高二数学复数的定义和复数的坐标表示(学生版)
复数坐标表示
3 2
Z4
O
2
x
Z5
2
3. 复数的模
复数 z a bi 所对应的点 Z a, b 到坐标原点的距离
叫做 复数 z 的模（或绝对值），记作 z .
y
由复数模的定义：z a2 b2 z 0
注：当 b 0时，复数 z a bi是一个实数a， b
Z：a bi
它的模等于 a 即实数a的绝对值 .
思考 若 a b 呢,复数 z a bi 共有多少个？
10 9 90 个
2.复数的向量表示
y
平面直角坐标系内点 Z a,b
一一对应
b
uuur
位置向量OZ a,b
O
Z：a bi
Hale Waihona Puke ax所以一个复数 z a bi
一一对应
位置向量
uuur OZ
a,
b
uuur
即，我们可以用向量 OZ a,b 表示复数 z a bi
解：
t2 2t 0
t 1 2t 1
0
1 t2 2
uuur
复数 z 对应的点 Z 到原点的距离等于4, 即 OZ 4
满足 z 4的复数 z 对应的点 Z
y
所组成的集合(轨迹）： 是以原点为圆心，半径为4的圆.
Z：x yi 4
或设z x yi x, y R
O
4x
z x2 y2 4 即 x2 y2 16
同理，满足 2 z 4 的复数 z 对应的点Z所组成的集合：
复数的坐标表示方法
➢ x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 y
➢ 表示实数的点都在x 轴上，
表示纯虚数的点都在y轴上. b
Z：a b i
➢ 原点表示实数 0
13.2复数的坐标表示
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
五、模的几何意义
例5.（2）满足 3<|z|<5
(z∈C)的复数z对应的点在复平 5
四、复数的模
例4.求证：下列四个复数在复平面内对应的点 在同一个圆上. 2 2 z1 1 ，z2 i，z3 cos15 sin 15i，z4 i 2 2 2 2 证明： OZ1 1 0 1
OZ 2
Hale Waihona Puke 0 1 12 2
OZ 3
cos 15 sin 15 1
(1) | Z | 1
( 2)2 Re Z 4 ( 3) | Z | 3, Im Z 0
五、模的几何意义
例7、复数Z ( x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围; (2)求 | Z | 的最小值.
六、课堂小结
1.复数的坐标表示；
2.复数的向量表示； 3.复数的模；
y
面上将构成怎样的图形？
设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
3
5 x
9 x 2 y 2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
五、模的几何意义
例6、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi,(x,y∈R)对应 的点Z所表示的图形.
复数的坐标表示
.
例1、已知集合A={n|n≤9，n∈N} (1)若一个复数的实部与虚部都是集合A的元素，则可得 多少个不同的复数，并在复平面上作出。 (2)在(1)中的复数中，有多少个虚数？多少个纯虚数？
例2、在复平面内作出表示下列复数的向量 Z1=2+2i Z2=-3-2i Z3=2i Z4=-4 Z5=-2-2i
1 (4)Z4 (t t ) 2i(t R)
.
例5、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi(x,y∈R)对 应的点Z所表示的图形
(1) | Z | 1 (2)2 ReZ 4 (3) | Z | 3, Im Z 0
.
例6、复数Z (x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围 (2)求 | Z | 的最小值
O2 4 x
复数Z所对应的点Z组成的集合是以原点 O为圆心，分别以2和4为半径的两个圆 围成的圆环（包括边界）
复数Z=a+bi(a,b∈R)的模与表示向量OZ的模一致，
所以复数的模也可以说成是其对应向量的模
.
例4、求下列复数的模：
(1)Z1 3 4i 1
(2)Z2 2 2i (3)Z3 cos150 i sin150
| Z || a bi | a2 b2
特别： 1、b=0,Z=a+bi(a,b∈R)是实数a，它的模于|a|
(即实数a的绝对值） 2、Z=0时，|Z|=0.
.
2、模的几何意义：在复平面内表示Z的点到原点的距离。
|Z|=4
y
复数Z所对应的点Z到原点的距离等于4
即以原点为圆心，以4为半径的圆 2＜|Z|≤4
x轴叫实轴，y轴叫虚轴 表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
复数的有关概念
复数的有关概念[重点难点]1．复数的定义:形如a+bi(a,b∈R）的数叫做复数。
a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。
复数的分类如下:a+bi(a,b∈R)2．复数相等的充要条件设a,b,c,d∈R, 则a+bi=c+di a=c且b=d。
特别地:a+bi=0 a=b=0。
应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样。
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础。
3．复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以(a,b)为坐标的点Z表示复数z=a+bi。
（2）向量表示:以原点O为起点，点Z(a,b)为终点的向量表示复数z=a+bi。
向量的长度叫做复数a+bi的模，记作|a+bi|。
V=||=|z|=≥0。
应当理解:10向量可以平移，只有位置向量零向量除外可以与点Z(a,b)以及复数z=a+bi有一一对应的关系。
20两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
例题选讲:例1．实数m取何值时，复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
解:（1）当m2-3m+2=0即m=1或m=2时，z为实数；（2）当m2-3m+2≠0即m≠1且m≠2时，z为虚数；（3）当即m=-1时，z为纯虚数。
例2．已知复数z=(3m2-5m+2)+(m-1)i (m∈R) 若所对应的点在第四象限，求m的取值范围。
解:∵=(3m2-5m+2)-(m-1)i∴解得m>1。
∴m∈(1,+∞)为所求。
例3．已知方程2x2-(2i-1)x+m-i=0有实根，求实数m。
解:设实根为x0, 则2x02-(2i-1)x0+m-i=0,即2x02+x0+m-(2x0+1)i=0∴解得∴m=0为所求。
例4．已知z1=3-4i, z2=2-x-1+4i(x∈R), 且|z2|≤|z1|，求x的取值范围。
解:∵|z1|==5,|z2|=。
∴≤5, 解之得x≥-2。
数学职高知识点高二上册
数学职高知识点高二上册一、复数1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i构成的数，记作a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分。
2. 复数的性质- 复数的加减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
- 复数的乘法：将实部的乘积减去虚部积的平方。
- 复数的除法：将被除数和除数同时乘以共轭复数，然后进行实数除法。
3. 常见的复数形式- 代数形式：a+bi- 三角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。
- 指数形式：re^iθ，其中r为复数的模，θ为辐角。
二、平面向量1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
2. 向量的坐标表示向量可以用坐标表示为(x,y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
3. 向量的运算- 向量的加法：将两个向量的对应坐标相加。
- 向量的减法：将两个向量的对应坐标相减。
- 向量的数量积：两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
- 向量的向量积：两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
三、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件。
- 概率：某个随机事件发生的可能性大小。
2. 概率的计算- 经典概型：根据实验结果的分布特征，计算事件发生的概率。
- 几何概型：通过几何图形或面积模型，计算事件发生的概率。
- 统计概型：通过统计数据或样本资料，估计事件发生的概率。
3. 统计量与抽样- 统计量：根据样本数据计算得出的一个数值，可以用来描述总体的特征。
- 抽样：从总体中随机选取部分样本进行观察和测量。
四、函数与方程1. 函数的定义函数是两个集合之间的一种特殊关系，对于集合A的每个元素，都存在集合B中的唯一元素与之对应。
2. 二次函数与一次函数- 二次函数：函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
- 一次函数：函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数。
3. 方程的解- 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，其中a、b为常数。
(完整版)复数的基本概念和几何意义
复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.6.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念 例1、下列命题：①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（ ）A.①B.②C.③D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】 D变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4解析：选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）m －1＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；（3）若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，所以a ＝±2.（3）设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝（10－m －2m 2）i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或－715.变式训练3、已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值.解：由题意知，a 2－3a －1＋（a 2－5a －6）i ＝3（a ∈R ），所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1， 所以a ＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上； （2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.（2）若z 对应的点在第三象限，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 变式训练4、求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限； （2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）. （2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得 a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ； OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）. 如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模 例6、（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2 （2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）. 因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部， 故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17. 将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合， 由图可知－7<a <7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A. B.2 C.0 D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=<3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-2<0,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[],∴m∈(-∞,)∪,+∞).答案:(-∞,)∪,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,|a-1|-1≠0即a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________. 解析:依题意知Z点在第二象限且在直线y=-x上,设z=-a+ai(a>0).∵|z|=1,∴a2=12.而a>0,∴∴z=+答案:z=+11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则代入方程得,2+8i,∴解得a=-15∴z=-15+8i.答案:-15+8i12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解析:M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,解得m=2.综上可知m=1或m=2.答案:m=1或m=213.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线. 解析:设复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i对应的点为Z(x,y),则x=2+cosθ,y=1+sinθ即cosθ=x-2,sinθ=y-1所以(x-2)2+(y-1)2=1.所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆. 答案:复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(2,1)为圆心,1为半径的圆.14． 已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 答案: (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.解得m ＝0.(3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m 2＋2m －3<0.解得－3<m <0.。
高二数学同步讲义(复数的坐标表示)
复数的坐标表示1、复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=（,a b R ∈），都可以由一个有序实数对(,)a b 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的复数为000i +=.在复平面内的原点(0,0)表示实数0；实轴上的点(2,0)表示实数2；虚轴上的点(0,1)-表示纯虚数－i ；虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i ；一般的虚数对应的点在四个象限内，如复数23i -对应的点为(2,3)-在第四象限.2、复数与点、向量之间的对应关系： 复数z a bi =+（,a b R ∈）←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b←−−−→一一对应复平面内的向量OZ3、复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作z . 由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=复数和向量进行类比推理：（表中,,,,,a b c d x y R ∈）z z 表示原点(0,0)O 到(,)Z x y 的距离. 12z z -表示复数12,z z 对应的点12,Z Z 之间的距离.例如：4z =表示复数z 对应的点所组成的集合是“以原点为圆心，以4为半径的圆” 类似：(23)4z i -+=表示复数z 对应的点的集合是“以(2,3)为圆心，以4为半径的圆”；12z z i -=+表示复数z 对应的点的集合是“以(1,0)、(0,2)-为端点的线段的中垂线” 【例题讲解】1、（1）复数3z i =-对应的点在第 象限；（2）复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 （3）设222log (33)log (3)z m m i m =--+-（m R ∈），若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .2、（2）“满足2z i z i -++=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆”是否正确？（3）已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且111zx =的点在复平面上所表示的曲线是（ ）A ．直线B ． 圆C ． 椭圆D ．抛物线3、（1）复数cos sin z i =+θθ（(0,2)θπ∈）在复平面上所对应的点的轨迹是 （2）若（1）中条件改为[0,]θπ∈，则复数z 对应的点的轨迹是4、（1）已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ,若(.)O C O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+的值是___________.（2）已知复数123,,z z z 满足12121z z z z ==-=，则12z z +=5、（1）已知121,32z i z i =+=-，求12z z -；（2）已知11,12,3z C z i z z ∈=+-=，求z 对应的点Z 的轨迹方程；变题：已知z C ∈，112z i =+，12z z -≤，则z 对应的点Z 的轨迹是 （3）已知12,23,12z C z i z i ∈=+=+且12z z z z -=-，求z 对应的点Z 的轨迹方程6、若z C ∈,且221z i +-=，则22z i --的最小值是变题：已知1,z =求6z i z ++-的最小值及取到最小值时的z【同步精练】1、O 为复平面中坐标原点，O A对应的复数为13i -，将A 点向右平移3个单位，再向上平移1个单位后对应点为B ，则OB对应的复数为2、已知复习11z i =-，235z i =-+分别和复平面上的点,A B 对应，则（1）写出向量AB和BA 对应的复数；（2）求,A B 两点之间的距离.3、复数1212,,z z z z +分别表示点，,,A B C 为原点，且1212z z z z +=-，则四边形O A C B 的形状是__ _；4、在复平面上复数32i --，45i -+，2i +所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形A B C D 的对角线B D 所对应的复数是5、已知集合{}P z z i z i =+=-，{}11Q z z =+=，则P Q =6、若复数z 满足4z i z i -++=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是7、若复数z 满足221z z +--=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是8、若22,z z i z -=-=z =9、已知复数z 满足21z -=，求z 的取值范围.10、已知复数z 满足12z i z i --=++，求z 的取值范围.11、求使12log 434x i i -≥+成立的x 的取值范围.。
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学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题复数的概念和复数的坐标表示
教学目的
1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；
2、理解两个复数相等的概念；
3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；
4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。
教学内容
【知识梳理】
1.虚数单位i:
()1它的平方等于1-，即21
i=-;
()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.i与－1的关系:i就是1-的一个平方根，即方程21
x=-的一个根，方程21
x=-的另一个根是i-.
3.i的周期性：41n i i
+=, 421
n
i+=-, 43n i i
+=-, 41
n
i=.
4.复数的定义：形如(,)
a bi a
b R
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示
5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)
z a bi a b R
=+∈，把复数表示成a bi
+的形式，叫做复数的代数形式.
6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
a bi a
b R
+∈，当且仅当0
b=时，复数(,)
a bi a
b R
+∈是实数a；当0
b≠时，复数z a bi
=+叫做虚数；当0
a=且0
b≠时，z bi
=叫做纯虚数；当且仅当0
a b
==时，z就是实数0
7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C
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8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b，c，d R
∈，那么a bi c di
+=+⇔a c=,b d
=。