复数的表示法(一)
复数的定义与四则运算法则
复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
关于复数的知识点总结
关于复数的知识点总结复数是指表示两个或两个以上的事物或概念的数量形式。
在英语语法中，复数形式通常是在名词后面加上-s或-es。
复数形式的使用是英语语法中的一个基本知识点，下面将对复数的相关知识点进行总结。
首先，名词的复数形式通常是在词尾加上-s。
例如，cat的复数形式是cats，dog的复数形式是dogs。
在这种情况下，只需要在单数形式的基础上加上-s即可得到复数形式。
其次，对于以-s, -sh, -ch, -x, -o结尾的名词，其复数形式通常是在词尾加上-es。
例如，class的复数形式是classes，box的复数形式是boxes。
需要注意的是，有一些以-o结尾的名词的复数形式并不是直接加上-es，而是加上-es并且去掉-o变成-es，如tomato的复数形式是tomatoes。
另外，对于以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式通常是将y变成i再加上-es。
例如，city的复数形式是cities，baby的复数形式是babies。
而对于以元音字母+y结尾的名词，则直接加上-s即可，如day的复数形式是days。
此外，有一些名词的复数形式并不是通过在词尾加上-s或-es来表示，而是通过改变词形或者使用完全不同的单词来表示。
这些名词被称为不规则复数名词，需要单独记忆和学习，如child的复数形式是children，man的复数形式是men。
最后，对于一些名词本身就是复数形式的，其单数形式则需要通过在词尾加上-s来表示。
例如，pants的单数形式是pant，glasses的单数形式是glass。
总的来说，复数形式在英语语法中是一个基础且重要的知识点，掌握好复数形式的规则对于正确理解和使用英语至关重要。
通过对不同类型名词复数形式的规则和不规则形式的学习和掌握，可以更准确地理解和运用复数形式，从而提高英语表达的准确性和流利度。
希望本文对复数形式的学习有所帮助。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中的一个重要概念，它表示数量不止一个的情况。
在复数中，有实部和虚部两个部分，可以用数学形式表示为a+bi。
其中a是实部，bi是虚部，i表示虚数单位。
下面将从复数的定义、复数的运算、复数的表示形式以及复数的应用等方面进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i表示虚数单位，i满足i^2=-1。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部则表示复数在虚数轴上的位置。
通过复数，可以扩展实数系到复数系，使得一些无法用实数表示的数也能够得到解释。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部和虚部分别相加或相减。
2. 复数的乘法：按照分配律和虚数单位的性质相乘。
3. 复数的除法：先将分母有理化为实数，再按照分配律相除。
需要注意的是，复数的运算遵循交换律、结合律和分配律，与实数的运算相似。
三、复数的表示形式1. 算术形式：a+bi，其中a和b都是实数。
2. 指数形式：re^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
四、复数的应用1. 电路分析：在电路分析中，很多情况下需要使用复数来表示电流和电压等物理量，特别是交流电路。
2. 信号处理：复数可以方便地表示信号的频率和相位，对于信号处理和调制等领域具有广泛的应用。
3. 物理学：在波动光学和量子力学等物理学领域，复数也起到了非常重要的作用。
4. 工程计算：在求解二次方程及其特征值、求解导数和积分等数学问题中，复数都有重要的应用。
总结：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加减法、乘法和除法，与实数的运算相似。
复数可以用算术形式和指数形式表示。
复数的应用广泛，包括电路分析、信号处理、物理学和工程计算等领域。
深入理解复数的概念和运算规则，对于进一步学习和应用数学和物理学等学科都具有重要的意义。
复数的坐标表示方法
复数的坐标表示方法
复数的坐标表示方法是数学中常用的一种表示方式，它使用实部和虚部来表示
一个复数。
复数是由实数和虚数部分组成的数，可以用来表示方程中的平方根和负数。
在复数的坐标表示中，我们使用根号-1来表示虚数单位，通常用字母i来表示。
一个复数可以使用实部和虚部的值来表示，记作a + bi，其中a是实数部分，b是
虚数部分。
通过复数的坐标表示方法，我们可以将复数在复平面上表示出来。
复平面是一
个由实轴和虚轴构成的平面，实轴表示实数部分，虚轴表示虚数部分。
在复平面上，实部是x轴上的坐标，虚部是y轴上的坐标。
例如，复数3 + 4i可以表示为位于复平面上的一个点，实部为3，虚部为4。
我们可以将该点画在复平面上，即在实轴上找到3的位置，在虚轴上找到4的位置，然后将它们连接起来。
这个点表示复数3 + 4i。
复数的坐标表示方法在数学和工程学中有广泛的应用。
它可以用来解决各种问题，例如求解复数方程、计算复数的模、求解电路中的交流电等。
总而言之，复数的坐标表示方法是一种使用实部和虚部来表示的表示复数的方式。
通过在复平面上表示复数，我们可以更好地理解和计算复数，并在数学和工程学中应用它们。
复数的概念
复数的概念复数是数学中的一个重要概念，它可以用来描述不仅包括实数的数系统，而且还包括了虚数，其中虚数是实数范围之外的一类数。
复数是由实部和虚部构成的，通常写成(a+bi)的形式。
在数学、物理学、电子学等领域中，复数被广泛应用。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，用实部和虚部表示。
实数是人们日常生活中所接触到的数，它们可以直接用于计算。
而虚数则是不能用于直接计算的数。
虚数是指那些不满足平方根是实数的数，也就是说，虚数是不存在的，只是一种数学上的概念。
以一个复数z为例，它的实部和虚部分别是a和b。
因此可以将z表示为：z = a + bi其中i称为虚数单位，满足i²=-1。
a和b都是实数，可以是正数、负数、零或小数。
虚部b可以是负数或正数，但实部a只能为实数。
复数的实部和虚部是不同的，它们具有不同的物理意义。
通常情况下，实部表示了复数在x轴上的位置，而虚部则表示了复数在y轴上的位置。
二、复数的基本性质（1）加法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i。
这说明了两个复数之和的实部是它们各自实部之和，虚部是它们各自虚部之和。
（2）减法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
这说明了两个复数之差的实部是它们各自实部之差，虚部是它们各自虚部之差。
（3）乘法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1×z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
这说明了两个复数的乘积的实部是它们各自实部的乘积减去各自虚部的乘积，虚部是它们各自实部的乘积加上各自虚部的乘积。
（4）除法性质：设z1 = a1+b1i，z2 = a2+b2i，z1÷z2 = [(a1a2+b1b2)÷(a2²+b2²)]+[(a2b1-a1b2)÷(a2²+b2²)]i。
复数的坐标表示(1)
【引入】
实数可以用直角坐标系内的点表示，那么复数呢？
定义：复平面（学习看书）
【练习】P77，1，2
【例1】已知集合{0,1,2,,10}A =⋅⋅⋅，设复数,,z a bi a b =+可以取集合A 中的任意一个整数。
（1）复数,z a bi =+共有多少个？
（2）复数,z a bi =+有多少个实数？
（3）复数,z a bi =+有多少个纯虚数？
【练习】P77，4
2．复数的向量表示
复数————点—————向量
【例2】在复平面上作出表示下列复数的向量3,i 1-2i, -5-4i, -3i
【练习】P77，3
【例3】在复平面内，若复数22
z m m m m i
=--+-+对应的点，求满
(2)(32)
足下列条件的复数z。
（1）在虚轴上；（2）实轴的负半轴上。
【练习】已知复数22
=--+--∈
z a a a a i a R
(12)(310),
（1）求a为何值时，z对应点在虚轴右方？（2）求a的范围，使z对应的点在y x
=上方。
【例4】已知a R
∈，22
=-+--+所对应的点在第z a a a a i
(24)(22)
几象限?复数对应的轨迹是什么？
【练习】已知m R ∈，复数
2(2)(23)1
m m z m m i m -=++--，当m 为何值时， （1）z 对应的点在第二象限
（2）z 对应的点在直线30x y ++=上。
复数公式总结
复数公式总结复数公式是数学中重要的概念，它们可以用于描述有关实数无法解决的问题。
复数是由实部和虚部组成的数学对象，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 分别是实部和虚部。
在这篇文章中，我们将总结一些常见的复数公式。
1. 复数的加法和减法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的加法和减法公式分别如下：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i2. 复数的乘法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的乘法公式如下：z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i3. 复数的除法公式对于任意两个复数 z1=a1 + b1i 和 z2=a2 +b2i，它们的除法公式如下：z1/z2=（a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + （a2b1-a1b2）i/（a2^2+b2^2）4. 共轭复数公式对于一个复数 z=a+bi，它的共轭复数 z*=a-bi，其中 a 和 b 分别是 z 的实部和虚部。
5. 模长公式对于一个复数 z=a+bi，它的模长表示为 |z| =√（a^2+b^2）。
6. 指数形式公式对于任意一个复数 z=a+bi，它的指数形式可以表示为 re^(iθ)，其中 r=√(a^2+b^2)，θ=tan^-1(b/a)。
7. 德莫弗公式德莫弗公式可以将一个复数表示为它的实部和虚部的三角函数形式，如下所示：z=a+bi=r(cosθ+isinθ)其中 r=|z|，θ=tan^-1(b/a)。
综上所述，复数公式是数学中不可缺少的基础概念之一。
熟练掌握这些公式不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够为我们在更高深的数学领域中打下坚实的基础。
复数有关知识点总结
复数有关知识点总结一、复数的基本概念复数是指表示多个人、事物或概念的一种形式。
在英语中，名词的复数形式通常是在单数形式的基础上加上-s或-es后缀来表示的。
复数形式不仅用于表示数量上的复数，还可以用于表示概念上的复数，比如表示一类人或物体的情况。
二、复数的形成规则1. 一般情况下，名词的复数形式是在单数名词的末尾加上-s后缀。
比如：cat—cats，dog—dogs，book—books等。
2. 当单数名词以s, sh, ch, x, o结尾时，复数形式一般是在单数名词的末尾加上-es后缀。
比如：bus—buses，brush—brushes，box—boxes，tomato—tomatoes等。
3. 当单数名词以辅音字母+y结尾时，复数形式将y改为i，并加上-es后缀。
比如：city—cities，party—parties等。
4. 以f或fe结尾的单数名词变复数时，通常将f或fe改为v，再加上-es后缀。
比如：leaf—leaves，knife—knives等。
5. 以o结尾的单数名词变复数时，有些名词只需加上-s后缀，比如：photo—photos，radio—radios等；有些名词加上-es后缀，比如：potato—potatoes，tomato—tomatoes 等。
6. 有些名词的复数形式是不规则的，需要记忆。
比如：child—children，man—men，woman—women等。
以上是复数形式的一般规则，但是也有例外情况。
需要通过大量的阅读和实际练习来熟练掌握各种名词的复数形式。
三、不可数名词和复数的用法不可数名词是指不能用复数形式表示的名词，它表示不可分割的整体，或者是一种抽象的概念。
英语中有很多不可数名词，比如：water, air, milk, advice, information等。
这些名词在表示数量上并不具有复数形式，而是用单数形式来表示。
但是有些名词在特定情况下可以表示一定数量的概念，这时候可以用复数形式来表示。
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例 2 在复平面内作出表示下列复数的复向量。
z1 4i
z2 2 3i
z4 2i 4
z3 5
（三）复数的模与辐角 （1）向量 OZ 的模（即长度）r 叫做复数 z=a+bi 的模，记作｜z｜或｜a+bi｜. 那么 r 与 a、b 之间有何种关系？ ｜z｜=｜a+bi｜=r=｜ OZ ｜=
陈强梅
副备课人 主 备 栏
授课班级 副 备 栏
一．复习导入 1.在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示。即实数与数轴上的点形成一一对应的关系 2.类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 二．新授 （一）复数的几何表示法 如图 1， 点 Z 的横坐标是 a， 纵坐标是 b， 复数 z=a+bi(a、 b∈R)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，那么 实轴、虚轴上的点各表示什么样的数呢？ 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数 对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数.故除 图1 了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 按照这种表示方法， 每一个复数 z=a+bi 与复平面内的点(a， b)之间是何种 关系呢？ 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
a 2 b2
(r≥0)
（2）复数的辐角计算公式及辐角主值
三．巩固练习 1．复数 i 3 的辐角角主值是（ A、 ） 。 C、
3
B、
5 3
5 6
D、
11 6
2．icos50的辐角主值是（ ） A、50 B、90 C、40 D、-90 2 3. 已知关于 x 的方程 x 2x+m=0 的两个虚根为 x1 和 x2 若│x1x2│=8， 那 么 实 数 m的 值 是 ( ) A． 17 B． 3 C． 1 D． 15 2 4．若 xC 且 x +ix+6=5x+2i，则 x=______.
已知△ABC中，A，B，C三点表示的复数分别为1，2i，2 3 （2 3 ）i， 则∠BAC .
5.
6.已知 z1=1+3i z2=-2i Z3=4
Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量． ⑵计算它们的模．
7. 求下列复数的模，辐角主值，辐角 （1）z1=－5+5i （2）z2=―6i （3）z1=3-3i （4）z2=－ 2
宝应职业技术学校 07 高考班数学教学案
课 题
16.2 复数的表示法（一）
授课日期
教学目标 教 学 重、难点 教学用具 主备课人
1.正确理解复平面的有关概念（复平面、实轴、虚轴、复平面上的点与复数之间和 对应关系） 2.理解并掌握复数模,辐角. 教学重点：复数的向量表示和几何表示，模，辐角的概念和公式 教学难点：复数的几何表示和向量表示
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复 平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示 方法.
例1． 在复平面内作出下列各复数的点
z1 2 i 2
（二）复向量及复数的向量表示 在复平面内以原点为起点，点 Z（a，b）为终点的向量 OZ ，由点 Z（a，b） 唯一确定．因此复平面内的点集与复数集 C 之间存在一一对应关系， 而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应． 常把复数 z=a+bi 说成点 Z（a，b）或说成向量 OZ
1
m2 m 6 8.m 分别为何实数时，复数 z= +(m2－2m－15)i 对应的点在：(1) m3
原点向右的 x 轴上;(2)第二象限；(3)虚轴上.
9.已知 Z 是复数， arg( z i )
，|Z|=5，求：Z。 4
10.已知： | log0.5 x 4i | 5 。求实数 x。