《电工技术》课件 复数的表示形式及复数的四则运算
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电工基础12学时课件2
第一节 概念
复数的概念
复数的概念
由实数和虚数的代数和组成的数称为复数。 其一般形式为
A a jb（复数的代数形式）
Are（jα 复数的指数形式） A r(cos jsin （) 复数的三角形式） A r（复数的极坐标形式）
第二节 相量法
• 一、正弦量的复数表示 • 二、为什么要用相量法 • 三、电阻、感抗、容抗的复数表示 • 四、欧姆定律和基尔霍夫定律的符号形式 • 五、串联和并联电路的复阻抗表示形式
i
u Z
100e 10e
j 10o j 10o
22.4e- j3610o A
总电流 I 22.4A
相量图如下
小结
1.一个正弦交流电可以用一个对应的复数来表示。这种以复数 运算为基础的分析计算交流电路的方法，称为相量法。用复数表示 的正弦交流电，可以在平面上用有向线段表示，通常称为相量。由 相量组成的图称为相量图。
（1）欧姆定律 I U Z
（2）基尔霍定律 I入 I出 E IZ
1.求题图所示各图的复阻抗。
1.2ej40o A
因而 i1.2 2sin(ωt40o )A
第三节、用相量法分析计算正弦交流电路
电压、电流的相量图如图所示
第三节 用相量法分析计算正弦交流电路
2.在RLC串联交流电路中，已知： R 9.92Ω，XL 20Ω， XC 21Ω。电源电压 u 6 2 sin( ωt 76.8o)V。试求电路中电流
相量图如下。
第三节、用相量法分析计算正弦交流电路
3. 求下图所示电路中总电流I的大小，并画出电源电 压与总电流的相量图。
解：
Z
设并联电路的复数阻抗为 Z ，
那么Z
1 1 1 Z R1 jX L R2 jX C
复数的概念
复数的概念
由实数和虚数的代数和组成的数称为复数。 其一般形式为
A a jb（复数的代数形式）
Are（jα 复数的指数形式） A r(cos jsin （) 复数的三角形式） A r（复数的极坐标形式）
第二节 相量法
• 一、正弦量的复数表示 • 二、为什么要用相量法 • 三、电阻、感抗、容抗的复数表示 • 四、欧姆定律和基尔霍夫定律的符号形式 • 五、串联和并联电路的复阻抗表示形式
i
u Z
100e 10e
j 10o j 10o
22.4e- j3610o A
总电流 I 22.4A
相量图如下
小结
1.一个正弦交流电可以用一个对应的复数来表示。这种以复数 运算为基础的分析计算交流电路的方法，称为相量法。用复数表示 的正弦交流电，可以在平面上用有向线段表示，通常称为相量。由 相量组成的图称为相量图。
（1）欧姆定律 I U Z
（2）基尔霍定律 I入 I出 E IZ
1.求题图所示各图的复阻抗。
1.2ej40o A
因而 i1.2 2sin(ωt40o )A
第三节、用相量法分析计算正弦交流电路
电压、电流的相量图如图所示
第三节 用相量法分析计算正弦交流电路
2.在RLC串联交流电路中，已知： R 9.92Ω，XL 20Ω， XC 21Ω。电源电压 u 6 2 sin( ωt 76.8o)V。试求电路中电流
相量图如下。
第三节、用相量法分析计算正弦交流电路
3. 求下图所示电路中总电流I的大小，并画出电源电 压与总电流的相量图。
解：
Z
设并联电路的复数阻抗为 Z ，
那么Z
1 1 1 Z R1 jX L R2 jX C
电工与电子技术复数
（2）减法运算： ）减法运算：
－F2
作图方法： 作图方法：首尾相连 平行四边形
F1 − F2 = ( a1 − a2 ) + j ( b1 − b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
F1 ⋅ F2 = F1 F2 ∠( ϕ 1 + ϕ 2 )
F1 ⋅ F2
j F2 F1 +1
（4）除法运算： ）除法运算： F1 F1 = ∠( ϕ 1 − ϕ 2 ) F2 F2
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复数的表示形式
一、复数： 复数： 1. 表示形式： 表示形式： ① 代数形式 F = a + ib Re[F ] i = −1 Im[F ] 在复平面上用向量表示 F = a 2 + b2 arg( F ) = ϕ = arctan b a j b
F
F +1 a
a b
一一对应
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 复数平面 平面 ------复数平面 (简称复平面 简称复平面 简称复平面)
＋1
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
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实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: (复数的模 的几何意义 几何意义 复数的模) 复数的模 几何意义: 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+ i 复数 z= +bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 的距离。 a 到原点的距离。 到原点的距离。
ϕ
F1 +1
特殊： 特殊：
e
−j
e
π
2
j
－F2
作图方法： 作图方法：首尾相连 平行四边形
F1 − F2 = ( a1 − a2 ) + j ( b1 − b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
F1 ⋅ F2 = F1 F2 ∠( ϕ 1 + ϕ 2 )
F1 ⋅ F2
j F2 F1 +1
（4）除法运算： ）除法运算： F1 F1 = ∠( ϕ 1 − ϕ 2 ) F2 F2
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复数的表示形式
一、复数： 复数： 1. 表示形式： 表示形式： ① 代数形式 F = a + ib Re[F ] i = −1 Im[F ] 在复平面上用向量表示 F = a 2 + b2 arg( F ) = ϕ = arctan b a j b
F
F +1 a
a b
一一对应
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 复数平面 平面 ------复数平面 (简称复平面 简称复平面 简称复平面)
＋1
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
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实数绝对值的几何意义 实数绝对值的几何意义: (复数的模 的几何意义 几何意义 复数的模) 复数的模 几何意义: 实数a在数轴上所 实数 在数轴上所 z=a+ i 复数 z= +bi在复 对 应的点 A 到原 点 O 平面上对应的点 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 的距离。 a 到原点的距离。 到原点的距离。
ϕ
F1 +1
特殊： 特殊：
e
−j
e
π
2
j
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
《电工技术》课件 RLC并联电路中 电压电流关系与复数导纳
电容支路电流：
I&C
U& jXC
220300 j20
111200 A
其瞬时值表达式：
iC 11 2 sin ( 314t +120o )A
解：（1）
总电压总电流的相量式关系有：
gg
I UY
g
已知电压瞬时值表达式，写成相量式：U 220300V
gg
I U Y 220300 (0.1 j0.05) 220300 5 26.60 11 53.40 A 20
写出电流瞬时值表达式：
i 11 10 sin ( 314 t + 3.4o )A
电阻支路电流：
I&R
U& R
220300 10
22300 A
其瞬时值表达式： iR 22 2 sin ( 314t + 30o )A
电感支路电流：
I&L
U& jX L
220300 =
j10
22030 0 10900
22 600 A
其瞬时值表达式： iL 22 2 sin ( 314t - 60o )A
求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ; (2) 各支路电流的有效值与瞬时值；
解：（1）已知电路负载参数，可以先求总复导纳Y，再
利用电压电流的相量式关系求出电流相量。
11
G
R 10
BC
1 XC
0.1s BL 1 0.05s 20
1 XL
1 10
0.1s
Y G+j(BC BL ) 0.1 j(0.05 0.1) (0.1 j0.05)s
U
gg
总电压总电流的相量式关系有： I U Y
电子课件 《电工技术及应用》(丁振华)2.2 正弦量的相量表示法
注意 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。
三、相量图
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示
相量的图称为相量图。
j
例2 i 20 2 sin( t 300 )A u 10 2 sin( t 600 )V
画出相量图。
解： I& 20 300 A U 10 600 V
U
60 30
O
相量图
I 1
注意 从相量图中可以看出，电压超前电流 30 角。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
例3 已知 i1 3 2 sin314t A，i2 4 2 sin(314t 900 ) A。
试求总电流 i i1 i2 。
解 画出电流 i1、i2 的相量图
I2
I
根据相量图中的几何关系，可
即：一个正弦量与一个复数可以一一对应。复数的模对 应正弦量的幅值(或有效值)，辐角对应正弦量的初相角。
所以可以借助复数计算完成正弦量的计算。 表示正弦量的复数称为相量。
i Im sint
Im Im （最大值相量） I I （有效值相量）
i 10 2 sin( t 450 )A
I 10 450 A
2.2 正弦量的相量表示法
复数的表示及其运算 正弦量的相量表示法 相量图
问题提出
已知 i1 Im1 sin( t 1) ， i2 Im2 sin( t 2 )。
求 i i1 i2
i i1 i2
Im1 sin( t 1 ) Im2 sin( t 2 ) Im sin( t )
在分析计算线性电路时，电路中各部分电压和电流都
是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，计算时
可不必考虑。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的几种表示形式的转换及计算 ppt课件
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
《电工电子技术基础》PPT课件
（3）受控源的功率 如采用关联方向：
p =u1i1 +u2i2=u2i2
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1.3 基尔霍夫定律
电路中通过同一电流的每个分支称为支路。 3条或3条以上支路的连接点称为节点。 电路中任一闭合的路径称为回路。
i1
R1 +c us1 －
a i2
i3
R2
R3
+d
e
us2
－
b
图示电路有3条 支路，2个节点， 3个回路。
如果采用关联方向，在标示时标出一种即
可。如果采用非关联方向，则必须全部标示。
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电动势是衡量外力即非静电力做功能力 的物理量。外力克服电场力把单位正电荷从 电源的负极搬运到正极所做的功，称为电源 的电动势。
e dW dq
电动势的实际方向与电压实际方向相反， 规定为由负极指向正极。
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1.1 电路基本物理量
为了某种需要而由电源、导线、开关和负载按 一定方式组合起来的电流的通路称为电路。
电路的主要功能： 一：进行能量的转换、传输和分配。 二：实现信号的传递、存储和处理。
电路分析的主要任务在于解得电路物理量， 其中最基本的电路物理量就是电流、电压和 功率。
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1.1.1 电流
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1．电阻的串联
+
i
R1
+ u1 －
+
u
R2 u2 －
+
－
Rn u－n
i
+
u
R
－
n个电阻串联可等效为一个电阻
R R1 R2 Rn
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分压公式
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B arctan 6 37o
8 B 10370
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516
B 10
其中：
r a2 b2 ψ arctan b
a
j 1900 j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算
• 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
3.复数的除法运算 • 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A1 1 2
A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
A 3 j4 B 8 j6
求它们的和、差、积、商。
解： A B 38 j 4 6 11 j10 A B 38 j 4 6rctan 4 53o
3
A 5530
B 82 62 10
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j = 1.代数形式： 在复平面上表示
1
j2 = -1
A a jb
a rcosψ
•
b r sinψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sinψ r (cos ψ jsinψ)
复数的模 复数的辐角
这两种表示形式适用于复数的加减运算。
+j
b
A
r
O
a +1
简化画法
一、复数的四种表示形式
⒊ 指数形式： A r e j ψ
⒋ 极坐标形式： A rψ
这两种表示形式适用于复数的乘除运算。
四种表示方式之间可相互转换：
A a jb r (cos ψ jsinψ) r e j ψ rψ
8 B 10370
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516
B 10
其中：
r a2 b2 ψ arctan b
a
j 1900 j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算
• 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
3.复数的除法运算 • 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A1 1 2
A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
A 3 j4 B 8 j6
求它们的和、差、积、商。
解： A B 38 j 4 6 11 j10 A B 38 j 4 6rctan 4 53o
3
A 5530
B 82 62 10
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j = 1.代数形式： 在复平面上表示
1
j2 = -1
A a jb
a rcosψ
•
b r sinψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sinψ r (cos ψ jsinψ)
复数的模 复数的辐角
这两种表示形式适用于复数的加减运算。
+j
b
A
r
O
a +1
简化画法
一、复数的四种表示形式
⒊ 指数形式： A r e j ψ
⒋ 极坐标形式： A rψ
这两种表示形式适用于复数的乘除运算。
四种表示方式之间可相互转换：
A a jb r (cos ψ jsinψ) r e j ψ rψ