矢量分析与场论(定理一及例题)
矢量分析与场论习题
∂Dy
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r r ∂Dz ∂Dy r ∂Dx ∂Dz r ∂Dy ∂Dx Method B: ∇ × D = e − − + ey − + ez x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y r
例题
1. 设一标量函数ϕ ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试 求： (1) 该函数ϕ 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。 r r r r o o (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el = ex cos 60 + e y cos 45 + ez cos 60o 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 r r r r ∂ r ∂ r ∂ 2 2 ∇ϕ = [(ex + ey + ez )( x + y − z )] = ex 2 x + e y 2 y − ez ∂x ∂y ∂z r r r P点的梯度 ∇ϕ P = e x 2 + e y 2 − e z | ∇ϕ P |= 3 r r r r e r 2 r 2 r 1 el = x 2 + e y 2 − ez = e + e y − ez x 3 3 3 3
电磁场理论典型习题
∂u ∂l
=
( 2 , 3,1)
∂u ∂x
cos α +
( 2 , 3,1)
∂u ∂y
cos β +
( 2 , 3,1)
∂u ∂z
cos γ
( 2 , 3,1)
= 2 xyz ( 2,3,1) cos α + x 2 z
C
1.27 现有三个矢量函数
v v v v A = er sin θ cos ϕ + eθ cos θ cos ϕ − eϕ sin ϕ v v 2 v v B = eρ z sin ϕ + eϕ z 2 cos ϕ + ez 2 ρz 2 sin ϕ v v v v C = ex (3 y 2 − 2 x) + e y x 2 + ez 2 z
v 25 25 | E | = = 解：(1) r 2 x 2 + y 2 + z 2 ，将 x=-3, y=4, z=-5 代入得
v 25 25 1 E = = = | | 2 2 2 在点(-3, 4, -5)处的 (−3) + 4 + (−5) 50 2
v v v v e + + x e y e v r x y zz er = = r r v v 25 v v 25 z 25 z E z = E ⋅ ez = 2 er ⋅ ez = 3 = 2 r ( x + y 2 + z 2 )3 2 r 25(−5) 1 将坐标代入得 E z = 503 2 = − 2 2 v v v v v v v v + + − + 2 2 e x e y e z e e e 2x − 2 y + z E B y z x y z v ⋅ v = x ⋅ = = cos α (2) | E | | B | 9 9r r
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
场论典型例题汇编
场论典型例题第一章 矢量分析 例题1、（基本矢量计算）已知两个矢量j i 2+=A ，j i 34+=B ，求（1）B A + （2）B A - （3）B A •（4）B A ⨯ （5）若A 和B 两矢量夹角为α，求αcos 。
解：（1）B A +=)34()2(j i j i +++=j i )32()41(+++=j i 55+ （2）B A -=)34()2(j i j i +-+=j i )32()41(-+-=j i --3 （3）B A •=)34()2(j i j i +•+=)32()41(⨯+⨯=64+=10（4）B A ⨯=)34()2(j i j i +⨯+=0 3 4 0 21 kj i =k 5- （5）根据内积的定义有：B A •=αcos B A ，其中A ，B 为矢量的模。
所以：BΑBA •=αcos 其中B A •在（2）中已经得到B A •=10，而A =5021222=++，B =5034222=++ 因此B ΑB A •=αcos =5510=52说明：此题可以用于掌握矢量运算法则。
例题2、（矢性函数的极限）设t t t cos sin )(B A F += )20(π<≤t ，式中A ，B 为矢量，分别为j i -=A ，j i +=B 。
求下列极限。
（1）)(lim 3/t F t π→ （2）|)(|lim 3/t F t π→解：（1）整理)(t F 。
t j i t j i t t t F cos )(sin )(cos sin )(++-=+=B A=j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++而 3/|)sin (cos π→+t t t =231+ 3/|)sin (cos π→-t t t =231- 所以)(lim 3/t F t π→=i 231++j 231- （2）|)(|t F =|j t t i t t )sin (cos )sin (cos -++| =22)sin (cos )sin (cos t t t t -++ =2=→|)(|lim 3/t F t π2说明：对矢性函数的极限，归结为对各坐标分量求极限，因此，需要温习高等数学中微积分中关于“函数极限”的内容，特别是一些常用极限的求法。
矢量分析与场论习题
矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分 注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加 ， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角 螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度 如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切 矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
电磁场第1章
第1章矢量分析及场论 【例1-2】用矢量证明三角形正弦定理。 证明 如图1-8所示，三角形三边分别用矢量A、B、C 表示，根据矢量运算有 因为B×B=0，则有
B=C-A B×C=B×A
B×(C-A)=0,
所以
BC sinα=BA sin(π-γ)
A C = sin α sin γ
第1章矢量分析及场论 同理，可以证明
第1章矢量分析及场论 2）矢量减法 借助于矢量加法运算，矢量减法可以写成
A-B=A+（-B）
（1-6）
-B为矢量B的负值，即-B的模与B相等，但方向相反。 令D=A-B，采用如图1-4所示的作图法，表示从矢量 A中减去矢量B。
第1章矢量分析及场论
图1-4矢量减法
第1章矢量分析及场论 3）矢量加法的代数表示 矢量加法可以用代数表示为
A B = sin α sin β
最后可得
A B C = = sin α sin β sin γ
第1章矢量分析及场论
图1-8矢量三角形
第1章矢量分析及场论 3．三个矢量的乘积 三个矢量的乘积 三个矢量的乘积分为两类：三重标量积和三重矢量积。 1）三重标量积 三重标量积可表示为
A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B)
图1-2空间位置矢量和距离矢量
第1章矢量分析及场论 1.1.2矢量运算 矢量运算 1．矢量的加法和减法 矢量的加法和减法 矢量的加、减运算遵循四边形法则，即两个不在同一 直线上的矢量决定一个平面，它们的和是同一平面上的另 一矢量。 1）矢量加法 【例1-1】已知矢量A、B，求C=A+B。 解 可以使用作图法得到C=A+B。
dV=dx dy dz
第1章矢量分析及场论 1.2.2圆柱坐标系 圆柱坐标系 圆柱坐标系 如图1-12（a）所示，圆柱坐标系的三个变量是ρ、φ、z。 与直角坐标系相同，圆柱坐标系也有一个z变量。各变量的 变化范围：0≤ρ＜∞,0≤φ＜2π,-∞≤z＜∞。
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而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
Pdx
Qdy
Rdz是函数u的全微
ur r
分,也称函数u为表达式 A dl Pdx Qdy Rdz的
例1.
证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解： u( x, y, z) (x,y,z) Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
x
x0 P( x, y0, zo )dx
y
y0 Q( x, y, z0 )dy
Pdx Qdy Rdz
P( x, y, z)dx
( x,y,z)
( x,y,z)
x x
x P( x, y, z)dx P( x x, y, z) x
∴ u P( x x, y, z)
x
∴ u P( x, y, z)
x
同理可证 u Q( x, y, z), u R( x, y, z)
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
以任一路径从点M0( x0 , y0 , z0 ) 到点 M( x, y, z) 积分,求出函数u后，再令v =-u就会得到势函数.
一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来 作为积分路径.
选取积分路径：
r r ur r r ur i jk i jk
ur rot A
x y z x y z
P Q R ux uy uz
r
r
ur
( uzy uyz ) i ( uxz uzx) j (uyx uxy ) k
∵ 函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,
∴ 函数u具有二阶连续偏导数.
ur r
ur
∴ rot A 0, 即 A为无旋场.
原函数.
ur r
一般地,称具有曲线积分M¼0M A d l 与路径
无关性质的矢量场为保守场.
在线单连域内,以下四个命题彼此等价：
1) 场有势(梯度场);
2) 场无旋；
3) 场保守；
4)表达式
ur A
r dl
Pdx
Qdy
Rdz是某个函数的
全微分.
3.势函数的求法
在场中选定一点 M0( x0 , y0 , z0 ), 用公式
z
R(x, y, z)dz z0
为简便计算，取 M0 ( x0 , y0 , z0 ),为坐标原点O（0,0,0） 否则，求出的势函数与此只相差一个常数
u
x
0dx
y
cos ydy
z 2x 2 yzdz sin y x 2 yz 2
0
0
0
于是得势函数 v u sin y x2 yz 2
M0( x0 , y0 , z0 ) R( x, y0 , z0 ) S(x, y, z0 ) M(x, y, z)
则
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
x
y
x0 P( x, y0, zo )dx y0 Q( x, y, z0 )dy
( x0 , y0 ,z0 )
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
( xx , y,z )
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
( x,y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
( xx , y ,z )
( xx , y ,z )
为保守场，并计算曲线积分 A d l,其中 »AB
A(1, 4,1), B(2, 3,1).
解：显然 2 yz3
D
uv A
2xz3
6 xyz 2
2 xz 3 0
3x2 z 2
6xyz2
3
x
2
z
2
6x2 yz
得rotAv 0v， 故Av为保守场。
d (x2 yz3 ) A dl 2xyz3dx x2 z 3dy 3x2 yz 2dz
2. 有势场的判定
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
证 [必要性]
设
v A
P( x,
y,
v z)i
Q( x,
y,
v z) j
R( x,
y,
v z)k
ur
如果 A为有势场，则存在函数u(x, y, z)满足
ur A gradu,
即 P ux , Q uy , R uz
1. ▽θ；读作“grad θ ”， 此时θ必须是个标势函数或标量，▽θ表示θ的梯度。 2. ▽·A；读作“div A”, 此时A必须是矢势函数或矢量，▽·A标势A的散度。 3. ▽×A，读作“rot A”,
此时A必须是矢势函数，或矢量，▽×A标势A的旋度。
[充分性]
设
uAr为无旋场，即在场中处处有rotuAr
r 0,
对于场中的任何封闭曲线l,则
ur r
ur ur
Ñl A dl
(rot A) d S
urS r
0
因此曲线积分 M0M
A
d
l与路径无关.
其积分值只
与起点 M0( x0, y0, z0 )和终点 M(x, y, z)有关.
记
( x, y,z)
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
ur ( x0 , y0 ,z0 )
下面证明这个u(x,y,z)满足 A gradu,只要证明
P ux , Q uy , R uz
u u( x x, y, z) u( x, y, z)
( xx, y,z)
( x, y,z)
Pdx Qdy Rdz
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )