.1.2 复数的几何意义
[A 基础达标]1．已知复数z ＝a ＋a 2i(a <0)，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.因为a <0，所以复数z ＝a ＋a 2i 对应的点(a ，a 2)位于第二象限．2．已知i 是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i 和1－3i 对应的点之间的距离是( ) A. 5 B.10 C ．5D ．25解析：选C.由于复数－2＋i 和1－3i 对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.3．在复平面内，复数z 对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z ＝( )A ．3－5i B.5－3i C ．2－5iD.5－2i解析：选D.由题意可设复数z ＝5＋y i(y ∈R ，y <0)，则（5）2＋y 2＝3，所以y ＝－2，复数z ＝5－2i.故选D.4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．5 B.13 C ．2 2D ．2解析：选A.由已知，得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＝3，3－2x ＝y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4，所以|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5，故选A.5．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z ＝12＋32i 对应的点为Z ，将点Z 绕原点逆时针旋转90°后得到点Z ′，则Z ′对应的复数是( )A ．－12＋32iB.12－32i C ．－32＋12i D.32－12i 解析：选C.|OZ |＝|z |＝1，故Z 点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z ′，所以Z ′(cos 150°，sin 150°)＝⎝⎛⎭⎫－32，12，则Z ′对应的复数是－32＋12i.6．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是____________． 解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝____________．解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________．解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，解得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧m －3<0，m 2－5m －14<0.所以m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3， 所以m 2－6m －11＝0， 所以m ＝3±25，此时复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．10．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．解：(1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1， 故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.12．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7D ．3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.13．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．解析：因为z 1＝2－3i 在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i14．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ，⇒⎩⎨⎧θ＝k π＋π6，θ＝2k π＋7π6或2k π＋11π6或k π＋π2，(k ∈Z )，所以θ＝2k π＋7π6(k ∈Z )．(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2＋cos 2 θ<2， 即3sin 2 θ＋cos 2 θ<2， 所以sin 2θ<12，所以k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．[C 拓展探究]15．设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2； (2)|z |≤3.解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， (1)|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。
复数的几何意义
()
√A．1个圆
C．2个点
B．线段 D．2个圆
解析：题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
因为|z|≥0，所以|z|＝3，
所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆．
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第七章 复数
27
探究点 4 共轭复数 已知复数 x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是 4－20i 的共轭复数，求
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第七章 复数
25
1．已知 x＋xi＝1＋yi，其中 x，y∈R，则|x＋yi|＝( )
A．1 C． 3
√B． 2 D．2
解析：因为 x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1，则|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12 ＝
2 .故选 B.
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第七章 复数
26
2．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是
→ AC
＝O→C
－O→A
＝(－2，2)，
→ BC
＝O→C
－O→B
＝(－3，1)，
所以向量A→B ，A→C ，B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
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第七章 复数
18
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时， 向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之，复数对应的点确定 后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点 一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
7-1-2复数的几何意义(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做
2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--复数的几何意义
2022版人教A版高中数学必修第二册--7.1.2复数的几何意义基础过关练题组一复数与复平面内点的对应关系1.已知复数z=-i,则z在复平面内对应的点Z的坐标为()A.(0,-1)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-1,-1)2.(2021湖南娄底一中高一下期中)复数z1=1+√3i,z2=1-√3i在复平面内对应的点关于()A.实轴对称B.第一、三象限的角平分线对称C.虚轴对称D.第二、四象限的角平分线对称3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i4.若x,y∈R,i为虚数单位,且x+y+(x-y)i=3-i,则复数x+y i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限?(2)在实轴负半轴上?(3)位于上半平面(含实轴)?题组二 复数与平面向量的对应关系6.在复平面内,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为 ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i7.(2021重庆外国语学校高一下期中)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形,已知A 、B 、C 三点对应的复数分别是1+3i ,-i ,2+i ,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 ( ) A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i8.在复平面内,点A ,B ,C 对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2,O 为坐标原点.(1)求向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数;(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数.题组三 复数的模及其应用9.已知复数z =(m -3)+(m -1)i 的模等于2,则实数m 的值为 ( )A.1或3B.1C.3D.210.在复平面内,若点P 对应的复数z 满足|z |≤1,则点P 的集合构成的图形是( )A.直线B.线段C.圆D.单位圆以及圆内部11.若复数z =2a -1a+2+(a 2-a -6)i (a ∈R)是实数,则z 1=(a -1)+(1-2a )i 的模为 .12.已知3-4i=x+y i(x,y∈R),则|1-5i|,|x-y i|,|y+2i|的大小关系为.13.(2020北京房山高一下期末)已知复数z=3+a i,且|z|<4,则实数a的取值范围是.14.已知复数1,-1+2i,-3i,6-7i,在复平面内画出这些复数对应的向量,并求出各复数的模.15.已知复数z1=√3-i,z2=-12+√32i.设z∈C,试问在复平面内,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点的集合是什么图形?题组四共轭复数16.已知i为虚数单位,若(x-2)+y i和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是()A.3,3B.5,1C.-1,-1D.-1,117.设复数z满足z=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z= ()A.√2−iB.√2+iC.1D.-1-2i18.若复数z1,z2满足z1=z2,则z1,z2在复平面内对应的点Z1,Z2()A.关于实轴对称B.关于虚轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称19.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=,z=.答案全解全析基础过关练1.A 复数z =-i 的实部为0,虚部为-1,故z 在复平面内对应的点Z 的坐标为(0,-1).2.A 设z 1=1+√3i 和z2=1−√3i 在复平面内对应的点分别为P ,Q ,则P (1,√3),Q (1,-√3),则P ,Q 关于实轴对称.故选A.3.C 复数6+5i 对应的点A 的坐标为(6,5),-2+3i 对应的点B 的坐标为(-2,3).由中点坐标公式知点C 的坐标为(2,4),∴点C 对应的复数为2+4i ,故选C.4.A ∵x +y +(x -y )i=3-i ,∴{x +y =3,x -y =-1,解得{x =1,y =2, ∴复数x +y i=1+2i 在复平面内所对应的点为(1,2),在第一象限.5.解析 (1)要使复数z 在复平面内对应的点位于第四象限,需满足{m 2-8m +15>0,m 2+3m -28<0,∴{m <3或m >5,-7<m <4,∴-7<m <3. (2)要使复数z 在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足{m 2-8m +15<0,m 2+3m -28=0,∴{3<m <5,m =-7或m =4,∴m =4. (3)要使复数z 在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m 2+3m -28≥0,解得m ≥4或m ≤-7.6.A 由复数的几何意义,知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3)对应的复数为2-3i .故选A.7.D 由题意得点A ,B ,C 的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),设点D 的坐标为(x ,y ),由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x -1,y -3)=(2,2),∴x -1=2,y -3=2, 解得x =3,y =5,故D (3,5),∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,6),则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为3+6i .故选D. 8.解析 (1)由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 所对应的复数分别为1+4i ,-3i ,2, 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-4),故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1+i ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为1-4i . (2)解法一:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),则AC 的中点坐标为(32,2),由平行四边形的性质知,BD 的中点坐标也是(32,2).设D (x 0,y 0),则{0+x 02=32,-3+y 02=2,解得{x 0=3,y 0=7,所以D (3,7),故D 对应的复数为3+7i . 解法二:由已知得,点A ,B ,C 的坐标分别为(1,4),(0,-3),(2,0),设D (x 0,y 0),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-7),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x 0,-y 0).因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{-1=2-x 0,-7=-y 0,解得{x 0=3,y 0=7.故D 对应的复数为3+7i .解法三:由(1)知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,7),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3), 由平行四边形的性质得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,10),所以OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7),故D 对应的复数为3+7i .9.A 依题意可得√(m -3)2+(m -1)2=2,解得m =1或m =3,故选A.10. D 由|z |≤1,得|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |≤1(O 为原点),所以满足条件的点P 的集合是以原点O 为圆心,1为半径的圆及其内部.11.答案 √29解析∵复数z为实数,∴a2-a-6=0且a+2≠0,∴a=3,∴z1=2-5i,∴|z1|=√29.12.答案|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|解析由3-4i=x+y i(x,y∈R),得x=3,y=-4.∴|x-y i|=|3+4i|=√32+42=5,|y+2i|=|-4+2i|=√(-4)2+22=2√5.易得|1-5i|=√1+(-5)2=√26,∵2√5<5<√26,∴|y+2i|<|x-y i|<|1-5i|.13.答案(-√7,√7)解析解法一:∵z=3+a i(a∈R),∴|z|=√32+a2,由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(-√7,√7).解法二:利用复数的几何意义,由|z|<4,知z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内.由z=3+a i知z对应的点Z在直线x=3上,∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知-√7<a<√7.14.解析 设复数1,-1+2i ,-3i ,6-7i 在复平面内对应的点分别为A ,B ,C ,D ,对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图所示.|1|=1,|-1+2i|=√(-1)2+22=√5,|-3i|=√(-3)2=3,|6-7i|=√62+(-7)2=√85.15.解析 |z 1|=|√3−i|=√(√3)2+(-1)2=2,|z 2|=|-12+√32i|=√(-12)2+(√32)2=1. ∵|z 2|≤|z |≤|z 1|,∴1≤|z |≤2,对应的点的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),如图所示.16.D ∵(x -2)+y i 和3x -i 互为共轭复数,∴{x -2=3x ,y +(-1)=0,解得{x =-1,y =1.17.A 因为z =|1−i|+i =√2+i ,所以复数z =√2-i .故选A.18.A 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,其中a ,b ,c ,d ∈R,则Z 1(a ,b ),Z 2(c ,d ).由z 1=z 2得,a +b i=c -d i ,则a =c ,b =-d ,所以z 1,z 2在复平面内对应的点Z 1,Z 2关于实轴对称. 方法总结共轭复数的特点:1.在复平面内,共轭复数对应的两个点关于实轴对称;2.共轭复数的模相等,即|z |=|z |.19.答案 12;-12i解析 由题意得{m 2+2m -3≠0,m 2-9=0,所以m =3,因此z =12i ,故|z |=12,z =-12i .。
7.1.2复数的几何意义(教学课件)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例题巩固
5．设O为原点，向量OA，OB对应的复数分别为2＋3i，－3
－2i，那么向量BA对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
答案：D
例题巩固
6．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值 为( ) A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案：A
综合应用
答案：D
例题巩固：
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝ .
答案： 5
例题巩固（教材69页例题）：
4．判断正误 (1)复平面内的点与复数是一一对应的．( ) (2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) (4)复数与向量一一对应．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
课堂小结 本节课我们学习了哪些知识点？
1.复平面内的点和复数的一一对应关系． 2．实轴、虚轴、模，共轭复数的概念． 3．复数的综合应用
作业布置
（1）教材七十三页：练习2,3 （2）对应课时作业
即解实得数mm＜的取1值2 范5围或是mm＞＜231 2
，
5 或m＞
3 2
.
综合应用
8、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判定△ABC的形状．
综合应用
8、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判定△ABC的形状．
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对应
复数z＝a＋bi
复平面内的点Z（a，b）
3．复数的模 (1)定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. a2 b2
7-1-2复数的几何意义课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
例4 复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 z＝3－4i 的共轭复数为 z ＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限.
反思感悟
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴 对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合， 且在实轴上.
1234
在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是__2_＋__4_i __.
解析
因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B， 所以A(6,5)，B(－2,3)， 又C为线段AB的中点， 所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.
解析 由|z1|>|z2|，得x4＋x2＋1>(x2＋a)2. 则(1－2a)x2＋(1－a2)>0对x∈R恒成立.
当 1－2a＝0，即 a＝12时，不等式34>0 成立. 当 1－2a≠0，即 a≠12时，1－－421a－>02，a1－a2<0， 解得－1<a<12.
4
共轭复数
知识梳理
1.定义：一般地当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时， 这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 做 共轭虚数 . 2.表示：复数z的共轭复数用 z 表示， 即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么 z ＝ a－bi .
② 1≤|z|≤2.
解 不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组||zz||≤ ≥21.， 不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合， 如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心， 以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.
复数的几何意义 课件(2)-人教A版高中数学必修第二册(共25张PPT)
[跟踪训练 2]
1、在复平面内,A,B,三点对应的复数分别为1,2＋i,－1＋2i. （1）求向量 ―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数； （2）若ABCD为平行四边形,求D对应的复数．
解析（1）设 O 为坐标原点，由复数的几何意义知： ―O→A ＝(1,0)，―O→B ＝(2,1)，―O→C ＝(－1,2)， 所以―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(1,1)， ―A→C ＝―O→C －―O→A ＝(－2,2)，―B→C ＝―O→C －―O→B ＝(－3,1)， 所以―A→B ，―A→C ，―B→C 对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－
[跟踪训练 1]
1、实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－6 ＋(x2－2x－15)i 的点 Z： (1)位于第三象限； (2)位于直线 x－y－3＝0 上．
解析 因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15 也是实数．
x2＋x－6<0，
(1)当实数 x 满足
即－3<x<2 时，点 Z 位于第
自主预习,回答问题
阅读课本70-72页,思考并完成以下问题
1、复平面是如何定义的,复数的模如何求出？ 2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实 数还是虚数？
要求：学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问 题。
知识清单
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 2复数 z＝a＋bia，b∈R
x2－2x－15<0，
三象限．
(2)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即 3x＋6＝0，
x＝－2 时，点 Z 位于直线 x－y－3＝0 上．
复数的几何意义
A.－1＋ 3i
B.1＋ 3i
C.－1＋ 3i 或 1＋ 3i D.－2＋ 3i 解析：由题意得aa2<＋0，3＝4， 解得 a＝－1.
故 z＝－1＋ 3i.
答案：A
2.若复数 z 满足|z|≤ 2，则 z 在复平面所对应的图形的面积 为________. 解析：满足|z|≤ 2的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，∴所求图形的 面积 S＝2π. 答案：2π
[对点练清] 在复平面内，若复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的 对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数 z.
解：若复数 z 的对应点在虚轴上，则 m2－m－2＝0， 所以 m＝－1 或 m＝2，所以 z＝6i 或 z＝0. 若复数 z 的对应点在实轴负半轴上， 则mm22－ －m3m－＋2<2＝0，0， 所以 m＝1，所以 z＝－2.
二、创新应用题 5.已知复数 z 对应的向量为―O→Z (O 为坐标原点)，―O→Z 与实轴
正方向的夹角为 120°，且复数 z 的模为 2，求复数 z. 解：根据题意可画图形如图所示， 设点 Z 的坐标为(a，b)， ∵|―O→Z |＝|z|＝2，∠xOZ＝120°， ∴a＝－1，b＝± 3，即点 Z 的坐标为(－1， 3)或(－1，－ 3)， ∴z＝－1＋ 3i 或 z＝－1－ 3i.
题型二 复数、共轭复数与复平面内的向量的关系
[学透用活]
[典例 2] (1)向量―OZ→1 对应的复数是 5－4i，向量―OZ→2 对应
的复数是－5＋4i，则―OZ→1 ＋―OZ→2 对应的复数是( )
A.－10＋8i
B.10－8i
C.0
D.10＋8i
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7.1.2 复数的几何意义课标要求素养要求理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念.通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养.教材知识探究19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.问题 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？提示 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.1.复平面 复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ→.3.复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ).如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数，它的模就等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z －__表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i.教材拓展补遗[微判断]1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.(√)2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)3.复数的模一定是正实数.(×)4.两个共轭复数的和是实数.(√)5.两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(×) 提示 1.在复平面内对应于实数的点都在实轴上是正确的. 2.原点在虚轴上，但不是纯虚数. 3.复数的模可以为0.4.根据共轭复数的定义可知正确.5.应该是充分条件. [微训练]1.向量a ＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是( ) A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2iD.－2＋i解析 因为复数与向量一一对应，所以向量a ＝(1，－2)的复数形式为z ＝1－2i ，所以z －＝1＋2i. 答案 A2.已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________.解析 由题意可知z ＝－1＋2i ，所以|z |＝ 5. 答案53.在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________.解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解得m ＝9. 答案 9 [微思考]复数的模的几何意义是什么？提示 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点【例1】 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎨⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征. 【训练1】 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数与复平面内的向量的关系【例2】 (1)向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →2对应的复数是()A.－10＋8iB.10－8iC.0D.10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.－5－5i C.5＋5iD.5－5i解析 (1)由复数的几何意义，可得 OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)， 所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)， 所以OZ →1＋OZ →2对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3，2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3，2)＝(5，－5)，所以BA →对应的复数是5－5i. 答案 (1)C (2)D规律方法 利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.【训练2】 在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB→对应的复数为________.解析 复数2＋i 表示的点A (2，1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i. 答案 2－i题型三 复数模的几何意义复数模的几何意义是复数z ＝a ＋b i 所对应的点Z (a ，b )到原点(0，0)的距离 【例3】 设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.解 (1)法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎨⎧|z |≤2，|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.规律方法 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.【训练3】若复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应点Z，则|z|＝2时，a＝________；此时Z与点(1，2)的距离是________.解析∵|z|＝a2＋1＝2，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为（1－1）2＋（2－1）2＝1；当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为（－1－1）2＋（1－2）2＝ 5.答案±11或 5一、素养落地1.通过复数代数形式及几何意义的理解提升数学抽象素养.通过复数模的学习及应用培养数学运算素养.2.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.3.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实部、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.二、素养训练1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.答案 B2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i解析 由题意知点A 的坐标为(6，5)，点B 的坐标为(－2，3).由中点坐标公式，得线段AB 的中点C 的坐标为(2，4)，故点C 对应的复数为2＋4i. 答案 C3.若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z －|＝________.解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以z －＝－3i ，∴|z －|＝3. 答案 34.已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，求|z －z 1|的最大值.解 如图所示，因为|z |＝1，所以z 的轨迹可看作是圆心为(0，0)，半径为1的圆，而z 1对应坐标系中的点为Z 1(2，－2)，|z －z 1|可看作点(2，－2)到圆上的点的距离.由图可知点(2，－2)到圆心的距离为22，则|z －z 1|max ＝22＋1.三、审题答题示范(一) 复数几何意义的应用【典型示例】 (12分)复数z ＝(1－i)a 2－3a ＋2＋i(a ∈R )①. (1)若z ＝z －②，求|z |的值；(2)若在复平面内复数z 对应的点在第一象限③，求实数a 的取值范围. 联想解题看到①可考虑将z 化为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )的形式. 看到②可知z 的虚部为0.看到③可知z 的实部和虚部均大于0，从而求出a 的范围. 满分示范解 z ＝(1－i)a 2－3a ＋2＋i ＝(a 2－3a ＋2)＋(1－a 2)i2分(1)由z ＝z －知，1－a 2＝0，故a ＝±1.3分 当a ＝1时，z ＝0，|z |＝0； 当a ＝－1时，z ＝6，|z |＝6.5分(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于0， 即⎩⎨⎧a 2－3a ＋2>0，1－a 2>0，8分 即⎩⎨⎧a >2或a <1，－1<a <1，10分 所以－1<a <1.12分 满分心得复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )和复平面上的点Z (a ，b )一一对应，和向量OZ →一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键.基础达标一、选择题1.设z ＝3＋4i ，则复数z 1＝z －|z |－(1－i)在复平面内的对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 ∵z ＝3＋4i ，∴|z |＝32＋42＝5，∴z 1＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 1在复平面内的对应点在第二象限. 答案 B2.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1).由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限.故选D.答案 D3.在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋iC.1＋2iD.－1＋2i解析 ∵A (－1，2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2，1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i. 答案 B4.设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 因A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ，sin A ＞cos B .cos B －tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 答案 B5.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点D.2个圆解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1.∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆. 答案 A 二、填空题6.若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________.解析 z 1＝1－i 对应的点为(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为(3，－5)，由两点间距离公式得（3－1）2＋（－5＋1）2＝2 5.答案 2 57.若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________.解析 ∵复数对应的点位于第三象限， ∴⎩⎨⎧k 2－6<0，4－k 2<0，∴2<k <6或－6<k <－2. 答案 (－6，－2)∪(2，6)8.复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，那么实数a 的取值范围是________. 解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝（－2）2＋12＝ 5. 又因|z 1|<|z 2|，所以a 2＋4<5，解得－1<a <1. 答案 (－1，1) 三、解答题9.设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面内的第二象限. 解 (1)由题意得⎩⎨⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去). 故当m ＝3时，z 是实数.(2)由题意得⎩⎨⎧lg （m 2＋2m －14）＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎨⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0. 即⎩⎨⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎨⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15. 故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限.10.已知z 1＝－3＋4i ，|z |＝2，求|z －z 1|的最大值和最小值.解 如图，|z |＝2表示复数z 对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z 1在坐标系中的对应点的坐标为(－3，4)，∴|z －z 1|可看作是点(－3，4)到圆上的点的距离.由图可知，点(－3，4)到圆心(即原点)的距离为（－3）2＋42＝5，故|z －z 1|max ＝5＋2＝7，|z －z 1|min ＝5－2＝3.能力提升11.复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹方程是________________.解析 |z |＝（x ＋1）2＋（y －2）2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，即为所求方程.答案 (x ＋1)2＋(y －2)2＝912.已知f (z )＝|2＋z |－z ，且f (－z )＝3＋5i ，求复数z .解 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).∵f (z )＝|2＋z |－z ，∴f (－z )＝|2－z |＋z .又∵f (－z )＝3＋5i ，∴|2－z |＋z ＝3＋5i ，∴|2－(a ＋b i)|＋a ＋b i ＝3＋5i.即（2－a ）2＋（－b ）2＋a ＋b i ＝3＋5i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧（2－a ）2＋（－b ）2＋a ＝3，b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－10，b ＝5.∴复数z ＝－10＋5i.创新猜想13.(多选题)已知z 1，z 2是复数，以下结论错误的是( )A.若z 1＋z 2＝0，则z 1＝0，且z 2＝0B.若|z 1|＋|z 2|＝0，则z 1＝0，且z 2＝0C.若|z 1|＝|z 2|，则向量OZ →1和OZ →2重合 D.若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2解析 A 中z 1＋z 2＝0只能说明z 1＝－z 2；B 中|z 1|＋|z 2|＝0，说明|z 1|＝|z 2|＝0，即z 1＝z 2＝0；C 中|z 1|＝|z 2|，说明|OZ →1|＝|OZ →2|，但OZ →1与OZ →2方向不一定相同；D 中|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z －1＝z －2；故错误的为A ，C 选项.答案 AC14.(多填题)复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝________，|z |＝________.解析 ∵复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1， ∴z ＝2i ，∴|z |＝2.答案 1 2。