复数的四则运算

Z1+Z2=Z2+Z1 显然 Z1+Z2=Z2+Z1 (Z +Z )+Z =Z +(Z +Z ) 1 2 3 1 2 3 同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中 依然成立。
探究？复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过
y 向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi y Z 及复数 c + di对应，则 , OZ = ( a , b ) Z 2 (c , d ) 1 OZ 2 = (c, d ) OZ = OZ1 + OZ 2 Z1 ( a , b ) = ( a , b ) + ( c, d ) O x = ( a + c, b + d )
分母实数化
例3.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
2
（ac bd ) (bc ad )i
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
知识回顾
(a，b∈R) 的数叫做复 1、复数的概念：形如a+bi ______________ 实部和虚部 。为纯虚数 数，a，b分别叫做它的_____________
a=0,b≠0
实数 b=0
2、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 _____________ a1=a2，b1=b2 。 3. 复数的几何意义是什么？ 复数
z = a + bi 与 平面向量 OZ
＝（a,b）
或 点 （a,b）一一对应 类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
1、复数的加法法则：
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与
yZ 1
复数减法的几何意义：
OZ1 - OZ 2 = Z 2 Z1
O
Z2
x
练习：
A,B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|= |z1-z2|，则 △AOB一定是（ B ） A 等腰三角形
C 等边三角形
B 直角三角形
D 等腰直角三角形
3 4i － 则x=_______ y=______Βιβλιοθήκη Baidu 2
分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为： （2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
由复数相等得
2x －1= －a
a －3=1
x=－
y=4i
3 2
1.复数的乘法法则：
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
学
以 致
讲解例题
用
例1 计算
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i)
(5 - 6i) + (- 2 - i) - (3 + 4i) = (5 - 2 - 3) + (- 6 - 1- 4)i = - 11i
解：
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi 及复数 c + di对应，则 OZ 1 ,= (a, b) OZ 2 = (c, d )
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证：设 Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2， 复数的加法满足交换律、结合律，即对任 a3，b1，b2，b3∈R)
意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C
则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i
2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数.
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 记 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 2 2 a b z z z z 2a z z 2bi 另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
分析：依题意设Z1=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 等可求得x= －1，y= －1/2
练习 课堂小结 1．复数的加法与减法运算法则 ； 2．加法、减法的几何意义．
作业：
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i )(1 3i ) = (8 i )(1 3i ) 2 = 8 24i i 3i = 5 25 i
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
三、课堂练习 －2+2i 1、计算：（1）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=___________ （2） ( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i －9i 2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚 部分别相减。
思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （c+di）+（x+yi）= a+bi 的复数x+yi 叫做复数 a+bi减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i
3.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i c2 d 2 (c di)(c di) ac bd bc ad 2 2 i (c di 0). 2 2 c d c d
∴向量 OZ 就是与复数
(a + c) + (b + d )i
对应的向量.
复数的加法可按照向量的加法来进行，这就 是复数加法的几何意义
思考？
复数是否有减法？
设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任 意两个复数，那么它们的差：
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d )i
下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 (2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 (3)两个纯虚数的差还是纯虚数 (4)两个虚数的差还是虚数。
(2)
下列命题中的真命题为： ( A)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( B)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
y
Z 2 (c , d )
Z
Z1 ( a , b )
O x
例2：
设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,
求z1-z2
解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
（2） (a bi) a 2abi b i
2
2
2 2
a 2abi b 2 2 a b 2abi
2
2 2
2
(a bi) (a b ) 2abi
2
（3） (1 2i)(3 4i)(2 i)
(11 2i)(2 i) 20 15i
先写成分式形式
然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘 以分母的共轭复数)
化简成代数形式就得结果.
练习.计算 ⑴ (7 i ) (3 4i )
1 i 2 ) ⑵( 1 i 1 1 ⑶ 3 2i 3 2 i
1- i
-1
4 i 13
注 :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等 .
实 数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加
法可以推广到多个复数相加的情形。
• 练习：计算 • (1)(２＋３i)+(-3+7i)= • (2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)= • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数， 则有（ ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
D
三、课堂练习 3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4 －2i，试求Z1+Z2对应 的点关于虚轴对称点的复数。 分析：先求出Z1+Z2=2 －i，所以Z1+Z2在复平面内对应 的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －1)， 故所求复数是－2 －i
三、课堂练习
4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z1， Z2，且满足Z1+i=Z2 －2，求Z1和Z2。
2
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
例2：计算 （ 1 ） (a bi)(a bi)
a abi abi b i 2 2 a b
2
2 2
思考：在复数集C内，你能将
x 2 y 2 分解因式吗？