EM矢量场论2007

u u u u a x cos a y cos a z cos ax ay az x l y z
式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角
则有
u G al G cos(G, al ) l u u |max G 当 (G, al ) 0 ,即 a l与 G 方向一致时, 为最大. l l
1.3.3 标量场的梯度
一. 梯度 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方 向导数为:
设
u u u u cos cos cos l x y z u u u G ax ay az al a x cos a y cos a z cos x y z
方向导数的计算公式
u u u u ( M ) u ( M 0 ) u x y z x y z l a x x a y y a z z
x l a x l cos
z
l
l
M
M0
o x
y
y l cos ,
z l cos

dV=dxdydz
z
dx dy dz
0 y
x
1.1.2 圆柱坐标系

三个坐标变量是r，，z r=常数、 =常数、z=常数 的三个曲面正交，为正交坐 标系 圆柱坐标单位矢量为ar, a,

az
坐标单位矢量与位置有关
a r a a z a a z a r a z a r a
(2) 直角坐标系与球坐标系的关系
x R sin cos y R sin sin z R cos
2 2 2 R x y z x2 y2 z arcsin arccos 2 2 2 x y z x2 y2 z 2 y y x arctan arcsin arccos x x2 y2 x2 y2
(3) 柱坐标系与球坐标系的关系
r R sin z R cos
R r 2 z 2 r z arcsin arccos r2 z2 r2 z2
1.1.5 三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与圆柱坐标的单位矢量之间的关系
A ar Ar a A a z Az
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元

基本矢量线元：
– ar方向， ar dr – a方向， a rd – az方向， az dz – dl= ar dr+ a rd + az dz
z az dr

基本矢量面元：
– ar方向， ar rd dz – a方向， a drdz – az方向， az rd dr


1.3.1 等值面

一个标量场可以用一个标量函 数来表示
u=u(x, y, z)



每一点(x, y, z)都有一个场值u 对应,不同的点(x, y, z)场值u不 同 u=u(x ,y ,z)=C (C为任意常数) 是一个曲面，该曲面是u=C 的 点的集合 u(x ,y ,z)=C为等值面方程 C取不同，等值面不同，得到 一组等值面

u grad u al l

u=C1 u=C2
u u lim l 0 l l
在标量场中任一点M处的梯度垂 直于过该点的等值面，且指向函 数u(M)增大的方向。
矢量微分算符（nabla算符）
ax ay az x y z
“”是一个微分运算符号，同时又要当作矢量看
y a ay ar ax
ax ar a az cos sin 0
ay sin cos 0
az 0 0 1
x
例：ar a x cos a y sin
圆柱坐标与球坐标的坐标单位矢量之间的关系
ar aR a a sin cos 0
a 0 0 1
az cos sin 0
u u u u (a x ＋a y a z )u a x ay az x y z x y z
grad u u
梯度基本运算式
C 0 (Cu) Cu
(u v) u v
(uv) uv vu
u 1 2 (vu uv) v v
1.1.1 直角坐标系


三个坐标变量是x，y，z
x=常数、y=常数、z=常数的 三个曲面正交，为正交坐标
系
z
z=z1平 面
az ax y,z）
ax a y az a y az ax az ax a y
A a x Ax a y Ay az Az
l 的方向余弦是
1 2 2 2 2 cos , cos , cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 2 2 1 2 2
由式(1-40)得到
1
u l

M0
1 1 2 1 2 1 0 3 2 3 2 3 2
u u u u u lim lim ( l cos l cos l cos ) / l l 0 l l 0 l y z x
u u u u cos cos cos l x y z
例 1 1 求函数 u x 2 y 2 z 2 在点M (1，1)处沿 l a x 2a y 2a z 方向的 0， 方向导数
形象描绘场分布的工具--场线
标量场--等值线(面). 其方程为
矢量场--矢量线 其方程为
A dl 0
h ( x, y, z ) const
图0.1.2 矢量线
在直角坐标下:
图0.1.1 等值线
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
1.3 标量场的梯度
dz a o
M ar d
y
x


dV= rd drdz
1.1.3 球坐标系



三个坐标变量是r，， r=常数、 =常数、 =常数 的三个曲面正交，为正交坐 标系 球坐标单位矢量为ar, a, a 坐标单位矢量与位置有关
ar a a a a ar a ar a
第一章 矢量分析
三种常用的坐标系 矢量场与标量场 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 重要的恒等式

1.1 三种常用的坐标系
为了描述物理量在空间的位置与分布， 必须引入坐标系 电磁分析中常用有坐标系有：

– 直角坐标系 – 圆柱坐标系 – 球坐标系

根据研究的物体和空间的特点选用不同 的坐标系
A ar Ar a A a A
球坐标系中的线元、面元和体积元

基本矢量线元：
– ar方向， ar dr – a方向， a rd – a方向， a rsind – dl= ar dr+ a rd +a rsind

基本矢量面元：
– ar方向， ar r2sind d – a方向， a rsind dr – a方向， az rd dr
M0
方向导数反映标量场沿某个方向 的变化快慢 u 0时，函数u沿 l 方向 增加 l u 0时，函数u沿 l 方向减小 l u 0时，函数u沿 l 方向无变化 l u u u , , 就是函数 u ( M )沿x, y, z方向 x y z 的方向导数
l
l
M
M0
图0.2.1 三维高度场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直；
• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
梯度的性质
一个标量函数u(标量场)的梯度是 一个矢量函数。在给定点，梯度 的方向就是函数u变化率最大的 方向，它的模恰好等于函数u在 该点的最大变化率的数值。 函数u在给定点沿任意l方向的方 向导数等于函数u的梯度在l方向 上的投影，即有
grad u G a x
u grad u al l
u u u ay az x y z
梯度(gradient)
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加最快的方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度

dV= r2sin dr d d
1.1.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系
(1) 直角坐标系与柱坐标系的关系
x r cos y r sin z z
r x 2 y 2 y y x arctan arcsin arccos x x2 y2 x2 y2 z z
x x=x1 平面
y
y=y1平 面
直角坐标系中的线元
矢量线元：带方向的 线段dl，大小为长度， 方向为线的方向。 基本矢量线元：

– ax方向， ax dx – ay方向， ay dy – az方向， az dz
ax dl
z
az dz dx dy
M(x,y,z) ay

dl= ax dx+ay dy+ az dz
矢量场与标量场

场：场是物理量在空间的分布