3.2复数的四则运算加减乘法
3.2复数的四则运算(2)除法和乘方
共轭复数的简单性质：
z＋z＝_2_a_；z－z＝_2_b_i_；z z＝_a__2＋__b_2_
【类比推广】在实数中，除法运算是乘法的逆运算，
类似地，可以定义复数的除法运算：
复数除法定义: 把满足(c＋di)(x＋yi) =a＋bi (c＋di≠0)
位，则 z 等于 ( A )
A．－i B．i C．－1 D．1
解析 z＝1i ＝－i.
练习 2．复数1i＋－22i等于
( A)
A．i
B．－i
C．－45－35i
D．－45＋35i
【复数的乘方】
复数的乘方是相同复数的积。实数集R中正
整数指数幂的运算律,在复数集C中仍然成
立.即对任意的z，z1，z2∈C及m，n∈N*，
故选 A.
2.
复数
i2＋i3＋i4 1－i
等于
A．－12－12i B．－12＋12 i
【当堂检测】
C．12－12i
( C) D．12＋12i
i2＋i3＋i4 －1－i＋1 －i
解析
＝
＝
1－i
1－i 1－i
＝1－－ii1＋1＋ii＝－i2＋1＝12－12i.
【当堂检测】
3.计算：(1)(1－i)(－12＋ 23i)(1＋i)； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2 006.
i4n ＋ i4n1＋ i4n2 ＋ i4n3 ＝0，(n∈N*)．
例4 设 1 3 i, 求证:
22
⑴ 1 2 0;
(2) 3 1.
证明:
(1) 2 ( 1
2
3 i)2 1
2
4
3 i 3 1 242
3.2复数的四则运算
Z x2 y2
一.复数的加法与减法
1.复数加法的运算法则
(a+bi ) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
2. 加法的运算律
1. z1 z2 z2 z1(交换律); 2. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3)(结合律)
高中数学 选修2-2
3.2复数的四则运算
复数a+bi(a,b∈R)
a—实部
b—虚部
复数 a+bi
实数a (b=0) 纯虚数bi(a=0)
虚数 (b‡0) 非纯虚数a+bi(ab‡0)
两个复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，
a c
则 z1=z2 b d ， 即实部等于实部，虚部等于虚部
|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
例题选讲
复数的乘法也可大胆运 用乘法公式来展开运算.
例4：计算 ① (1+i)2
3.2《复数代数形式的四则运算》教案(新人教选修2-2)
一般高中课程标准实验教科书—数学选修 2-2[ 人教版 A]3.2.1 复数的加法与减法教课目的：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义教课要点：掌握复数的加法与减法的运算及几何意义教课过程一、复习：复数的观点及其几何意义二、引入新课：１．复数 z1与 z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+( c+di )=(a+c)+(b+d)i .2.复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-( c+di)=( a-c)+(b-d)i .3.复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi ，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，即OZ1、OZ 2的坐标形式为 OZ1=( a，b)，OZ2=(c，d)以OZ1、OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴ OZ = OZ1+ OZ2=( a，b)+( c，d)=( a+c，b+d)＝(a+c)+( b+d)i4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(a－ c)+(b－ d)i ，所以 z－ z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量OZ21就与复数 z－ z 的差 (a－ c)+(b－uuuur uuurd)i 对应因为OZ2Z1Z ，所以，两个复数的差z－ z1与连结这两个向量终点并指向被减数的向量对应.5.例子：（增补）例 1 已知复数z1=2+i ，z2 =1+2i 在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？解： z=z2－ z1=(1+2 i)－(2+ i)=－ 1+i ，∵z 的实部 a=－ 1＜0，虚部 b=1＞ 0，∴复数 z在复平面内对应的点在第二象限内 .评论：任何向量所对应的复数，老是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差 .即AB 所表示的复数是 z B A.，而 BA 所表示的复数是A B，故切不行把－ z z－ z被减数与减数搞错只管向量 AB 的地点能够不一样，只需它们的终点与始点所对应的复数的差同样，那么向量AB 所对应的复数是唯一的，所以我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度相关，而与地点没关例 2 复数 z 1=1+2 i ， z 2=－2+i ， z 3=－ 1－ 2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个极点，求这个正方形的第四个极点对应的复数.剖析一：利用 AD BC ，求点 D 的对应复数 .解法一：设复数 z 123所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个极点D 对应的复数、z、z 为 x+yi (x ， y ∈R )，是：AD OD OA =(x+yi )－(1+2i )=(x － 1)+( y － 2)i; BCOC OB =(－ 1－ 2i)－ (－ 2+ i)=1 － 3i .∵ ADBC ，即 (x － 1)+( y － 2)i=1－ 3i ，x 1 1,x 2, 例 2 图∴2 3,解得1.yy故点 D 对应的复数为 2－ i.剖析二：利用原点O 正好是正方形 ABCD 的中心来解 .解法二：因为点 A 与点 C 对于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是 (－ 2+i)+(x+yi)=0，∴ x=2， y=－ 1.故点 D 对应的复数为2－ i.评论：依据题意绘图获得的结论，不可以取代论证，但是经过对图形的察看，常常能起到启示解题思路的作用 讲堂练习： 第 103 页练习课后作业： 第 108 页习题 A:1,2,3,43.2.2 复数的乘法教课目的：掌握复数的乘法的运算教课要点：掌握复数的乘法的运算教课过程一、复习：复数的加减法及其几何意义 二、引入新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法依据以下的法例进行：设 z 1=a+bi ， z 2=c+di(a 、 b 、c 、 d ∈ R)是随意两个复数，那么它们的积(a+bi)( c+di)=(ac －bd)+( bc+ad)i.i 2换成－1，而且其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把把实部与虚部分别归并.两个复数的积仍旧是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1 (z2z3)=(z 1z2)z3证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i )=(a1a2-b1b2)+( b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i )=(a2a1-b2b1)+( b2a1+a2b1)i.又 a1a2 -b1b2=a2a1-b2b1， b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1 (z2+z3)=z 1z2+z 1z3证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵(z1z2)z3=［ (a1+b1i)( a2+b2i)］( a3+b3i)=［ (a1a2-b1b2)+(b1 b2+a1b2)i ］( a3+b3i)=［ (a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1 b2)b3］ +［ (b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］ i=(a1a2a3 -b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+( b1a2a3+a1b2b3+a1 a2b3-b1b2b3)i ，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2 b3-a1b2b3)+( b1a2a3+a1b2 a3+a1a2b3-b1b2b3) i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设 z1=a1+b1 i， z2=a2+b2i， z3=a3 +b3 i(a1， a2， a3， b1， b2， b3∈R ).∵z1(z2+z3)=( a1 +b1i)［ (a2+b2i )+(a3+b3i )］ =(a1+b1i) ［(a2+a3 )+(b2+b3)i ］=［a1 (a2+a3)-b1( b2 +b3)］ +［ b1 (a2+a3)+a1( b2+b3)］ i=(a1a2+a1a3-b1b2 -b1b3)+( b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i .z1z2+z1z3=(a1+b1i )(a2+b2i)+( a1+b1i )(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+( b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1 b3 )i=(a1a2-b1b2+a1 a3-b1b3)+( b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2 -b1b3)+( b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.（ 4）zz| z |2讲堂练习：第 106页练习课后作业：第 108页习题 A:5,6,73.2.3 复数的除法教课目的：掌握复数的除法的运算教课要点：掌握复数的除法的运算教课过程一、复习：复数的加减法及其几何意义，复数的乘法二、引入新课：1.复数除法定义：知足 (c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di) 或许2.除法运算规则：a bi c di①设复数 a+bi(a， b∈ R)，除以 c+di (c， d∈R )，其商为x+yi(x， y∈ R)，即 (a+bi)÷ (c+di )=x+yi∵(x+yi)( c+di)=(cx－ dy)+(dx+cy)i .∴(cx－ dy)+( dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cx dy a, dx cy b.x ac bd ,解这个方程组，得c2 d 2bc ad .yc2 d 2ac bd bc adi .于是有 :(a+bi)÷ (c+di)=2d 2c2 d 2c②利用 (c+di)(c－ di)=c2 +d2.于是将a bi的分母有理化得：c di原式 = abi(a bi )(c di )[ ac bi( di )](bc ad )i c di(c di )(c di )c2d2(ac bd)(bc ad)i ac bd bc ad2d 22d2c2d2 i .c cac bd bc ad∴ (a+bi )÷ (c+di)=d 2c2d 2 i.c 2讲堂练习：第 108 页练习课后作业：第 108 页习题 A:8。
数学：《3.2复数的四则运算(1)》(选修2-2)
3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。
复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。
复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。
课件1：3.2.2复数的乘法和除法
＋b2 ∈R，所以两个共轭复数之积为实数．
思考3
答
共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ത ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复
数为实数．
(3)若z≠0且z＋ ത ＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚
()(＋)＝＋＋＝.
跟踪训练1
解
计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
()(＋)(－)＝－＝－(－)＝；
()(＋)＝＋＋()＝＋＋＝－＋.
例2
解
计算：(1)(＋) ÷ (－)；(2)
.
7若复数z在复平面内的对应点在第二象限，|z|＝5，ത 对应
点在直线y＝ x上，则z＝________.
【分析】
利用对应点在直线y＝ x上可设出z或ത，再利用|z|
＝5可列方程求解，最后由z的对应点在第二象限决定取舍．
【解析】 设ത＝3t＋4ti(t∈R),则z＝－，
∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1，
思考2
答
复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须
在所得结果中把2换成－1.
思考3
答
如何理解复数的除法运算法则？
复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法
是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，
则只需同时乘以)．
探究点二
思考1
共轭复数及其应用
+
4.复数
的共轭复数是(
−
A．－
原创3：3.2.2复数的乘除运算
记法：复数 = + 的共轭复数记作
z
= −
z
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3
(2-3)
⑵z= -6
( 6)
⑶z= 3
(3)
注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
⑵实数的共轭复数是它本身
思考：若z1 ,z2是共轭复数，那么
⑴在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
分母实数化
+ = +
2、复数乘法满足交换律、结合律的证明
设 = + , = + , = + .
(1)因为 ∙ = ( + )( + )
= ( − ) + ( + ),
(事实上可以把它推广到 ∈ .）
1
1 i
1 i
2
i;
i.
② (1 i ) 2i; i;
i
1 i
1 i
2复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把
换成－1，然后实、虚部分别合并.
3 除法：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母
的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即
化简等.
z1 1 i , z 2 2 i
（2）已知
求
+
,
,
-4
∙
8+6
（3）
1 ± 2 = ±2
1
=−
1+
=
1−
1−
= −
1+
复数的运算公式
复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。
一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
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(4) 若z1=3-2i,z2=1+3i,则z1+z2=_____ Z1-2z2=_____
3.复数的乘法
我们规定，复数的乘法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的积
a + bic + di = ac + bci + adi + bdi2
提示
本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算.
实数系中的乘法公式在复数系 中也是成立的.
解：(1) (3 + 4i)(3 - 4i)
我 来们 进用 行乘 计法 算公
式
= 32 - (4i)2
= 9 - (-16)
= 25.
(平方差公式)
（2）(1 + i)2
= 1 + 2i + i2
.
= 1 + 2i - 1
2.复数的减法
复数的减法就是加法的逆运算. (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的减法法则: 实部与实部,虚部与虚部分别相减. 由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.
例题1
计算
动动手
(5 - 6i) + (-2 - i) - (3 + 4i)
解: (5 - 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i)
共轭复数.虚部不等于0的两个共轭
复数也叫做共轭虚数.
共轭复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数. 复数z的共轭复数用 表示.
z 若z＝a＋bi，则 ＝a－bi (a，b∈R)
z
注:(1)当b不为0时，共轭复数称为共轭虚数； (2)实数的共轭复数是它本身.
练习：分别写出复数3+5i, -1-2i, 5i, 4的共轭复数.
= (ac - bd) + (ad + bc)i i2 = -1
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只要把结果
中i2换成-1，把实部与虚部分别合并即可。
例题1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解： 原式=(11-2i)(-2+i)
例题2
=-20+15i. 计算 (1)(3 + 4i)(3 - 4i); (2)(1 + i)2.
= (5 - 2 - 3) + (-6 - 1 - 4) i
= -11i
注意
复数的加、减法形式上与多项式的 加、减法是类似的.
1.计算：(1) (4＋3i)＋(2－i) (2) (3i－2)＋(3＋2i)
2.计算： (1) (1-3i)-(2+5i)+(-4+9i) (2) (5+6i)+(3-2i)-(-4-2i)
3.复数的除法
除法法则： (a + bi) (c + di)
= a + bi c + di
= (a + bi)(c-di) (c + di)(c-di)
=
ac c2
+ +ห้องสมุดไป่ตู้
bd d2
+
bc -ad c2 + d2
i
先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子与
分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，
25
55
随堂练习
（2007年广东卷）若复数（1+bi） (2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实
数），则b=( D )
A. - 2 B. - 1 C. 1 D.2 22
解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i， 故2-b=0，
1.设z = 3 + i，则 1 等于( D )
z A.3 + i B.3 - i C. 3 i + 1 D. 3 + 1 i
3.2复数的四则运算
1.复数的加法
我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di 是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即:两个复数相加就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加.
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
复数的加法满足交换律、结合律
= 2i. (完全平方公式)
3.计算：(1) (-2-i)(3-2i)(-1+3i) (2) (1＋2i)(2－3i)(1－2i) (3) (a＋bi)(a-bi)
共轭复数
注意本例 (1) 3+4i 与 3-4i 两复数的特点. 我们把这两个复数3+4i,3-4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等,虚部 互为相反数时，这两个复数叫做互为
最后再化简.
例题3
计算 (1 + 2i) (3 - 4i).
提示 用上面的方法把分母“实数化”.
解：(1 + 2i) (3 - 4i) = 1 + 2i
3 - 4i
=
(1 + 2i)(3 + 4i) (3 - 4i)(3 + 4i)
=
3
-
8 + 6i + 32 + 42
4i
= -5 + 10i = - 1 + 2 i.
10 10 10 10
（2007年全国卷I）设a是实数，
且 a + 1+ i 是实数，则a = ( ) 1+i 2
A． 1 B．1 C．3 D．2
2
2
答案：B.