矢量分析与场论习题
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
矢量期末复习题.docx
矢量分析与场论复习题注意题目中出现的e x i,e y T j,e z1.求下列温度场的等温线1)T = xy, 2) T= J ,x + y解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得C(1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = Cx '1.求下列标量场的等值面1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2)ax + by + cz解据题意可得(1)ax + by -\-cz=k(2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2(3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0,3.0)的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得—-x y 2z解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢量线方程。
3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。
解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。
4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求：1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数,2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。
2 2 解/ 的方向余弦为COS6Z = ;= ~^=,722 +32 +22V173 3 2 2COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=；A/22+32+22V17 722 +32 +22V175. 求标量场《 =小十)2 + "在点M o (l.O, 2.0, 3.0)处沿其矢径方向的方向 导数。
答案 矢量分析与场论(A卷)
系别_______ _____ _ _ 专业__________ ___年级_________ ____姓名______ _ ______学号┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈密┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈封┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈线┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈安阳师范学院 05电气，06电气专升本 专 业 矢量分析与场论 课2006——2007学年度第一学期期末考试试卷 答案(A 卷)一、判断题：在每道题前的括号中划错对号。
(每题2分, 共10分)1.√二、填空题：把正确答案填到每道题的前的括号中。
（每题3分, 共30分)（1）0 （2） k j i 4128++ （3）k t t j t t t i t t t t )1610()1743()4103(647648765--++++--+-（4）k a 2 π- （5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎩⎪⎨⎧=++=2zxy 21y 1x 10z y -x 21y 1x 1或 （6）3100 （7）)723(621k j i ++ （8）0 （9）0（10）0三、计算题（每题10分, 共30分)1.解: r rgradr = ------------------------------------------1分 dr d r2)r (f )r (f -=''⇒----------------------------7分 k z j y i x++++=222z y x 1 1ln 2)r (f ln c r +-='⇒-----------------8分)]z y x (3r [r1gradr)(div 22223++-=∴ 22)r (f -='⇒r c ----------------------9分 =r2------------------------------------------3分 413)r (f c r c +=⇒-------------10分 )r (f )gradr (div )r (f )]r (gradf [div ''+'= 43)r (f c rc+=或=)r (f )r (f r2''+'------------------------------4分 0)]r (gradf [div = 0)r (f )r (f r2=''+'∴---------------------------------5分 )r (f r2)r (f '-=''⇒)r (f r2)r (f '-='⇒dr d ---------------------------------6分2.解：△u =)53243)((3322222222--++-∂∂+∂∂+∂∂y x y x z y z x zy x ----------------------------3分=)33()324()2126(222332z y x zyz x y y x xz x -∂∂+--∂∂+++∂∂-------------7分 z y z z xy 2362624--+=-----------------------------------------------------------------10分3.解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22242420202y yz x yz z x z A D --------------------------------------------2分k j x x i yz yz A rot)00()22()44(-+-+-=∴=0-----------------------------------------------------------------------3分所以矢量场A为无旋场------------------------------------------------------------4分故为保守场，则存在数性函数)z ,y ,x (u 使得du =dl A --------------5分其中， dz )(R dy )(Q dx )P()u(zy 0x⎰⎰⎰++=x,y,z x,y,0x,0,0x,y,zdz )12(z22⎰-+=z y x ----------------------------------------------6分z222z)z (-+=z y xz z 222-+=z y x --------------------------------------------7分⎰⎰=∴B Aldl A dl A------------------------------------------------------8分⎰=BAd u --------------------------------------------------------9分(5,-1,3)(3,0,1)222z)z (-+=z y x73881=-=-------------------------------------------10分四、证明题（每题10分, 共30分)1.证明：k u j u i u gradu z y x '+'+'=--------------------3分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''=∴zz zyzxyzyyyx xzxy xx u u u u u u u u u D(gradu)--------------------------6分 k )u -u (j )u -u (i )u -u ()gradu (rot xy yx zx xz yz zy''''+''''+''''=∴--------------8分 因为函数)z ,y ,x (u 有二阶的连续偏导数所以，xy yx zx xz yz zy u u u u u u ''=''''=''''=''；；---------------9分 0)gradu (rot=∴-------------------------------------10分2.证明： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6-20241012A D ---------------------------3分06-42A div =+=∴----------------------------6分0)11()00()22(A rot=-+-+-=k j i -------9分所以，矢量场A为调和场。
矢量分析与场论习题
矢量基本概念1. 矢性函数的导数：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的导数 p6 (2.3)()()()()x y z d AA t A t i A t j A t k dt''''==++ 几何意义：其方向为t 增大的矢端曲线切线方向 p82. 矢性函数的微分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的微分 p8 ( 2.5)()()()()x y z x y z d A A t dt A t idt A t jdt A t kdtdA i dA j dA k''''==++=++几何意义：同矢端曲线相切，dt>0时与导矢方向一致，dt<0时与导矢方向相反3. 矢性函数对其矢段曲线弧长的导数d rds：单位切向矢量，指向s 增大一方 p10弧长微分ds =矢性函数微分的模等于其矢段曲线弧长微分的绝对值 dr ds = p9 (2.8) 通常定义弧长s 增大的方向与t 增大的方向一致(默认的矢段曲线正向)4. 矢性函数的积分：归结为对其三个坐标(分量，数性函数)的积分 注意分部积分公式p17 (3.9)5.圆函数：，相互垂直矢量复习题1.ds d dt dt=r d d ds ds dt dt dt dt===r r 2.矢性函数()k j i r 4sin 3cos 3,,++=t t z y x 对弧长s 的导数d d s=r？ p10例5d d dt d dtds ds dt d dt==r r r r d dt ti t j k 3sin 3cos 4=-++r ，d dt 5=r 3. ()t A 与d d tA互相垂直，则=A ? p13例7习题1.1 下列参数方程对应的矢量方程(矢径)？（1）a t b cos sint =+r i j ，椭圆x y a b 22221+=（2）4sint 3sint 4cost =++r i j k 椭圆 4x-3y=0平面 , x z 229+=圆柱习题1.2 矢量的叠加 ， OM OC CM =+习题1.6 计算切向矢量(d r dt)习题1.7曲线r 的切向矢量应与平面法向矢量垂直dri t j t k dtτ==++223，n i j k =++2 n t t τ•=++=21430得到t =-1，t =-13，因此x=.. y=.. z=..习题1.8通过两个矢量的点乘(投影)结果判断它们的夹角 螺旋线的切向矢量sin cos ()dra i a j bk ae bk d τθθθθ==-++=+1 模a b τ=+2τ向z 轴的投影cos k b ττα•==场论基本概念数量场(标量场)等值面或（等值线）互不相交，疏密程度表明了数量场的变化速度 如何求等值面方程？矢量场矢量线：线上某点的矢量A 与矢量线相切 矢量面，矢量管矢量线与矢段曲线的区别如何求矢量线方程？矢量场x y z A A i A j A k =++,其矢量线上任意点M 的矢径为r xi y j zk =++，其微分dr dxi dy j dzk =++，d r 与矢量线相切，即d r 与M 点的矢量A 方向相同y x zA A A dx dy dz== 矢量线微分方程p24 (1.5) 任意选择其中两个方程构成方程组，通过不定积分进行求解（结果中含有常数），再将M 点xyz 坐标代入，确定常数。
矢量分析与场论(定理一及例题)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
电动力学答案
r 1 1 a 3(a r )r ( a r ) 3 3 (a r ) 3 3 r r r r r5 （2） （3） [(a r ) r ] r ( a r ) (a r ) r 4a r ( a )
（4） [(a r ) r ] (a r ) r (a r ) r a r
A B 3e x e y 解 （1） A C 3e x 2e y 3e z （2）
ex
ey Ay By
ez Bz
ex 1
ey 0
ez 1
A B C
（3） （4）
Ax Bx
Az C 2
1 1 ( e x e y 2e z ) 0
(uv )
1 u 1 v 1 u 1 v 1 u 1 v ve 1 ue 1 ve 2 ue 2 ve 3 ue 3 h1 q1 h1 q1 h2 q 2 h2 q 2 h3 q3 h3 q3
（2）
1 v 1 u 1 v 1 v 1 u 1 u u e e e v e e e 1 2 3 1 2 3 h q h q h q h q h q h q 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 1 1 uv vu (h3 A3 ) (h2 u ) (h2 A2 ) 1 (h3u ) (uA) A3 u A2 u e 1 h2 h3 q 2 q 2 q 3 q3 (h3u ) (h3 A3 ) (h1 A1 ) 1 (h1u ) A1 u A3 u e 2 h1h3 q3 q3 q1 q1 (h2 A2 ) (h1u ) (h1 A1 ) 1 (h2 u ) A2 u A1 u e 3 h1h2 q1 q1 q 2 q 2
矢量分析报告与场论课后问题详解
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
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∂Dy
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r r ∂Dz ∂Dy r ∂Dx ∂Dz r ∂Dy ∂Dx Method B: ∇ × D = e − − + ey − + ez x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y r
例题
1. 设一标量函数ϕ ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试 求： (1) 该函数ϕ 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。 r r r r o o (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el = ex cos 60 + e y cos 45 + ez cos 60o 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 r r r r ∂ r ∂ r ∂ 2 2 ∇ϕ = [(ex + ey + ez )( x + y − z )] = ex 2 x + e y 2 y − ez ∂x ∂y ∂z r r r P点的梯度 ∇ϕ P = e x 2 + e y 2 − e z | ∇ϕ P |= 3 r r r r e r 2 r 2 r 1 el = x 2 + e y 2 − ez = e + e y − ez x 3 3 3 3
4 已知
r r R， D= 3 R
r r r r R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z
r 求： D 的散度（ R ≠ 0 ） 。 r ∂ x − x' ∂ y − y' ∂ z − z' ∇⋅D = ( 3 )+ ( ) + ( 3 ) 3 ∂x R ∂y R ∂z R 1 1 ∂ 1 1 ∂ 1 ∂ 1 = 3 + ( x − x' ) ( 3) + 3 + + ( z − z ' ) ( 3) ( 3) 3 R R + ( y − y') ∂x R R ∂z R ∂y R 1 3( x − x ' ) 2 ∂ 1 = 3 − 5 ( 3 ) = − 3R −4 ∂ ( R ) = −3R −4 x − x ' R R ∂x R R ∂x 2 1 3( y − y ' ) + 3 − ∂ 1 y − y' R R5 ( 3 ) = −3 R5 ∂y R 2 1 3( z − z ' ) + 3 − R R5 ∂ 1 z − z' ( 3 ) = −3 3 3 =0 ∂z R R5 = 3 − 3 R R
R1 = r1 R2 = r2 r r R1 ⋅ R2 = x x + y y + z z = r1r2 cos ϕ1 cos ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + 1 2 1 2 1 2 r1r2 sin ϕ1 sin ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 = r1r2 cos( ϕ − ϕ ) sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 r 1 r 2 R1 • R2 cos γ = = cos(ϕ1 − ϕ 2 ) sin θ1 sin θ 2 + cos θ1 cos θ 2 R1 R2
∂Dy
( x − x' )( y − y' ) ∂Dx = = −3 ∂x ∂y R5
r ∇× D = 0
6 已知
O为坐标原点，P为r>a处的一点，l为由O指向P的连线，求
r r ρr E1 = er r<a 3ε 0 r r ρa3 E2 = er r<a 2 3ε 0 r
r r r r dl = er dr + eθ rdθ + eϕ r sinθdϕ r r dl = er dr r P r r r r a r r ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ er dr = ∫ E1 ⋅ er dr +
O 0 0
a 0
∫
P
O
r r E ⋅ dl
P
=∫
3 2 3 ρr r ρa ρ a ρ a 1 1 dr + dr = − ( − ) 2 ∫ a 3ε 0 3ε 0 r 6ε 0 3ε 0 r a
∫
0
a
r r E2 ⋅ er dr
ρa 2 ρa3 = − 2ε 0 3ε 0 r
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r 1 R ∇( ) = − 3 R R r 1 R ∇' ( ) = 3 R R 1 1 ∇( ) = −∇' ( ) R R
r R r ∇R = = eR R ∇R = −∇' R
r r R ∇ ' R = − = − eR R
P
ÿÿ
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r r r 2 已知 E = ex E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) ，求 ∇ × E r r ∂Ez ∂E y r ∂Ex ∂Ez r ∂Ey ∂Ex − ∇ × E = ex ( − ) + ey ( − ) + ez ( ) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x r ∂Ex r = −ey = −ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂z r r r ∂B 若∇ × E = − ，求B ∂t r r r ∂B = −∇ × E = ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t r r ∂B r B=∫ dt = ey kE0 ∫ sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t
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r r r r o o o e = e cos 60 + e cos 45 + e cos 60 (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 l x y z
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。
r k = −ey E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) + C ω
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1 1 ( 1 ) ∇ R ( 2 ) ∇ ' R ( 3 ) ∇ ( ) ( 4 ) ∇ ' ( ) P’点之间的距离，R≠0。求： R R r r r r r ∂ r ∂ r ∂ r r r r = xex + ye y + zez ∇ = e + ey + ez x R = r − r ' ∂z ∂x ∂y r r r r r ' = x ' e x + y ' e y + z ' ez r ∂ r ∂ r ∂ ∇' = ex + ey + ez r r r r ∂x' ∂y ' r ∂z ' R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z r r R r R r ∇R = = eR ∇ ' R = − = − eR | R |= ( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 R R 1 ∂ R 2 2 2 2 r ∂R r ∂R r ∂R ∂ x − x + y − y + z − z [( ' ) ( ' ) ( ' ) ] = ∇R = e x + ey + ez ∂x' ∂x ∂y ∂z ∂x' 1 x'− x x − x' ∂R ∂[( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 = = − = R R ∂x ∂x 1 − ∂R y − y' ∂R z − z' = [( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 ( x − x' ) =− =− ∂y ' R ∂R y − y ' ∂z ' R x − x' ∂ R z − z ' = = = ∂ y R R ∂z R
a
7. 在圆柱坐标系中，一点的位置由 定出，求该点在 （1）直角坐标系中；（2）球坐标系中的坐标。
(4,
2π ,3) 3
2π ρ = 4, ϕ = ,z =3 3 x = ρ cos ϕ = 4 cos 2π = −2 3 y = ρ cos ϕ = 4 sin 2π = 2 3 3 z =3 (2,2 3 ,3) （2）r = x 2 + y 2 + z 2 = 5 z 3 θ = arccos = arccos r 5 ρ 4 = arctan = arctan z 3 = 0.9273(弧度） = 53.10