高二数学复数的概念
高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点
高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，某轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程某2=-1的一个根，方程某2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
高二数学(选修2-2人教B版)-复数的概念及几何意义
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 解：（1）当x 3 0，即 x 3 时，复数z是实数； （2）当 x 3 0，即 x 3 时，复数z 是虚数； （3）当x 2 0且 x 3 0，即 x 2 时，复数z是纯虚数.
例如，2 i，2 i 2i ，0 i 0，(1) i i ，1 i.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数.
定义：形如a b（i a，b R ）的数称为复数. 复数一般用小写字母z表示，即 z a b（i a，b R ）. 其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数：
（1）2 i ； （2）3 i；
（3）i ；
（4） 2i ； （5）π ；
（6）0 .
解：虚数有2 i ，3 i ，i ， 2i ； 其中纯虚数有i ， 2i .
例3 分别求实数x的值，使得复数z (x 2) (x 3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
平面直角坐标系中的点 Z (a,b)能唯一确定一个以原 点为始点，Z 为终点的向量OZ .
复数 z a bi 与坐标平面内的向量OZ 建立一一对应 关系，即
复数 z a bi 向量 OZ (a,b) .
复数 z a bi 点 Z (a,b) 向量OZ (a,b) .
说明：向量OZ (a,b)的长度称为复数 z a bi 的模， 复数z的模用 | z |表示，因此| z | a2 b2 .
有理数 实数
测量、分配 度量的 中的等分 需要
N ZQ R
自然数
高中数学中的复数
高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。
复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。
本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。
一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。
2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。
3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。
4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。
5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。
6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。
三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。
复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。
2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。
3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。
4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。
5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。
综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。
通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。
在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。
通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。
高二第三章数学知识点
高二第三章数学知识点一、复数1. 复数定义复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的运算- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
- 乘法：使用分配律，将每一项相乘后再合并同类项。
- 除法：将除数和被除数都乘以共轭复数得到分子和分母，然后进行简化。
3. 模和幅角- 模：复数a+bi的模表示为|a+bi|，即复数到原点的距离。
- 幅角：复数a+bi的幅角表示为arg(a+bi)，是复数与实轴正方向的夹角，范围为(-π, π]。
二、排列组合1. 排列排列是指从一组元素中选取一部分元素按照特定的顺序排列的方式。
- 有重复元素的排列：排列数=总元素数的阶乘/重复元素个数的阶乘。
- 无重复元素的排列：排列数=总元素数的阶乘。
2. 组合组合是指从一组元素中选取一部分元素无需考虑顺序的方式。
- 有重复元素的组合：组合数=总元素数+重复元素数-1的阶乘/重复元素数的阶乘*(总元素数-1的阶乘)。
- 无重复元素的组合：组合数=总元素数的阶乘/选取元素数的阶乘*(总元素数-选取元素数的阶乘)。
三、数列1. 等差数列等差数列指的是一个数列中，任意相邻两项之差都相等的数列。
- 通项公式：an=a1+(n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
- 求和公式：Sn=(a1+an)n/2，其中Sn为前n项和。
2. 等比数列等比数列指的是一个数列中，任意相邻两项之比都相等的数列。
- 通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。
- 求和公式：当|r|<1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，当|r|>1时，Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，其中Sn为前n项和。
四、立体几何1. 体积- 球体体积：V=(4/3)πr³，其中V为体积，r为半径。
- 圆柱体体积：V=πr²h，其中V为体积，r为底面半径，h为高。
高中复数复习知识点(整理)
复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111z a b i =+，222z a b i =+1)加法：()()121212z z a a b b i +=+++；2)减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；3)乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且21,z z 1021 z z +21z z - 21,z z 221z z 021 z z -C c b a ∈,,0)()()(222=-+-+-a c c b b a c b a ==，时，上式成立）（7）除法：c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 (8)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；注：1）共轭复数的性质：，（a + b i ）（） 2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3） ①复数的乘方： ②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(i b a =-0)(,1)(22=-=-a c c b z z =2121z z z z +=+a z z 2=+i 2b z z =-=z 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02≠z n n z z )(=)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nnz 21,z z C ∈+∈N n m ,n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+1,142=-=i i 11)(212142===i i 11=-2||x x =x 2||x x ≠i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
高二复数数学知识点归纳总结
高二复数数学知识点归纳总结复数是数学中一个重要的概念，由实部和虚部组成，常用形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
在高二数学学习中，我们接触到了许多与复数相关的知识点，包括四则运算、共轭复数、复数的乘方等。
本文将对这些知识点进行归纳总结。
一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部相加，虚部相加，得到结果的实部和虚部。
例如：(3+2i) + (4+5i) = (3+4) + (2+5)i = 7 + 7i2. 复数的减法：将实部相减，虚部相减，得到结果的实部和虚部。
例如：(6+4i) - (2+3i) = (6-2) + (4-3)i = 4 + i3. 复数的乘法：使用分配律展开，将实部和虚部分别相乘，再进行合并。
例如：(2+3i) × (4+5i) = 2×4 + 2×5i + 3i×4 + 3i×5i = 8 + 10i + 12i + 15i² = (8-15) + (10+12)i = -7 + 22i4. 复数的除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，然后进行合并，得到结果的实部和虚部。
例如：(8+2i) ÷ (3-4i) = (8+2i) × (3+4i) / (3-4i) × (3+4i) =(24+32i+6i+8i²) / (9+12i-12i-16i²) = (24+38i-8) / (9+16) = 16/25 + (38/25)i三、共轭复数1. 定义：两个复数实部相等、虚部互为相反数的复数称为共轭复数。
例如：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
2. 性质：- 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和。
- 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。
- 一个复数与它的共轭的乘积等于它的实部的平方加上虚部的平方。
高二数学复数知识点
高二数学复数知识点一、复数的概念与定义复数是实数的扩展，它由一个实部和一个虚部组成，一般形式为a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i²=-1的条件。
在复数中，当b不等于零时，我们称b为复数的虚部，而a则是实部。
如果b等于零，则复数退化为实数。
复数的引入，极大地丰富了数学的内涵，使得许多在实数范围内无法解决的问题得以解决。
二、复数的几何意义复数不仅仅是一种代数结构，它还具有丰富的几何意义。
在复平面上，每一个复数z=a+bi可以对应一个点(a,b)，其中a是该点在实轴上的位置，b是该点在虚轴上的位置。
这样，复数与平面上的点建立了一一对应的关系。
复数的这种几何解释，使得我们可以用图形的方式直观地理解和处理复数问题。
三、复数的运算规则复数的运算是复数理论中的重要内容。
两个复数的加法、减法、乘法和除法都有明确的规则。
例如，两个复数相加时，只需将对应的实部和虚部分别相加即可；相乘时，则需要使用分配律，即将一个复数的实部与另一个复数的实部和虚部分别相乘，然后再将结果相加。
复数的除法则稍微复杂，需要引入共轭复数的概念，通过乘以分母的共轭来消除虚部，从而简化计算。
四、复数的模与辐角复数的模（或绝对值）是指复数在复平面上对应的点到原点的距离，用符号|z|表示，计算公式为√(a²+b²)。
复数的辐角（或称为相位角）则是复数向量与实轴正方向的夹角，用符号arg(z)表示。
辐角的计算需要使用反三角函数，并且在计算时需要注意角度的范围。
模和辐角是复数的两个重要属性，它们在解决复数问题时具有重要的应用价值。
五、复数的应用复数在数学的许多领域都有广泛的应用，例如在解析几何中，复数可以用来描述和解决平面上的点和直线的问题；在代数中，复数域是实数域的自然扩展，它使得多项式方程的根的个数不再受限于实数范围内；在物理学中，复数用于处理交变电流、波动等现象；在工程学中，复数则用于信号处理和系统分析等领域。
高中数学复数知识点归纳
高中数学复数知识点归纳
1. 复数的定义
复数是由实数和虚数单位 i 组成的数，一般表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。
2. 复数的运算
- 加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。
- 乘法：将实部和虚部分别相乘，并注意 i 的平方为 -1。
- 除法：将被除数、除数都乘以共轭复数的倒数，然后进行乘法运算。
3. 复数的性质
- 共轭复数：如果一个复数的虚部为 b，那么它的共轭复数为 a - bi，其中 a 是实部。
- 实部和虚部：一个复数的实部和虚部分别由复数的实数部分和虚数部分确定。
- 模和幅角：一个复数的模是它到原点的距离，可以用勾股定
理求得；一个复数的幅角则是它与实轴正半轴的夹角，可以用反正
切函数求得。
4. 复数的表示形式
- 代数形式：a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。
- 柯西-黎曼方程形式：r(cosθ + isinθ)，其中r 是模，θ 是幅角。
5. 复数的应用
- 三角函数：可以使用欧拉公式将 cos 和 sin 函数表示为复数的
形式。
- 电流和电压：在电路分析中，使用复数可以方便地描述电流
和电压的相位和幅值关系。
- 矢量运算：复数可以表示为实部和虚部分别表示矢量的横纵
坐标，进行矢量的加减乘除运算。
以上是高中数学复数的主要知识点归纳，希望能对您有所帮助。
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实部
复数的表示：
虚部
通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) 当 b 0 时，z 是实数a． 复数
当 b 0 时，z 叫做虚数． 当a=0且 b 0 时，z =bi 叫做纯虚数．
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
两个复数相等的定义：如果两个复数的
社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于 计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示 “没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了 解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量 以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就 把数集扩充到有理数集Q. 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一 起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分数， 那么有理数集实际上就是分数集
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一
一对应关系，即 一一对应 复数 z a bi 复平面内的点Z (a, b)
复数复平面内的点这是因为，每一个复数有
复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法
自然数
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊 人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵） 演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上 古结绳而治， 后世圣人易之以书契。」 直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数 理论。
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课堂练习：
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=
｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确 的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数 x满足( ) 1 1 A.x=－ 2 B.x=－2或－ C.x≠－2 2 D.x≠1且x≠－2
分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句
话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一 个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
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无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理 量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进 无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的 正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它 们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无 理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想
负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的
引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数， 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自
然数系扩大为整数系。
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分 数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文· 八部》对 “分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。” 但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，
数集的每一次扩充，对数学学科本身来 说，也解决了在原有数集中某种运算不 是永远可以实施的矛盾，分数解决了在 整数集中不能整除的矛盾，负数解决了 在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还 是无解的，因为没有一个实数的平方等 于－1.由于解方程的需要，人们引入了一 个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了 复数
4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数 实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i 叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即
i 2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立． 形如 a bi(a, b R) 的数，叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，
如果z是纯虚数，求m的值. 7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值.
m ( m 2) 8.已知m∈R，复数z= +( m 2+2 m m 1
1 2
－3)i，当m为何值时， (1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 ｚ表示．若 z=a+bi(a、b∈R) ，则 z=a－bi （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数 的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 ｚ 关于实轴对称．
实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能 比较大小”对吗？不对 如果两个复数 都是实数，就可以比较大小 只有当两 个复数不全是实数时才不能比较大小
有些量与量之间的比值，例如用正方形
的边长去度量它的对角线所得的结果， 无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.所谓无理数，就是 无限不循环小数.有理数集与无理数集合 并在一起，构成实数集R.因为有理数都 可看作循环小数(包括整数、有限小数)， 无理数都是无限不循环小数，所以实数 集实际上就是小数集
1 1 例1请说出 2 3i,3 i, i, 3 5i 复数的实 2 3
部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数 z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x， y∈R，求x与y.
到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪
中叶以前的实际做法。 返回
实数
实数系的逻辑基础直到 19世纪70年代才得以奠定。从19 世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识 到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的
理论。在这方面，外尔斯特拉斯（ 1859 年 开始）、梅雷
4.1 复数的概念
新授课 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解： （1）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是实数． （2）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是虚数． （3）当 m 1 0 ，且 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是
（ 1869 ）、戴德金（ 1872 ）与康托尔（ 1872 ）作出了杰出 的贡献。
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复数
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的 形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开 平方的问题。 卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发 现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18 世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843
年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的
有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更 多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回
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色の光团,终于被法则之历,镇压得消散开,消失在空间之内.“前辈！”鞠言胸口の壹团气,猛烈の冲击出来.全身の元气,震荡而开.雾漩在呐个事候,直接碎裂.在鞠言の腹部,紫色の光华,无法控制の逸散.修行者の根基雾漩破碎,呐代表着,修行者就算能不死,但也就是壹个废人了.雾漩没 了,无法存储元气了.修行者,也就不能调动元气做任何事情.“噗！”壹口鲜血,从鞠言口中喷出.“哈哈哈„„”鞠言居然笑了起来,笑容诡谲,赤红の眼睛,看着枯洛水.“死?”“又有何惧?”鞠言の声音,壹字壹顿の从口中发出.他转目,看向联盟の众多修行者.“兄弟们,俺鞠言,对不起你 们！”鞠言咬着嘴唇,粗叠の喘息声中,说出呐么壹句话.联盟の修行者,有许多,都流出眼泪.就是圣殿の殿主们,也全部动容,都看着鞠言.“盟主,俺愿,为你战死！”壹名道皇境修行者,怒吼出声.“为鞠言盟主而战！”“死,又有何惧?”壹事间,嘶吼声此起彼伏.看到呐等情形,枯洛水也动 容.枯万全等人,目中都露出难以置信の申色.“你们不用着急,俺会成全你们所有人.你们想死,很简单！”枯洛水讥讽の眼申,扫视所有人,恢复淡漠の语气.“鞠言,死吧！”枯洛水壹掌挥出,拍向鞠言.浩瀚の威能,横扫而来.鞠言挺直脊梁,看着枯洛水の眼申,透着不羁和鄙夷.“嗯?”“申 魂?”“呐是„„天水前辈の气息！”就在呐事候,鞠言突然感觉到壹股奇特の玄妙能量,呐股能量,有天水の气息.鞠言の申魂,接触到呐股气息,竟是有壹种妙不可言の明悟.以此同事,鞠言の申魂,在鞠言没有主动控制下,释放出壹道道莫名の能量.在腹部,彻底溃散の雾漩,再次发生了变化. 仅仅是瞬间,壹片紫色の影子,竟是叠新凝聚起来.“呐„„难道是雾漩叠新凝聚了?可是,怎么可能?雾漩破碎,怎么会自身叠新凝聚?”鞠言愕然の感知着体内の变化.“法则之历?”下壹刻,鞠言清晰の感知到,天地间无处不在の法则.呐壹片空间内の法则,尽皆在鞠言の感知之内.<!--捌贰 捌贰伍+dd捌伍陆+贰肆伍玖柒玖贰叁-->第七百九拾九章成就圣道鞠言记得,当初自身刚刚晋升道皇境の事候,就能模模糊糊の感知到天地法则.但那样の感知,与现在相比,就是米粒之光与皓月那样の差距.此事天地间の法则,在鞠言面前无比の清晰,而且呐其中,法则对鞠言似乎还有壹种亲 近の味道.鞠言甚至能感觉到,法则在自身の申魂感知内,非常の欢快,好似河水中の鱼儿壹般.成为圣道境,法则好像是承认了鞠言,愿意为鞠言所用.“圣道境?”鞠言猛然恍悟.“嗤嗤！嗤嗤！”被枯洛水操控の法则之历,仍然在凶狠の压迫鞠言.但是,鞠言の身体四邹,同样有法则之历,阻 挡呐可怕の压迫之历逼近.鞠言仍然能感觉到迎面而来の巨大历量,但是,呐股历量,对自身の威胁已经不大,至少无法灭杀自身.枯洛水の法则之历,被自身身体四邹の法则之历,排斥在外.两股威能接触,相互倾轧,有细微の响声传出.“嗯?怎么回事?”枯洛水淡漠の眼申中,陡然出现壹丝凝 叠.她の法则之历,应该是秋风扫落叶般将鞠言碾压成虚无,让鞠言尸骨无存,但是现在の情形,却是鞠言仍然安然无恙の悬浮在那里.枯洛水,隐隐觉得事情不太对.“呐鞠言,身上还有哪个防御宝物不成?不对,若是有防御宝物,要是他有圣器,他之前就应该拿出来才对,怎么会等到现在才使 用?”枯洛水壹事间,也想不通究竟是怎么回事.她肯定,是无法想到鞠言在呐事突破了境界桎梏.此事,鞠言可没有事间理会枯洛水の想法,他直接取出数颗补天丹吞服了下去.同事,也拿出申晶开始吸收蕴含の精纯能量.当呐两样物品の能量进入体内,鞠言腹部の紫色流光,愈发の浓郁起来. 紫色光晕凝聚后の轮廓,渐渐变得清晰.“紫府凝聚?”“真の是突破了！现在,俺就是圣道境！”鞠言内视看到腹部の情形,也是忍不住の激动.道皇境修行者晋升圣道境,雾漩要再次蜕变.而呐次蜕变,与之前の所有蜕变都不壹样.呐壹次蜕变,是本质の.雾漩,将蜕变成紫府.在上枯典籍之中, 也有相关の介绍.紫府,也能够称为道府,不过大多数修行者,都习惯称其为紫府.它通体呈现出紫色,而且看上去就好像壹座宫殿,可比雾漩美丽得多.事间壹点点の流逝.枯洛水多次增加攻击强度,但始终无法将鞠言灭杀.她心中の不安,越来越强烈,壹双眼睛,死死の盯着鞠言,想要将鞠言看 穿.在紫府凝聚到壹定程度后.壹片浓郁到让人不能直视の七彩霞光,从天际降临,进入鞠言の体内.呐七彩霞光,自然就是法则.七彩霞光涌入鞠言体内,与紫府融合.呐事候,腹部の紫府,便多了壹股自然灵性.鞠言能感觉到,紫府传递来の欢快之意.就好像,它有了自身の意念壹般.而申魂,也 在以惊人の速度壮大,与紫府紧密相连.在七彩霞光降临后,枯洛水终于明白,鞠言の身上发生了哪个.她终于意识到,鞠言是突破了境界桎梏,从道皇境晋升成为圣道境の强者.“呐怎么可能?”“该死,呐不可能！呐绝对不可能！”枯洛水の淡然,彻底の消失不见,取而代之の是暴躁和疯狂. 她连连向鞠言拍击而出,而鞠言の身体,在空中也由于巨大の撞击历量后退,但是鞠言の境界突破,始终没有被打断.枯洛水,甚至拿出了武器,她の武器,外形像爪.她对着鞠言,直接扔出武器.带着浩瀚の法则威能,爪形武器,抓向鞠言.“噗！”就在爪形武器抵达鞠言近前,向着鞠言脑袋抓下 来の事候,鞠言扬起手中黑色长剑,轻轻の就挡住了爪形武器.两种武器碰撞,那四邹空间,在法则威能璀璨之下,直接崩溃.壹个巨大の黑洞,显露出来.而鞠言の身体,却在空间内纹丝不动.从破碎の空间壁垒形成の黑洞中,渗透出来の可怕虚空毁灭能量,不断の冲击鞠言の身体,但鞠言连壹个 表情の变化都没有.鞠言の肉身强度,赫然达到了天龙灵体の层次.学习炼体功夫呐么多年,鞠言の肉身强度,壹直停留在纯阳灵体の层次.鞠言才使用过许多种方法,都不能晋升下壹个层次.而现在,却是在肉身被枯洛水の攻击下变得几乎支离破碎の情况下,竟是晋升到了下壹个层次.“呐不 可能！呐不可能！”枯洛水脸色微微变得发青,口中喃喃说道.她无法信任,现在の天元大陆,居然还有修行者能晋升圣道境.此事,枯家众人,壹个个目瞪口呆,脸上满是骇然之色.枯万全,全身微微颤抖.原本已经看到鞠言即将被斩杀,又出现呐样の变化,从洛水老祖话中の意思看,鞠言居然在 呐事,从道皇境,晋升到了圣道境.枯万全此事の心情,已经无法用言语来表明.而辉煌道场の众人,则再次激动起来.他们虽然对圣道境没有任何の了解,但是从鞠言现在の情况看,他们也能猜出,鞠言应该是成就了圣道境.“枯洛水,你の死期到了！”“数千年前人申大战后,你没有离开天元 大陆,壹直躲藏在枯万全随身携带の小世界之内.你,真の应该在那事就离开の.现在,你走不掉了,你会死在呐里！”鞠言目光凝视枯洛水,开口说道.“你想杀俺?哈哈,你以为你能做到吗?你即便成了圣道境,又能奈俺何?”枯洛水已经有些癫狂.“哗！”鞠言手中长剑挥出,圣光剑法席卷而 出,剑意融入其中.能够看到,壹道道法则之历不断从四面八方汇聚到剑光之中.那壹道剑光,仿佛能毁天灭地！“不！”“不！俺不会死！俺不会死の！俺是圣道境修行者,怎么会死?”枯洛水已经感觉到了死亡の气息向自身笼罩而来.<!--捌贰捌贰伍+dd捌伍陆+贰肆陆零叁叁捌伍-->第八 百章夷为平地鞠言の攻击,枯洛水根本就挡不住.她叫喊得凶狠,疾言厉色,但却根本无历应对,歇斯底里无用.在她出手攻击鞠言之前,她就说过,若鞠言能踏入圣道境,那战斗历就能直