3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义【人教A版】
人教A选修二第3章3.2.1
方法感悟 方法技巧 1．复数加减法法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 ． (2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合 并同类项．如例1. 2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的 加减运算转化为向量的坐标运算．如例2.
失误防范 1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实 数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实 部、虚部与虚部分别相加减． 2．复数的加减法可以推广到若干个复数，进行 连加连减或混合运算．
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2 z2＋z1 ，z3∈C，有z1＋z2＝______，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) __________．
2．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 → → 若复数 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数 → → 平行四边形 z1＋z2 是以OZ1，OZ2为两邻边的____________的对 → 角线OZ所对应的复数．因此，复数的加法可以按照 向量的加法 _____________来进行． (2)复数减法的几何意义 → → 复数 z1－z2 是连接向量OZ1、OZ2的_____，并指向 终点
→ → → 则AD ＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1) ＋(y－2)i， → → → BC＝OC －OB ＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－ 3i. → → ∵AD ＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i. x－1＝1 x＝2 ∴ ，解得 ， y－2＝－3 y＝－1 故点 D 对应的复数为 2－i.
【思维总结】 法一是一般方法，要注意整体代 换；法二充分运用了复数加减法的几何意义，数 形结合，解法简捷，值得借鉴．
互动探究 3 本例中，若条件变成|z1|＝|z2|＝1， |z1＋z2|＝ 2.求|z1－z2|.
高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题 新人教A版选修2-2
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时演练·促提升A组1.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i,故z对应的点为(-1,-3),在第三象限.答案:C2.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:z=3-i-(i-3)=6-2i.答案:D3.若复数z1=a-i,z2=-4+b i,z1-z2=6+i,z1+z2+z3=1(a,b∈R),则z3为()A.-1-5iB.-1+5iC.3-4iD.3+3i解析:∵z1-z2=(a-i)-(-4+b i)=a+4-(1+b)i=6+i,∴a=2,b=-2,∴z3=1-z1-z2=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.答案:D4.若复平面上的▱ABCD中,对应复数6+8i,对应复数为-4+6i,则对应的复数是()A.-1-7iB.2+14iC.1+7iD.2-14i解析:设对应的复数分别为z1与z2,则有于是2z2=2+14i,z2=1+7i,故对应的复数是-1-7i.答案:A5.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.答案:B6.计算(-1+2i)+(i+i2)-|1+2i|=.解析:原式=-1+2i+(i-1)-=-2+3i-=-(2+)+3i.答案:-(2+)+3i7.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=.解析:z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,所以解得a=-1.答案:-18.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).若z1-z2=13-2i,求z1,z2.解:∵z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z1-z2=13-2i,∴(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.∴解得∴z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.9.在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求对应的复数;(2)判断△ABC的形状;(3)求△ABC的面积.解:(1)对应的复数为2+i-1=1+i,对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i,对应的复数为-1+2i-1=-2+2i.(2)∵||=,||=,||==2,∴||2+||2=||2,∴△ABC为直角三角形.(3)S△ABC=×2=2.B组1.复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4D.16解析:∵复数z=x+y i(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,∴|x+(y-4)i|=|(x+2)+y i|,化简得x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4,当且仅当x=2y=时,等号成立.答案:C2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.答案:A3.设纯虚数z满足|z-1-i|=3,则z=.解析:∵z为纯虚数,∴设z=b i(b∈R,且b≠0).由|z-1-i|=3,得|-1+(b-1)i|=3.∴1+(b-1)2=9.∴b-1=±2.∴b=1±2.答案:(1±2)i4.已知复数z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.解析:∵z=x+y i(x,y∈R),且|z-2|=,∴(x-2)2+y2=3.由图可知.答案:5.已知复平面内的A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解:(1)∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)= (-1,-2sin2θ).∴对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是,代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,∴sin θ=±.又θ∈(0,π),∴sin θ=,∴θ=.6.若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.解:设z=x+y i,x,y∈R,由|z+2-2i|=1,得|z-(-2+2i)|=1,表示以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)的距离,由数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.7.设z1=1+2a i,z2=a-i,a∈R,A={z||z-z1|<},B={z||z-z2|≤2},已知A∩B=⌀,求a的取值范围.解:因为z1=1+2a i,z2=a-i,|z-z1|<,即|z-(1+2a i)|<,|z-z2|≤2,即|z-(a-i)|≤2,由复数减法及模的几何意义知,集合A是以 (1,2a)为圆心,为半径的圆的内部的点对应的复数,集合B是以(a,-1)为圆心,2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数,若A∩B=⌀,则两圆圆心距大于或等于半径和,即≥3,解得a≤-2或a≥.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义课件人教新课标
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算 法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法 运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量������������ 对应的复数;(2)向量������������ 对应的复数;(3)向量������������ 对应 的复数.
解:(1)因为������������=-������������,所以向量������������对应的复数为-3-2i. (2)因为������������ = ������������ − ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为������������ = ������������ + ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
【全程复习方略2014-2015学年高中数学 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件 新人教A版选修2-2
(2)已知z1，z2∈C，|z1|=|z2|=1，|z1+z2|= 3, 求|z1－z2|．
【解题探究】1.点A,B,C的坐标分别是多少？向量 AB 与向量
DC 是否相等？
2.由复数的几何意义可知，z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分
别为Z1,Z2,Z，则它们与原点构成了一个什么样的图形？
(3)借助向量的运算 OB OA OC. 【解析】(1) AO 则 AO 对应的复数为－(3＋2i)， ＝－OA ， 即－3－2i. (2) CA＝OA－OC ，所以 CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2+4i) ＝5－2i. (3) OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC ， 所以 OB 对应的复数为(3＋2i)＋ (－2＋4i)＝1＋6i.
【题型示范】
类型一
复数的加法、减法运算
【典例1】 (1)若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴
上,则a=
A.-2
(
B.2
)
C.-1 D.1
(2)计算:①(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); ②1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
【解题探究】1.复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数 的虚部是多少? 2.题(2)中①各小括号内的复数所对应的实部与虚部分别是多 少?②中的i2等于多少? 【探究提示】1.z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实 轴上的点所对应复数的虚部是0. 2.①各小括号内的复数所对应的实部分别是1,-2,-2,1,虚部分 别是2,1,-1,-2.②中的i2等于-1.
高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.1 复数的代数形式的加减运算教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。
教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义教学难点：加、减运算的几何意义教学过程：一、复习准备：1. 与复数一一对应的有？2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ + 。
向量的加减运算满足何种法则？4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？二、讲授新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则12()()Z Z a c b d i +=+++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++（4）(32)(43)(5)]i i i --++++[②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出(14),(72)i i +-，(32),(43),(5)i i i --++所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若12Z Z Z +=，则Z 叫做21Z Z 减去的差,21Z Z Z =-记作。
④讨论：若12,Z a b Z c di =+=+，试确定12Z Z Z =-是否是一个确定的值？（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2
结论： 1.减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义 复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？ 提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要 条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d.
类型一 复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以 表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以 表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以 表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
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2.复数加法运算的几何意义?
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
3.复数减法运算的几何意义? 复数z1－z2
符合向量 减法的三 角形法则.
平面向量 OZ
y
z=a+bi Z(a,b)
a b
o
x
复数绝对值的几何意义 复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b) 到原点的距离。
z=a+bi Z (a,b)
O
y
x
| z | = |OZ | = |OZ|
a2 b2
(复数z的模)
二、讲授新课
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a (bc ) a (b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎 样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
练习4:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
答案 : 2
四、课堂小结
看黑板
(2) (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
(3) 已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,
求实数a、b的值。
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复 数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢？
练习2、如图的向量OZ对应的复数是 z ,试作出
下列运算的结果对应的向量：
向量Z2Z1
Z2(c,d)
y
Z1(a,b)
o
|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)|
点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(1) z+1
(2)z-i (3) z+(2-i)
我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则, 复 数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的 加法是否具有一致性呢？
练习3:已知复数m=2－3i,若复数z
满足不等式|z－m|=1,则z所对应 的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心,
1为半径的圆上
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
注：1)
复数的几何意义（两种） 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b)
时，原有的加法与乘法的运：
z = a + bi (a, b∈R)
实部 虚部
2.复数的分类：
实数 b 0 复数z a bi 0， 0 a b 纯虚数 ( a, b R ) 虚数 b 0 b0 非纯虚数 a 0，
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈C,有
z1+z2=z2+z1,
( z1+z2)+z3= z1+(z2+ z3).
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
点A到点(0, －2)的距离
三、例题与练习
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解:
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
练习1、计算(1) (1+3i)+(-4+2i)
4、复数加减法的几何意义
1、|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1
C
z1+z2
B
2 、 | z1 + z2 | = | z1 - z2 |
平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 正方形
3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1
复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、知识回顾
我们引入这样一个数i ，把i 叫做 虚数单位，并且规定：
i21；
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母C表示 .
对虚数单位i 的规定
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算