复数的四则运算(1)
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的四则运算(一)
(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i
2、复数的乘法满足交换律、
结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z1, z2, z3 有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
例2、 (2 i )( 3 2i )( 1 3i )
一.复数加法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i 即:两个复数相加就是实部与实部, 虚部与虚部分别相加.
2、复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1, z2, z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例3、求下列复数的平方根
(1) -4 (2) 2i，3i，-8i
(3) 5+12i
例4：计算
2
(a bi )( a bi ) 解： (a bi )(a bi )
a abi abi b i
2 2
a b
2
2
(a bi )( a bi ) a b
2
2
例5、在复数范围内分解因式 (1) x2 +9 (2) x4 -16
(3) x2+2x+5
再见
二.复数减法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
复数三角形式的四则运算公式
复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法：复数的加法运算是指将两个复数相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的和为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i二、复数的减法：复数的减法运算是指将一个复数减去另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的差为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i三、复数的乘法：复数的乘法运算是指将两个复数相乘。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的积为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法：复数的除法运算是指将一个复数除以另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i以上是复数的四则运算公式，通过这些公式可以对复数进行加减乘除的运算。
在实际问题中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理、傅里叶变换等领域。
例如，在电路分析中，当电路中存在交流信号时，可以将信号表示为复数形式，利用复数的四则运算可以方便地进行电路参数计算和信号处理。
在信号处理中，复数的四则运算常用于频域分析，例如傅里叶变换。
通过将时域信号转换为频域信号，可以对信号的频谱进行分析和处理，从而实现滤波、频谱显示等功能。
总结起来，复数的四则运算是数学中一个重要的概念和工具，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过掌握复数的加减乘除运算规则，可以更好地理解和应用复数，提高数学和工程领域的解决问题的能力。
复数的四则运算(一)学案
课题：复数的四则运算（一）一、 新课引入问题： 建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。
由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。
那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？二、 概念构建问题1：我们知道，i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么任何两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？问题2：复数的加法可以有哪些运算律？问题3：你能否用复数加法法则证明交换律和结合律吗？问题4：我们知道实数减法是加法的逆运算，那么复数的减法是怎样由加法得到呢？问题5：复数的加减法法则是什么？问题6：复数的乘法如何进行四则运算？问题7：复数的乘法可以有哪些运算律？你会证明吗？问题8：当0>a 时，你会解方程02=+a x 吗？共轭复数的概念？实数的共轭复数有什么特点？三、 例题选讲例1 计算)i 43()i 2()i 65(+---+-变式：计算)i 20202019()i 20192018()i 54()i 43()i 32()i 21(-++-+⋅⋅⋅++-+-++-+-例2 计算：（1）)i 31)(i 23)(i 2(+---- （2）)i )(i (b a b a -+问题9：根据例2（2），设R ∈y x ,，在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？变式 在复数集内分解因式：（1）14-a （2）），（R x a x x ∈++322例3 求i 684--及的平方根.变式 设R ∈n m ,，求关于x 的方程0422=++x x 的两个根.四、 当堂检测 1．已知R ,∈b a ，i 2i )i (-=-b a ，则i b a +的共轭复数为（ ）A . i --2 B. i -2+ C. i -2 D. i 2+2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知R ∈a ,i 是虚数单位，若4,i 3=+=z z a z ，则a 为（ ）A ．1或-1B . 7-7或C .-3D .34．若复数i 1+=a z (R ∈a )， i 12+=z （i 为虚数单位），则2z =__________；若z 1z 2为纯虚数，则a 的值为__________．5.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是___________.五、课堂总结1.复数代数形式的加减运算2.复数代数形式的乘法运算六、课后作业1．若a 为实数且i 4)i 2)(i 2(-=-+a a ，则a 为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．若复数i)23(i -=z (i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -3．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i5. (多选题)设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<06.在复数范围内分解因式：32++x x =___ ___．7.若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =_______8.若复数)i 2)(i 1(+-=m z 是纯虚数，则实数m 的值为9．设112i z z z -= (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，求z 2的虚部．10.已知i 是虚数单位，复数z =2﹣i+（4﹣2i ）i ．（1）求复数z ；（2）若（m ，n ∈R ，是z 的共轭复数），求m 和n 的值．。
高中数学复数的四则运算(1) 例题解析
复数的四则运算(1) 例题解析【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则：(2)复数的减法法则:：(3)两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为4. =z =±21z z【指点迷津】1. 复数的加减法法则可以推广到复数相加减吗?可以2. 复数的加法满足交换律,结合律吗?满足3. 实数有共轭复数吗？有, 实数的共轭复数仍是它本身【典型例题】例1．计算：(1))]31()43[(5i i i +--+-解析： )]31()43[(5i i i +--+-=i i i 44)4(5+-=+-(2)i bi a bi a 3)32()(---+ （R b a ∈,）解析： i bi a bi a 3)32()(---+i b a i b b a a )34(]3)3([)2(-+-=---+-=点评：（1）类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．（2）算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部和虚部分别相加．例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值． 解析：由i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+)31(2122m m m m 解得：⎩⎨⎧=±=11m m 从而1=m 。
即1=m 时，21,z z 是共轭复数．点评：应准确把握共轭复数的代数特征：实部相同，虚部互为相反数． 例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．分析：先利用,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=得到复数z 满足的等式，然后设bi a z += （R b a ∈,）利用复数相等得到关于实数b a ,的方程组，解方程组即可． 解：因为,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=i z z i i z i z i i z i z i i z i z i z f 223)(23)(23)()(2)(-+=--++=-+++=-+++=+所以i z z 3662-=-+即i z z -=+62设bi a z += ),(R b a ∈则bi a z -=，所以i bi a bi a -=++-6)()(2即i bi a -=-63 由复数相等的定义知：⎩⎨⎧-=-=163b a ，解得：⎩⎨⎧==12b a 所以i z +=2 所以 i i i i z f 463)2()2(2)(--=-+-+--=-点评：本题中要求)(z f -的值关键是先求出z ，在求复数z 时通常设复数),(R b a bi a z ∈+=，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．。
复数的四则运算
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
1 2 3 4
i , i __ i __ __ __ i , i 1 , i 1
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？ 4 n 1 4n i i , i 1,
例4、下列命题中的真命题 为： D ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
四、例题应用：
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
（ 1 ） (a bi)(a bi) 例2：计算
a abi abi b i
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
五、课堂小结： 1、定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
目标: 分母实数化;
手段:
z z R.
三、知识新授：
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
复数四则运算
棣美弗定理
設 Z Z (cos i sin )
Z Z (cos n i sin n ) ，n為整數
n n
我們稱此公式為棣美弗定理。
複數
複數的n次方根
x Z 的根為
n
xk
n
2 k 2 k Z (cos i sin ) ，( Arg( Z ))
n n
k = 0、1、2、3、……、 n 1
複數
i之運算性質
n為自然數， i 1 (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i （指數除以4餘數為0） （指數除以4餘數為1）
(3) i4n+2 = –1 （指數除以4餘數為2）
(4) i4n+3 = – i （指數除以4餘數為3）
複數
數
系
整數(Z ) 有理數(Q ) 分數 正整數( 自然數 ) 零 負整數 有限小數 無限循環小數 無理數( 不循環的無限小數 )
實數(R)
複數(C )
虛數
複數
複
數
設a、b為實數，形如 a + bi 的數稱為複數，a 稱為 實部，b 稱為虛部。
複數 Z = a + bi
b
0，Z為純虛數。 a = 0 ， b
= 0，Z為實數。
複數
共軛複數
若Z = a + bi，a、b為實數，則 a bi稱為 a + bi的共軛複數，以符號 Z 表之，即
複數
複數的絕對值
設x、y為實數， Z x yi ( Z 0)，則在複 數平面上之Z點到原點的距離稱為Z的絕對 值，以 Z 表示之，且規定
Z x y
2 2
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
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=(ac-bd)+(bc+ad)i 显然任意两个复数的积仍是一个复数.
复数的乘法运算法则：对于任意z1,z2,z3 ∈ C,有
z1∙z2= z2∙z1 , z1∙z2 ∙z3= z1∙(z2 ∙z3) , z1∙(z2 +z3)= z1∙z2 +z1∙z3 .
交换率 结合率 分配率
共轭复数
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)z z R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n(n 2).
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
33 22
ii
)
(
3 i)2 2
12(231i
1 4
3
i2)3(i 143
3 i) ( 1)2 (
3 i)2
0; 2 2
22
22
1 3 1
44
在复数集中, 方程x3 1的三个解为:1, , .
练习: 计算
(1) ( 1 3 i)6;
(1)1;
22
(2) ( 1 3 i)11. 22
(2) 1 3 i. 22
(3) 若x 1 1,求1 x x2 x2012的值. x
(3)0
(1) 2 ; (3) 1 2 0;
(2) 1(1 0) (4) 3 1
例题选讲
例１ 计算 (1-2i) (3+4i) (-2+i) 解：(1-2i) (3+4i) (-2+i)
=（11-2i)(-2+i)
（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di)(c
di) di)
ac bd (bc ad )i c2 d2
ac c2
bd d2
1 zn
(z m )n= z mn
z m ·z n= z m+n
(z1 ·z2 )n= z1 n ·z2 n 一般地，如n∈N*，有
i4n=1
i4n+1=i i4n+2= -1 i4n+3= -i
若a, b, c, d是连续的正整数, 有 ia ib ic id 0
复数的除法
复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
即 两个复数（除实数外）只能说相等或不相等， 而不能比较大小.
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换率); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )(结合率)
证明：设Z=1 a1+b1i， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
Z1+Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i ) = (a1+a2) + (b1+b2 )i = (a1+a2)－( b1+b2 )i = (a1－b1i)+( a2－b2 i) =Z1+ Z2
同理可证： Z1-=Z2 －Z1 Z2
例4：设 1 3 i , 求证：
22
(1) 2 ;
(2) 1(1 0)
(3) 1 2 0; (4) 3 1
证明：(4（) 113）(
1 2
2
13i()3 2
1 2
3 i) ( 1
2
2
3 i)2 2
12(2312i (2312i))22(21212
复数的四则运算
(一)
复数a+bi(a,b∈R)
R(z)= a—实部 I(z)= b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
其中Z =a + bi 与a – bi 叫共轭复数.
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部 不等于0时也叫做互为共轭虚数） 思考：复数Z 为实数的充要条件是 Z = Z
即 实数的共轭复数仍是其本身.
共轭复数
1.设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + Z = 2a
例题选讲
1 i i
5.计算： ①
1 1
i i
①
i
②
1i 1 i
②
-
i
③ （1+2i)÷(3-4i);
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
练习
例1、计算(2－3i )+(-8－3i) － (3－4i)
解： (2－3i )+(-8－3i) － (3－4i) = (2－8－3)+(-3－3+4)i = -9－2i .
二.复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
bc c2
ad d2
i
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例3：计算 ① (1+i)2
② (1-i)2
2i
-2i
例4：设 1 3 ห้องสมุดไป่ตู้ , 求证：
22
(1) 2 ;
(2) 1(1 0)
(3)1 2 0; (4) 3 1
在复数集中, 方程x3 1的三个解为:1, , .
= -20+15i . 例2 在复数范围内因式分解
1. x4 16; 2. x2 2x 10; 3. a2 b2 c2 2ab; 4. a4 b4.
三.正整数指数幂的复数运算律
z 、 z1、 z2 ∈C，m、n ∈N*有
实数集R中正整数指数幂的运算律在复数
集C中仍成立，即
Z0 = 1;
z n
一.复数的加法与减法
类
2、复数减法的运算法则
比 多
复数减法规定是加法的逆运算
项
(a+bi )－(c+di) = x+yi ，
式 的
∴(c+di )+(x+yi) = a+bi ，
合 并
由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b
同 类
由此，x=a－c ， y=b－d
项
∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i